Les suites et séries/Les limites de suites

L'étude des suites porte le plus souvent sur la manière dont les termes se comportent quand le rang augmente. Par exemple, les mathématiciens ou physiciens cherchent souvent à savoir si les termes finaux d'une suite se rapprochent d'une valeur précise. Beaucoup de suites sont dans ce cas : les termes se rapprochent de plus en plus d'une valeur précise quand on augmente le rang. D'autres ne sont pas dans ce cas et voient leurs termes devenir de plus en plus grands ou petits avec le rang. C'est le cas de la suite $u_{n}=n$, par exemple. Le comportement d'une suite quand n grandit a beaucoup été étudié par les mathématiciens, qui lui ont donné le nom de comportement asymptotique.

La convergence/divergence d'une suite

Comme on le voit, le comportement des termes quand on augmente le rang vers l'infini varie beaucoup selon la suite. Cette intuition peut être formalisée assez simplement par le concept de limite d'une suite. Intuitivement, on peut se retrouver dans trois cas différents :

• Soit les termes se rapprochent, tendent, vers une valeur précise.
• Soit les termes tendent vers une valeur infinie.
• Soit les termes ne tendent vers aucune valeur, qu'elle soit finie ou infinie : c'est le cas par exemple de la suite 1, -1, 1, -1, 1, -1 ...

Dans le premier cas, on dit que la suite est convergente. Les deux autres cas correspondent à ce qu'on appelle une suite divergente. On voit qu'il existe deux types de suites divergentes, les premières tendent vers l'infini alors que les autres sont es suites un peu à part. Ces dernières sont appelées des suites sautantes. Elles sont définies par la condition suivante : soit a < b, la suite $(u_{n})$ est dite sautante si une infinité de termes est supérieur à b ($u_{n}>b$) et une autre infinité est inférieur à a ($u_{n}<a$).

Les suites divergentes

Une suite est dite divergente si ses termes finissent par devenir aussi grands que possible quand le rang augmente. Si on choisit une constante précise, aussi grande que l'on veut, alors tous les termes au-delà d'un certain rang dépasseront cette constante. Dit autrement, pour tout nombre M, il existe un rang n tel que $u_{n}>M$. La suite diverge alors vers l'infini $+\infty$. Le cas où la suite diverge vers $-\infty$ est similaire, si ce n'est que $u_{n}<M$ au-delà d'un rang n.

Les suites convergentes

Pour une suite qui converge, la logique est similaire au cas où la suite diverge, à quelques différences près. Pour une suite convergente, ses termes sont circonscrits dans un intervalle que l'on peut rendre aussi petit que possible quand le rang augmente. Le centre de cet intervalle est la limite de la suite. Précisément, si on choisit un nombre $\epsilon$, aussi petit que l'on veut, alors il y a un rang au-delà duquel les termes de la suite sont tous compris dans l'intervalle $[limite-\epsilon ,limite+\epsilon ]$.

Définition de la limite d'une suite.

On peut reformuler cette définition de la manière suivante : les suites convergentes sont bornées au-delà d'un certain rang, les bornes étant les valeurs $limite-\epsilon$ et $limite+\epsilon$. Cette définition montre plus clairement que la convergence d'une suite ne dépend pas de ses premiers termes.

On peut noter que si une suite converge, sa limite est unique : une suite ne peut pas converger vers deux limites différentes en même temps. Un bon moyen de le "démontrer" est simplement d'utiliser un raisonnement par l'absurde. Pour commencer, on suppose qu'une suite (peu importe laquelle) converge vers deux suites $l$ et $l'$. Au bout d'un certain rang, on sait que tout terme la de suite sera donc compris dans les intervalles $[l-\epsilon ,l+\epsilon ]$ et $[l'-\epsilon ,l'+\epsilon ]$. Évidemment, si l et l' sont différents, ces intervalles seront disjoints. Vu que chaque terme de la suite au-delà d'un certain rang ne peut pas appartenir à deux intervalles disjoints, on fait face à une contradiction.

