Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique/Démonstration

Explicitant ${\dot {s}}$ dans l'équation géodésique ${\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial x^{l}}}-{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {\partial {\dot {s}}}{\partial {\dot {x}}^{l}}}\right)=0$, on a

${\frac {1}{2{\dot {s}}}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {d}{d\tau }}\left({\frac {1}{\dot {s}}}g_{li}{\dot {x}}^{i}\right)=0$

Paramétrisons la trajectoire par sa longueur s, c'est à dire posons $\tau =s$. Avec ce choix, on a ${\dot {s}}=1$ et l'équation géodésique devient

${\frac {1}{2}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-{\frac {d}{ds}}\left(g_{li}{\dot {x}}^{i}\right)=0$

Comme le tenseur métrique dépend de $x^{i}$ mais pas explicitement de ${\dot {x}}^{i}$, on a ${\frac {dg_{li}}{ds}}=g_{li,j}{\frac {dx^{j}}{ds}}$ et l'équation géodésique prend la forme

${\frac {1}{2}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{li,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{li}{\ddot {x}}^{i}=0$

Multipliant par $g^{kl}$, on obtient

$g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-g_{li,j}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}\right)-{\ddot {x}}^{k}=0$

et donc

${\ddot {x}}^{k}=g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}-g_{li,j}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$