Manuel de géométrie vectorielle/Colinéarité

Colinéarité de deux vecteurs du plan

$d\,$ et $d'\,$ sont parallèles : on dit que les vecteurs ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont colinéaires

La notion de colinéarité pour les vecteurs est l'équivalent de la notion de parallélisme pour les droites :

Définition

Deux vecteurs non nuls ${\vec {u}}$ et ${\vec {v}}$ sont dit colinéaires s'ils ont la même direction Le vecteur nul ${\overrightarrow {0}}$ est colinéaire à tous les vecteurs du plan.

En observant le dessin de la définition précédente on constate que ${\vec {u}}=-2{\vec {v}}$. De manière générale, on a la propriété :

Propriété

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel $\lambda \,$ tel que : ${\vec {u}}=\lambda .{\vec {v}}$ ou bien ${\vec {v}}=\lambda .{\vec {u}}$

Application de la colinéarité

Colinéarité et alignement

Prenons trois points alignés A, B et C comme sur le dessin suivant :

Les droites ${\rm {(AB)}}$ et ${\rm {(AC)}}$ sont parallèles, donc d'après la définition de deux vecteurs colinéaires, les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {AC}}}$ sont colinéaires.

Ceci prend la forme de la propriété suivante, qui malgré sa simplicité est d'un grand intérêt pour résoudre des problèmes géométriques à l'aide de vecteurs.

Théorème

Si trois points A, B et C sont alignés, alors les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {AC}}}$ sont colinéaires. Si les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {AC}}}$ sont colinéaires, alors les points A, B et C sont alignés

Colinéarité et parallélisme

Cette autre propriété est une conséquence directe de la définition de vecteurs colinéaires.

Les droites ${\rm {(AB)}}$ et ${\rm {(CD)}}$ sont parallèles, ce qui d'après la définition correspond à la colinéarité des vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$

Théorème

Si les droites ${\rm {(AB)}}$ et ${\rm {(CD)}}$ sont parallèles, alors les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ sont colinéaires. Si les vecteurs ${\overrightarrow {\rm {AB}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {CD}}}$ sont colinéaires, alors les droites ${\rm {(AB)}}$ et ${\rm {(CD)}}$ sont parallèles

Là encore, malgré son apparente simplicité, cette propriété est d'un grand intérêt pour ramener un problème de géométrie à un problème de vecteurs.

Propriété

Théorème

Soit ${\overrightarrow {\rm {u}}}$(x;y) et ${\overrightarrow {\rm {v}}}$(x',y') deux vecteurs aux coordonnées non nulles. ${\overrightarrow {\rm {u}}}$ et ${\overrightarrow {\rm {v}}}$ sont colinéaires si et seulement si xy'-x'y = 0

Exercices

Points définis par une relation vectorielle

Exercices

On considère trois points A(2,0), B(2,2) et C(0,-3),

dans le plan muni d'un repère $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$.

NB : on choisira de petites unités, par exemple 0,5 cm pour une feuille A4.

1. Placer le point E défini par : ${\vec {AE}}=5{\vec {AB}}-4{\vec {AC}}$

2. Déterminer les coordonnées de E par le calcul.

3. Placer le point F défini par : ${\vec {AF}}=2{\vec {AB}}+{\frac {3}{2}}{\vec {AC}}$

4. Déterminer les coordonnées de F par le calcul.

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Solution

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Alignement

Exercices

Dans le plan muni d'un repère $(O,{\vec {i}},{\vec {j}})$,

on donne les points $A(3,-1)\,$ et $C(-1,2)\,$.

Soient B et D tels que :

${\vec {OB}}=-3{\vec {OA}}$

${\vec {OD}}=-3{\vec {OC}}$

1. Démontrer que les droites (AC) et (BD) sont parallèles.

2. Soit M le milieu de [BD] et N celui de [AC]. Déterminer les coordonnées de M et N.

3. Démontrer qu'O, M et N sont alignés.

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Solution

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Combinaison linéaire

Exercices

On définit trois vecteurs du plan par leurs coordonnées dans une base $({\vec {i}},{\vec {j}})$.

${\vec {v_{1}}}{\binom {1}{2}}$ ${\vec {v_{2}}}{\binom {-3}{0}}$ ${\vec {v_{3}}}{\binom {-1}{-1}}$

1. Déterminer les coordonnées de :

${\vec {w}}=3{\vec {v_{1}}}-2{\vec {v_{2}}}+5{\vec {v_{3}}}\,$

2. ${\vec {v_{1}}}$ peut-il s'écrire sous la forme :

${\vec {v_{1}}}=x{\vec {v_{2}}}+y{\vec {v_{3}}}\,$

où x et y sont des nombres réels ?

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Solution

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Alignement et colinéarité

Exercices

Soit A, B et C trois points non alignés.

1. Construire le point D tel que  :

${\overrightarrow {AD}}=2{\overrightarrow {CA}}+3{\overrightarrow {AB}}$

2. Exprimer ${\overrightarrow {CD}}$ en fonction de ${\overrightarrow {CA}}$ et ${\overrightarrow {AB}}$.

3. Démontrer que les points B, C et D sont alignés.

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Solution

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Milieu

Exercices

Soit A et B deux points distincts, et I le milieu de [AB].

1. Expliquer pourquoi ${\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {IB}}$ en utilisant les mots norme,direction, sens.

2. En partant de ${\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {IB}}$, démontrer que : ${\overrightarrow {IA}}+{\overrightarrow {IB}}={\overrightarrow {0}}$

3. En partant de ${\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {IB}}$, démontrer que : ${\overrightarrow {AI}}={\frac {1}{2}}{\overrightarrow {AB}}$

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Solution

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Trapèze

Exercices

On considère dans un repère orthonormé les points :

$A(-2;-2);B(0;2);C(3;3)etD(7;1)\,$

La figure n'est pas exigée, néanmoins il est conseillé de la faire au moins au brouillon.

1. Démontrer que les vecteurs ${\overrightarrow {AD}}$ et ${\overrightarrow {BC}}$ sont colinéaires.

2. Déterminer le réel $k$ tel que :

${\overrightarrow {AD}}=k.{\overrightarrow {BC}}$.

3. En déduire que le quadrilatère ABCD est non croisé.

4. Démontrer que les segments $[AB]$ et $[CD]$ ont même longueur.

5. Conclure quant à la nature du quadrilatère ABCD en récapitulant les différentes informations.

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Solution

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