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Condensateurs

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*Savoirs fondamentaux du chapitre (Arrêté du 21 septembre 2000)*
Le dipôle bobine : Bobine d'induction L'unité : le henry L'effet du nombre de spires, du diamètre, de la longueur et de la composition du noyau (effet qualitatif uniquement) La réactance : $X_{L}=2\pi FL=L\omega$ Facteur Q L'effet de peau Pertes dans les matériaux du noyau

La bobine

Comme le condensateur, la bobine est capable d'emmagasiner de l'énergie pour la restituer par la suite. Elle est constituée d'un enroulement de fil conducteur éventuellement autour d'un noyau en matériau ferromagnétique^[1] ; le fil peut tout à fait être enroulé sur un support creux. Contrairement au condensateur, l'effet électrostatique n'est pas à l'origine de cette aptitude. L'électromagnétisme permet d'expliquer ce phénomène : le courant parcourant la bobine génère un champ magnétique autour et à l'intérieur de ses spires, formant une « réserve d'énergie » qui pourra être reconvertie en courant. La capacité d'une bobine à emmagasiner l'énergie est appelée inductance et se mesure en Henry (symbole $H$ ). L'inductance dépend du nombre de spires^[2] et de sa section^[3].

Comme les condensateurs, les bobines peuvent se monter en série comme en parallèle. Les formules de calcul de l'inductance équivalente sont inversées par rapport à celles du condensateur ; il s'agit donc des mêmes que pour les résistances :

en série, l'inductance équivalente est égale à la somme des inductances : $L_{eq}=L_{1}+L_{2}+...$ ;
en parallèle, l'inductance équivalente est égale à la somme des inverses des inductances : ${\frac {1}{L_{eq}}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+...$


Exemple : montages série et parallèle

Il est possible de déterminer l'inductance $L$ d'une bobine connaissant ses propriétés, grâce à la formule $L={\frac {d^{2}\cdot n^{2}}{460d+1000l}}$ , où $d$ est le diamètre de la bobine, $l$ sa longueur et $n$ le nombre de spires ( $d$ et $l$ étant en mm).

Si les bobines sont couplées, c'est-à-dire si elles sont suffisamment proches pour que leur champ magnétique interfère, il faut ajouter l'induction mutuelle, valeur positive ou négative dépendant du coefficient de couplage $k$ (compris entre 0 et 1^[4]) :

si $k$ est proche de 0, l'induction mutuelle est nulle : les bobines ne sont pas couplées ;
si $k$ est proche de 1, les bobines sont parfaitement couplées.

Pour éviter le couplage des bobines, il suffit d'empêcher l'interaction des champs magnétiques produits. Pour cela, plusieurs méthodes existent : les éloigner largement entre elles, les isoler par blindage, ou plus facilement les placer perpendiculairement entre elles (une par axe de l'espace). Cette dernière méthode présente l'inconvénient de ne permettre de placer que 3 bobines, mais elle est particulièrement pratique.

Impédance

L'impédance de la bobine parfaite (appelée réactance et notée $X_{L}$ ) varie avec la fréquence du courant traversant le dipôle. Elle est donnée par la formule $X_{L}=L\omega$ ^[5].


Exemple : Calcul d'une réactance
On considère une bobine de 1,5 mH soumise à un courant de fréquence 3 MHz. Quelle est sa réactance ? $X_{L}=\omega L=2\pi FL=2\pi \times 3.10^{6}\times 1,5.10^{-3}=28260~\Omega$ La réactance de la bobine est donc de $28260~\Omega$ .

Comment évolue l'impédance quand on fait varier la fréquence ?

Si la fréquence est grande, alors $\omega$ prend une grande valeur. Donc l'impédance devient très grande, aucun courant électrique ne traverse la bobine. À haute fréquence, la bobine se comporte comme (est équivalente à) un interrupteur ouvert ( $Z_{L}=\infty$ ) ;
Si la fréquence est petite, alors $\omega$ prend une petite valeur. Donc l'impédance devient très petite, il n'y a pas de résistance au passage du courant. À basse fréquence, la bobine se comporte comme (est équivalente à) un fil ( $Z_{L}=0$ ).

