Calcul écrit/Calcul de la racine quatrième d'un nombre

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L'extraction de la racine quatrième d'un nombre entier ou décimal telle qu'elle peut être pratiquée à la main ou à l'aide d'un ordinateur est une curiosité rarement exposée mais qui peut intéresser les amateurs.

Voici, présentée sur un exemple, la manière de procéder qui n'est qu'une extension de celle couramment pratiquée pour la racine carrée d'un nombre et assez généralement connue. La justification viendra ensuite.

Soit donc à extraire la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier 218889236736 (nombre que l'on sait a priori être la quatrième puissance de 684).

On dispose les calculs comme pour une division ordinaire, le nombre précédent prenant la place occupée généralement par le dividende, le résultat venant s'inscrire progressivement à la place du diviseur et les calculs auxiliaires à la place du quotient.

Méthode

Les différentes étapes du calcul à effectuer sont les suivantes:

A	On commence par séparer le nombre 218889236736 en tranches de quatre chiffres comme ceci 2188.8923.6736, en partant de la virgule, vers la gauche et vers la droite, la tranche la plus à gauche pouvant donc contenir 1, 2, 3 ou 4 chiffres (ici 4).	2188 8923 6736
B	On cherche la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de la tranche la plus à gauche (ici 2188). Cette racine quatrième est 6 (premier résultat partiel de la racine cherchée), car 64 = 1296 $\leq$ 2188 < 2401 = 74). On place ce premier résultat partiel de la racine cherchée à l'endroit habituellement réservé pour le diviseur, puis on retranche sa quatrième puissance (6 fois 6 fois 6 fois 6 donc 1296) à la première tranche à gauche (2188 donc). Le résultat 892 (premier reste partiel) s'inscrit à l'emplacement qui lui est réservé et tel qu'il apparaît dans l'exemple.	2188 8923 6736 6 -1296 ................ = 892
C	On "abaisse" la tranche "suivante" (8923 donc) à droite de ce premier reste partiel (892) de façon à former le nombre 8928923	2188 8923 6736 6 892 8923
D	Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (8928923 donc) par le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 864000 (4 fois le cube de 60). Ce quotient est 10 (car 8928923 / 864000 = 10,33...) et il est trop fort a priori puisque l'on sait que le deuxième chiffre à trouver ne peut dépasser 9 et est un 8, le résultat annoncé précédemment étant 684. (Les calculs nécessaires pour prouver que 9 est trop fort, fourniraient le résultat 9707121 au lieu de 8421376 (voir ci-dessous le E)) et ce résultat 9707121 conduirait à une soustraction impossible et ces calculs sont laissés aux lecteurs courageux).
E	Cela fait, on ajoute : le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 60, soit 864000 déjà calculé) le sextuple du produit du carré du décuple du résultat partiel par le chiffre 8 à essayer et obtenu en D) (6 fois le produit du carré de 60 par 8, soit 172800) le quadruple du produit du décuple du résultat partiel par le carré du chiffre 8 à essayer (4 fois le produit de 60 par le carré de 8, soit 15360) le cube du chiffre 8 à essayer (le cube de 8, soit 512) puis on multiplie la somme (1052672) par le chiffre 8 à essayer, ce qui donne 8421376 que l'on retranche à gauche au nombre 8928923, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 507547 (deuxième reste partiel). On place alors le chiffre 8 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du chiffre 6 (premier résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le deuxième résultat partiel de la racine cherchée, soit 68
C (bis)	On "abaisse" la tranche "suivante" (6736 donc) à droite de ce deuxième reste partiel (507547) de façon à former le nombre 5075476736 et on recommence comme en D).
D (bis)	Pour trouver le chiffre suivant du résultat, on cherche le quotient de la division entière du résultat précédent (5075476736 donc) par le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine, donc par 1257728000 (4 fois le cube de 680). Ce quotient est 4 (car 5075476736 / 1257728000 = 4,03 ...) et il convient comme le montre les calculs suivants : En effet :
E (bis)	Cela fait, on ajoute : le quadruple du cube du décuple du résultat partiel déjà obtenu de la racine (4 fois le cube de 680, soit 1257728000 déjà calculé) le sextuple du produit du carré du décuple du résultat partiel par le chiffre 4 à essayer et obtenu en D bis) (6 fois le produit du carré de 680 par 4, soit 11097600) le quadruple du produit du décuple du résultat partiel par le carré du chiffre 4 à essayer (4 fois le produit de 680 par le carré de 4, soit 43520) le cube du chiffre 4 à essayer (le cube de 4, soit 64) puis on multiplie la somme (1268869184) par le chiffre 4 à essayer, ce qui donne 5075476736 que l'on retranche à gauche au nombre 5075476736, ce qui conduit à inscrire au dessous le nombre 0 (deuxième reste partiel). On place alors le chiffre 4 que l'on vient d'essayer et qui a conduit à une soustraction possible, à droite du nombre 68 (deuxième résultat partiel de la racine cherchée) ce qui donne le troisième résultat partiel de la racine cherchée, soit 684 qui est d'ailleurs la racine quatrième exacte puisque le reste est égal à 0.

