Manuel de géométrie vectorielle/Multiplication d'un vecteur par un nombre

Multiplication par un nombre positif

Observons la figure suivante.

• On a un vecteur ${\vec {u}}$
• Les points A, B et C sont tels que ${\overrightarrow {\rm {AB}}}={\vec {u}}$ et ${\overrightarrow {\rm {BC}}}={\vec {u}}$

On a donc d'après la relation de Chasles

${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\overrightarrow {\rm {AB}}}+{\overrightarrow {\rm {BC}}}$

Et par conséquent

${\overrightarrow {\rm {AC}}}={\vec {u}}+{\vec {u}}$

En algèbre on écrit couramment $x+x=2x$. Faisons de même pour le vecteur ${\vec {u}}$ :

${\overrightarrow {\rm {AC}}}=2{\vec {u}}$

On obtient ainsi un vecteur noté $2{\vec {u}}$ dont

• la direction est celle du vecteur ${\vec {u}}$
• le sens est celui du vecteur ${\vec {u}}$
• la longueur est 2 fois celle du vecteur ${\vec {u}}$

On définit ainsi la multiplication d'un vecteur par un réel positif :

Définition

${\vec {u}}$ est un vecteur et k est un nombre positif. On note $k{\vec {u}}$ le vecteur : de même direction que le vecteur ${\vec {u}}$ de même sens que le vecteur ${\vec {u}}$ de longueur k fois la longueur du vecteur ${\vec {u}}$

${\vec {v}}=2{\vec {u}}$ et ${\vec {w}}={\cfrac {1}{2}}{\vec {u}}$

Multiplication par un nombre négatif

On vient de voir quel sens donner au vecteur $2{\vec {u}}$. Quel sens donner au vecteur $-2{\vec {u}}$ ?

En appliquant les règles habituelles du calcul algébrique $-2{\vec {u}}$ doit désigner l'opposé du vecteur $2{\vec {u}}$.

• On vient de voir comment construire le vecteur $2{\vec {u}}$ au paragraphe précédent.
• On a vu l'opposé d'un vecteur dans un chapitre précédent.

On peut alors effectuer la construction suivante avec :

• ${\vec {v}}=2{\vec {u}}$
• ${\vec {w}}=-{\vec {v}}$

Ainsi le vecteur $-2{\vec {u}}$ a

• la même direction que le vecteur ${\vec {u}}$
• le sens contraire du vecteur ${\vec {u}}$
• 2 fois la longueur du vecteur ${\vec {u}}$

On peut alors définir la multiplication d'un vecteur par un réel négatif :

Définition

${\vec {u}}$ est un vecteur et k est un nombre négatif. On note $k{\vec {u}}$ le vecteur : de même direction que le vecteur ${\vec {u}}$ de sens opposé au vecteur ${\vec {u}}$ de longueur -k fois la longueur du vecteur ${\vec {u}}$

${\overrightarrow {v}}=-2{\vec {u}}$ et ${\overrightarrow {w}}=-{\cfrac {1}{2}}{\vec {u}}$

Dans cette définition comme le nombre k est négatif, -k est un nombre positif. Par exemple avec $k=-2$, nombre négatif, on a $-k=-(-2)=2$ qui est un nombre positif.

Une définition pour en remplacer deux

Définition

Soit ${\vec {u}}$ un vecteur et $\lambda \,$ un nombre réel. On note $\lambda .{\vec {u}}$ le vecteur : de norme $\|\lambda .{\vec {u}}\|=|\lambda |.\|{\vec {u}}\|$ de même direction que ${\vec {u}}$ si $\lambda \neq 0\,$ de même sens que ${\vec {u}}$ si $\lambda >0\,$, de sens opposé à ${\vec {u}}$ si $\lambda <0\,$

Remarque : Si $\lambda =0\,$ alors par définition $0.{\vec {u}}={\vec {0}}$

NB : Cette définition est cohérente avec la définition de l'addition et de l'opposé,

en ce sens que par exemple :

$2.{\vec {u}}={\vec {u}}+{\vec {u}}$

$-1.{\vec {u}}=-{\vec {u}}$

Règles de calcul sur les vecteurs

Les opérations sur les vecteurs ont été définies en s'inspirant des règles de calcul algébriques. Il est donc naturel d'avoir les règles suivantes de calcul sur les vecteurs :

Propriété

$Si{\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont deux vecteurs et k un nombre : $k({\vec {u}}+{\vec {v}})=k{\vec {u}}+k{\vec {v}}$

Par exemple pour construire le vecteur $2({\overrightarrow {u}}+{\overrightarrow {v}})$ on peut

• Construire le vecteur ${\vec {u}}+{\vec {v}}$ somme des vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$, puis multiplier cette somme par 2:

• Ou construire séparément les vecteurs $2{\vec {u}}$ et $2{\vec {v}}$, puis construire la somme des deux vecteurs ainsi obtenus :

Dans les deux cas, on a construit le même vecteur en vert.

Propriété

Si ${\vec {u}}$ est un vecteur et si a et b sont deux nombres. $a(b{\vec {u}})=(ab){\vec {u}}$