Explicitant
dans
l'équation géodésique
,
on a
![{\displaystyle {\frac {1}{2{\dot {s}}}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {1}{\dot {s}}}g_{li}{\dot {x}}^{i}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8809729e64e2f6591c0a510b1e17772093890ac1)
Paramétrisons la trajectoire par sa longueur s, c'est à dire posons
.
Avec ce choix, on a
et l'équation géodésique devient
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {d}{ds}}\left(g_{li}{\dot {x}}^{i}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38bcbb0be130d8e0022b16295bb36aa3311bedfc)
Comme le tenseur métrique dépend de
mais pas explicitement de
,
on a
et l'équation géodésique prend la forme
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{li,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{li}{\ddot {x}}^{i}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526b6384c5c6569e640709093a25647fb5af0b34)
Multipliant par
, on obtient
![{\displaystyle g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{li,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}\right)-{\ddot {x}}^{k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfe43d0ea107abba11d86d92c20c40d96c904779)
et donc
![{\displaystyle {\ddot {x}}^{k}=g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}-g_{li,j}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8c1a5d1b7099e0455007d59669de14b607b184)