Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique/Paramétrisation canonique

Un système de coordonnées étant donné, si l'on choisit de paramètrer les courbes par la mesure de leur longueur (appelé paramètre canonique), l'équation géodésique devient

${\ddot {x}}^{k}=g^{kl}\left({\frac {1}{2}}g_{ij,l}-g_{il,j}\right){\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}$

Le point supérieur est la dérivée totale par rapport au paramètre canonique. Démonstration.