Les suites et séries/Les suites télescopiques

Les sommes télescopiques sont les sommes partielles de la forme :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})$

Le calcul d'une somme partielle télescopique

On peut facilement démontrer la formule suivante :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=u_{n+1}-u_{0}$

De manière informelle, le raisonnement est le suivant. On part de la définition d'une somme télescopique :

$\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})$

Développons l'expression :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=(u_{1}-u_{0})+(u_{2}-u_{1})+(u_{3}-u_{2})+(u_{4}-u_{3})+(u_{5}-u_{4})+(u_{6}-u_{5})+\cdots$

On peut changer l'ordre des termes, ce qui donne :

Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=-u_{0}+(u_{1}-u_{1})+(u_{2}-u_{2})+(u_{3}-u_{3})+\cdots +(u_{n}-u_{n})+u_{n+1}=u_{n+1}-u_{0}$}}

Une démonstration plus formelle, équivalent à ce qui vient d'être dit, serait la suivante :

Démonstration

Partons de la définition d'une somme télescopique : $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})$ Appliquons la formule $\sum _{i=0}^{n}(u_{n}+v_{n})=\left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}v_{n}\right)$ : $\left(\sum _{i=0}^{n}u_{i+1}\right)-\left(\sum _{i=0}^{n}u_{i}\right)$ En simplifiant, cela donne : $\left(\sum _{i=1}^{n+1}u_{i}\right)-\left(\sum _{i=0}^{n}u_{i}\right)$ Le calcul donne donc : Pour $\sum _{i=0}^{n}(u_{i+1}-u_{i})=u_{n+1}-u_{0}$

Le produit d'un suite telescopique par une autre suite

On a vu plus haut que le calcul de la somme partielle est beaucoup plus compliqué et il n'existe pas vraiment de formule générale qui fonctionne. On peut cependant déduire un résultat pour le cas particulier suivant :

$\sum _{i=0}^{n}\left[u_{i}\cdot (v_{i+1}-v_{i})\right]$

On voit que le cas particulier en question est le produit d'une suite par une somme télescopique $v_{n}-v_{n-1}$. Dans ce cas particulier, on peut alors utiliser la sommation par partie, que voici :

$\sum _{i=0}^{n}\left[u_{i}\cdot (v_{i+1}-v_{i})\right]=u_{n}\cdot v_{n+1}-u_{0}\cdot v_{0}-\sum _{i=1}^{n}\left[v_{n}\cdot (u_{n}-u_{n-1})\right]$

On peut appliquer cette formule dans le cas général, en transformant une suite en suite télescopique. Pour montrer comment, partons du cas général :

$P=\sum _{n=0}^{N}\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)$

On peut alors définir la suite suivante :

$B_{n}=\sum _{k=0}^{n}b_{k}$.

Par définition, on a $b_{n}=B_{n}-B_{n-1}$, ce qui permet de réécrire le produit P comme ceci :

$P=a_{0}b_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}(B_{n}-B_{n-1})$

En faisant une sommation par partie, on trouve alors :

$P=a_{0}b_{0}-a_{0}B_{0}+a_{N}B_{N}+\sum _{n=0}^{N-1}B_{n}(a_{n}-a_{n+1}).$

Un exemple d'utilisation

Un exemple d'utilisation des théorèmes sur les suites télescopiques est le suivant. On peut retrouver la somme partielle de la suite de l'inverse des nombres oblongs, soit la somme partielle suivante, sans recourir à une démonstration par récurrence :

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}=1-{\frac {1}{n+1}}$

Pour cela, il suffit de réécrire la suite initiale sous la forme d’une suite télescopique. Pour cela, partons de la suite initiale :

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i(i+1)}}$

On applique alors la formule ${\frac {1}{i(i+1)}}={\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+1}}$

$S_{n}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+1}}\right)$

La formule précédente s'identifie à la limite de la suite télescopique $u_{i}={\frac {1}{i}}-{\frac {1}{i+1}}$. En appliquant la formule des suites télescopiques, on trouve que :

$S_{n}=1-{\frac {1}{n+1}}$