Quelques exemples types de limites

Dans l'enseignement secondaire et/ou universitaire, vous aurez certainement à faire des calculs de limites. Dans ces calculs, certaines limites particulières ont tendance à revenir, à être fortement utiles. Dans ce qui va suivre, nous allons voir quelques exemples classiques de limites assez courants.

Nom de la suite	Formule paramétrée de la suite	Limite
Suite constante	$u_{n}=x$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=x$
Suite identité	$u_{n}=n$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=+\infty$
Suite harmonique	$u_{n}={\frac {1}{n}}$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=0$
Suite de l'inverse des carrés	$u_{n}={\frac {1}{n^{2}}}$	$\lim \limits _{x\rightarrow +\infty }u_{n}=0$
Suite d'une puissance	$u_{n}=n^{a}$	Si $a>0$, la suite est croissante et sans majorant : elle diverge vers $+\infty$. Si $a=0$, la suite est constante et converge vers $1$. Si $a<0$, la suite est décroissante et avec une borne inférieure nulle : elle converge vers $0$.

Démontrer les limites du tableau précédent est assez simple : il suffit d'appliquer la définition.

Le cas des suites constantes est trivial. Pour la suite identité, on remarque rapidement qu'elle n'est pas bornée, ce qui signifie qu'elle n'a pas de limite et donc diverge.

Le cas de la suite harmonique est plus intéressant, bien qu'une simple application de la définition d'une suite suffise à donner le résultat.

L'exemple de la suite harmonique

Dans cette section, nous allons démontrer que la suite harmonique converge bien vers zéro. Pour cela, il suffit d'appliquer la définition de la limite d'une suite. Déjà, on sait que chaque terme de la suit ne peut être négatif : tout terme est positif ou nul : $u_{n}\geq 0$. Il ne reste plus qu'à prouver que si on choisit un $\epsilon$ aussi petit que l'on veut, on peut trouver un rang $n$ à partir duquel tous les termes de la suite sont plus petits que $\epsilon$. Déjà, on peut remarquer que la suite est décroissante : chaque terme est plus petit que le précédent. Donc, si on trouve un rang pour lequel $u_{n}<\epsilon$, alors les rangs suivants respectent aussi cette propriété. Dit autrement, on souhaite trouver $n$ tel que :

$0\leq u_{n}<\epsilon$

Appliquons l'équation $u_{n}={\frac {1}{n}}$ et faisons le remplacement :

$0\leq {\frac {1}{n}}<\epsilon$

On trouve alors qu'il faut que :

$0\leq {\frac {1}{\epsilon }}<n$

Or, un tel rang existe toujours. Vu que chaque terme de la suite ne peut être négatif, mais qu'on peut les rendre aussi petits que l'on veut, tant qu'ils restent à zéro ou plus, alors la limite de la suite est nulle.

Les critères de convergence usuels

Exemple de suite convergente.

Pour établir si une suite converge ou diverge, l'application de la définition d'une limite est rarement facile. Pour faire des démonstrations plus facilement, il existe de nombreux critères qui permettent de savoir si une suite converge ou non. Une simple analyse de la suite avec ces critères permet de déterminer si elle converge ou diverge. Ces critères sont nombreux et permettent surtout de savoir si une suite diverge, sans pour autant préciser si elle converge effectivement. D'autres permettent de comparer des suites à d'autres suites dont on sait qu'elles convergent ou divergent. Cette section va donner quelques critères de convergences usuels, simples à appliquer.

Les suites convergentes sont bornées

Une propriété importante des suites convergentes est qu'elles sont toutes bornées (pour rappel, cela signifie qu'elles ont un minimum et un maximum). Mais il faut faire attention à la réciproque, qui est fausse : une suite bornée n'est pas forcément convergente. Un bon contre-exemple est la suite définie par : $u_{n}=(-1)^{n}$. Celle-ci est bornée dans l'intervalle $[-1,1]$, mais elle ne converge pas. Pour résumer, les suites convergentes sont bornées. On peut donc déterminer si une suite diverge en vérifiant qu'elle est bornée. Si on démontre que ce n'est pas le cas, elle diverge. Si c'est le cas, on ne sait pas si elle diverge ou si elle converge.