Circuits équivalents condensateur/bobine

Nous avons vu que les comportement à hautes et basses fréquences des condensateurs et des bobines ne sont pas les mêmes. Ainsi, à hautes et basses fréquences, il est possible de déterminer pour un circuit donné son circuit équivalent. Pour plus de simplicité, on note les circuits composés de condensateurs, de bobines et de résistances RLC.


Exemple : Détermination de circuits équivalents
On considère les deux circuits ci-dessous. À quels circuits sont-ils équivalents à basses fréquences ? À quels circuits sont-ils équivalents à hautes fréquences ?

Déphasage introduit par les dipôles

Lors de notre présentation de la résistance, nous avons expliqué que lorsqu'un tel dipôle était traversé par un courant sinusoïdal, la tension et l'intensité sont en phase. Ce n'est pas le cas pour un condensateur ou une bobine : un déphasage intervient.

Pour le condensateur, on observe que la tension est en retard de 90° sur l'intensité. En effet, quand le condensateur est entièrement chargé et qu'il a acquis autant d'électrons que permis par sa capacité, la tension à ses bornes est maximale et on ne mesure aucune intensité. Quand il est vide, la tension est nulle et l'intensité est à son maximum. Lors de la charge d'un condensateur, l'intensité s'établit avant la tension.

Pour la bobine, on observe que la tension est en avance de 90° sur l'intensité (le contraire du condensateur).

Effet de peau

À hautes fréquences, on constate que le courant électrique ne se déplace qu'à la surface des fils : on appelle cela effet de peau^[6]. La section utilisée diminuant, la résistance augmente. Sur les bobines cela entraîne une diminution du facteur de qualité. Pour le limiter, utilisez des fils fins (des bobines fines) plutôt que des fils épais (des bobines épaisses) lorsque vous prévoyez d'utiliser des signaux à hautes fréquences : cela augmentera la section utilisée par le courant et limitera l'impact sur la résistance.

Résumé sur les bobines et les condensateurs

Condensateur	Bobine

Capacité $C$ , farad (F)	Inductance $L$ , henry (H)
Série ${\frac {1}{C_{eq}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+{\frac {1}{C_{3}}}$ ...	Série $L_{eq}=L_{1}+L_{2}+L_{3}$ ...
Parallèle $C_{eq}=C_{1}+C_{2}+C_{3}$ ...	Parallèle ${\frac {1}{L_{eq}}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}+{\frac {1}{L_{3}}}$ ...
Impédance ${\frac {1}{C\omega }}$	Impédance = réactance $L\omega$

Exercices

Calculs d'inductances équivalentes

Pour chaque circuit ci-dessous, calculez son inductance équivalente $L_{eq}$ .

Circuit A. Les bobines sont blindées.
Circuit B. Le coefficient de couplage est nul.
Circuit C. Les bobines sont blindées.
Circuit D. Le coefficient de couplage est nul.

Notes

↑ C'est-à-dire capable de s'aimanter sous l'effet d'un champ magnétique.
↑ Une spire est un tour du fil.
↑ On appelle section de la bobine l'aire du disque délimité par une des spires de la bobine. Si $R$ est le rayon de la bobine, alors $S=\pi R^{2}$ .
↑ Il est aussi possible d'avoir des valeurs négatives entre 0 et -1 : dans ce cas, l'induction mutuelle est négative et les bobines sont inversées.
↑ Pour mémoire, $\omega$ désigne la pulsation (en radians par seconde) égale à $2\pi F$ .
↑ Plus rarement on trouve les noms d'effet pelliculaire ou d'effet Kelvin.

[1] C'est-à-dire capable de s'aimanter sous l'effet d'un champ magnétique.

[2] Une spire est un tour du fil.

[3] On appelle section de la bobine l'aire du disque délimité par une des spires de la bobine. Si $R$ est le rayon de la bobine, alors $S=\pi R^{2}$ .

[4] Il est aussi possible d'avoir des valeurs négatives entre 0 et -1 : dans ce cas, l'induction mutuelle est négative et les bobines sont inversées.

[5] Pour mémoire, $\omega$ désigne la pulsation (en radians par seconde) égale à $2\pi F$ .

[6] Plus rarement on trouve les noms d'effet pelliculaire ou d'effet Kelvin.

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