Exemple

   

	2	1	8	8		8	9	2	3		6	7	3	6	▮	6	8	4		(	R	é	s	u	l	t	a	t	)
—	1	2	9	6											▮	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬
	▬	▬	▬	▬											▮			4	×	6	0	³	=		8	6	4	0	0	0
		8	9	2		8	9	2	3						▮	6	×	6	0	²	×	8	=		1	7	2	8	0	0
	—	8	4	2		1	3	7	6						▮	4	×	6	0	×	8	²	=			1	5	3	6	0
		▬	▬	▬											▮						8	³	=					5	1	2
			5	0		7	5	4	7		6	7	3	6	▮			T	o	t	a	l	=	1	0	5	2	6	7	2	×	8	=	8	4	2		1	3	7	6
		—	5	0		7	5	4	7		6	7	3	6	▮	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬
			▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▬	▮			4	×	6	8	0	³	=	1	2	5	7	7	2	8	0	0	0
								R	e	s	t	e		0	▮	6	×	6	8	0	²	×	4	=			1	1	0	9	7	6	0	0
															▮	4	×	6	8	0	×	4	²	=						4	3	5	2	0
															▮							4	³	=									6	4
															▮				T	o	t	a	l	=	1	2	6	8	8	6	9	1	8	4	×	4	=	5	0		7	5	4	7		6	7	3	6

Justification

Soit A un entier, A₁ le nombre de dizaines de mille de A et x la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A₁. Alors x est le nombre de dizaines de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de l'entier A.

On a

A = 10000 A₁ + A₂ avec      0 $\leq$ A₂ < 10000

et

x⁴ $\leq$ A₁ < (x + 1)⁴

donc

(10x)⁴ $\leq$ 10000 A₁ < [10(x + 1)]⁴

Or A₁ et (x + 1)⁴ étant des entiers distincts, leur différence est supérieure ou égale à l'unité. Donc :

(x + 1)⁴ - A₁ $\geq$ 1

et donc

[10(x + 1)]⁴ - 10000 A₁ $\geq$ 10000 > A₂

donc

[10(x + 1)]⁴ > 10000 A₁ + A₂ = A

On a donc en définitive :

(10x)⁴ $\leq$ 10000 A₁ $\leq$ 10000 A₁ + A₂ = A < [10(x + 1)]⁴

ce qui établit l'énoncé précédent puisque

(10x)⁴ $\leq$ A < [10(x + 1)]⁴

Il résulte de là que, si y est le chiffre des unités de la racine quatrième approchée à une unité près par défaut de A, on a

(10x + y)⁴ $\leq$ A < (10x + y + 1)⁴

et que

A = (10x + y)⁴ + R

R étant le reste de l'opération, reste qui vérifie d'ailleurs la relation

R < (10x + y + 1)⁴ - (10x + y)⁴

ou, tous calculs faits :

R <4000x³ + 4y³ + 1200x²y + 120xy² + 600x² + 6y² + 120xy + 40x + 4y + 1

Ainsi, on a donc :

A = 10000x⁴ + 4000x³y + 600x²y² + 40xy³ + y⁴ + R

ou, ce qui est mieux :

A = (10x)⁴ + 4.(10x)³y + 6(10x)²y² + 4(10x)y³ + y⁴ + R

Désignons par B la différence

A - (10x)⁴

différence que l'on appellera le premier reste partiel de l'opération.

On a

B = 4.(10x)³y + 6(10x)²y² + 4(10x)y³ + y⁴ + R

donc

B / 4.(10x)³ = y + [6.(10x)²y² + 4.(10x)y³ + y⁴ + R] / (4.(10x)³ )

Alors le quotient de B par 4.(10x)³, c'est-à-dire par le quadruple du cube du décuple de x est un nombre supérieur ou égal à y, y ne pouvant dépasser le chiffre 9 . Si donc on prend pour y un chiffre inférieur (au sens large) à la fois à 9 et à la partie entière de ce quotient, on aura soit le chiffre des unités de la racine quatrième cherchée, soit un chiffre trop fort. Pour lever l'ambigüité il suffit de former le nombre 10x + y, donc de placer le chiffre y à droite de x et d'élever le résultat à sa quatrième puissance. Si le résultat est inférieur ou égal à A, c'est que y convient et la racine quatrième de A approchée à une unité près par défaut est le nombre 10x + y, sinon on refait des essais identiques avec les nombres y - 1, y - 2, etc ...jusqu'à obtenir un résultat inférieur ou égal à A, la dernière tentative livrant donc le chiffre des unités de la racine quatrième.

Ce qui précède justifie les calculs effectués dans l'exemple donné en préambule. Le lecteur habitué aux raisonnements mathématiques n'aura aucune peine à compléter l'explication pour lui-même.

Il ne semble pas utile de dire, puisque c'est évident, que si le nombre A possède des chiffres après la virgule, pour obtenir des décimales au résultat, il suffit de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de quatre chiffres, d'"abaisser" celles-ci et de continuer de la même façon qu'auparavant en plaçant la virgule à l'endroit approprié du résultat.

Enfin, si le nombre A n'est pas une quatrième puissance parfaite, pour obtenir des décimales à la racine quatrième, il suffit là encore de compléter le nombre A à droite avec des 0 de façon à obtenir des tranches de quatre chiffres et d'"abaisser" celles-ci une fois arrivé à la fin du nombre.