Aller au contenu

Calcul tensoriel/Géodésiques/Équation géodésique

Un livre de Wikilivres.

On obtient l'équation d'une géodésique en écrivant que sa longueur est minimale.

Un système de coordonnées étant donné, le tenseur métrique donne la longueur d'une courbe infinitésimale . Le signe optionnel est choisi en fonction du signe de l'intervalle et de la signature du tenseur métrique.

Si la courbe est paramétrée au moyen d'une variable , on écrit , où le point supérieur représente la dérivée totale par rapport à . La longueur de la trajectoire est donc la somme

En utilisant la méthode de Lagrange pour exprimer que l'intégrale est minimale, on obtient l'équation géodésique

avec