Démonstration

Cette propriété n'est pas étonnante et découle directement de la définition d'une limite. Pour rappel, cette définition dit qu'il existe un rang $n$ tel que les termes de la suite sont bornés par l'intervalle : $[limite-\epsilon ,limite+\epsilon ]$ Avant ce rang $n$, il n'y a qu'un nombre fini de termes. Parmi ces termes, il y en a un qui est plus grand que les autres et un autre qui est plus petit que tous les autres. Notons ceux-ci max et min. Par définition, les termes de la suite avant le rang $n$ sont naturellement bornés dans l'intervalle suivant : $[min,max]$ La suite est donc bornée avant le rang : $n$, prendant et après : elle est donc bornée.

Le théorème des gendarmes

Illustration du théorème des gendarmes.

Le théorème des gendarmes, aussi appelé théorème du sandwich ou théorème d'encadrement, est un critère qui concerne les suites adjacentes. Si une suite est encadrée par deux suites qui convergent vers la même limite, alors on sait que les trois suites convergent vers la même limite. Cet encadrement est plus précisément un encadrement de chaque terme de la suite entre les termes de même rang des deux autres. Dit d'une manière plus claire, chaque terme $u_{n}$ de la suite encadré est compris entre les termes $v_{n}$ et $w_{n}$ des deux autres suites : $w_{n}\leq u_{n}\leq v_{n}$. Si à partir d'un certain rang, l'égalité précédente est respectée pour tous les termes, on sait que la suite encadrée converge et que sa limite est la même que celle des deux autres suites.

Pour résumer, supposons que l'on ait la condition suivante :

$v_{n}\leq u_{n}\leq w_{n}$, au-delà d'un certain rang n.

Alors on peut en déduire que :

$\left(\lim _{n\rightarrow \infty }v_{n}\right)\leq \left(\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}\right)\leq \left(\lim _{n\rightarrow \infty }w_{n}\right)$

Démonstration

Démontrer ce critère se démontre avec les concepts que nous verrons dans le chapitre suivant, qui porte sur les opérations entre limites de suites. Il s'agit d'une simple application du théorème de prolongement des inégalités larges. Celui-ci dit simplement que si $(a_{n})\leq (b_{n})$, alors $\lim _{n\to \infty }(a_{n})\leq \lim _{n\to \infty }(b_{n})$.

Le critère de Cauchy

Illustration d'une suite de Cauchy.

Le critère de Cauchy permet de déterminer si une suite converge ou non, assez simplement. Ce critère permet de définir une classe de suites particulières, appelées suites de Cauchy. On peut démontrer, avec des outils mathématiques compliqués, que toute suite convergente est obligatoirement une suite de Cauchy. Pour les suites réelles, les suites de Cauchy convergent toutes, sans exception. Démontrer qu'une suite réelle est de Cauchy suffit donc pour dire qu'elle converge.

Une suite de Cauchy est une suite telle que pour deux rangs $a$ et $b$, avec $a>n,b>n$, on a :

$|u_{a}-u_{b}|<\epsilon$

Ce qui est équivalent à :

$\lim _{n\to \infty }|u_{a}-u_{b}|=0$

Il faut préciser que cette condition doit valoir pour tout a et b supérieur à n. Le fait que la condition fonctionne avec a et b convenablement choisis ne marche pas. Par exemple, prendre a et b consécutif ne donnera pas une application correcte du théorème de Cauchy. Il existe en effet des suites divergentes dont suite dont la différence entre deux termes consécutifs tend vers zéro. Ainsi, on ne peut pas dire qu'une suite est convergente si elle respecte la condition suivante :

$\lim _{n\to \infty }|u_{n+1}-u_{n}|=0$