Transferts thermiques/Conduction et équations différentielles

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Transferts thermiques

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Nous revenons sur la conduction thermique déjà évoquée dans un chapitre précédent mais pour nous intéresser aux équations différentielles qui régissent ces transferts thermiques.

Introduction

La thermique est gérée par des équations différentielles auxquelles obéit la température. Elles ne sont valables que dans certaines conditions. Nous allons essayer de dégager dans ce chapitre, un certain nombre de lois à partir d'une équation complètement générale. Les équations les plus générales étant des relations de conservation, nous allons nous intéresser à la conservation de la puissance :

\Phi _{e}+P-\Phi _{s}=\Phi _{st}

Cette loi nous dit que la puissance entrante $\Phi _{e}$ plus la puissance P produite au sein du matériau moins la puissance sortante $\Phi _{s}$ est égale à la puissance stockée $\Phi _{st}$ . P sera une puissance de chauffage pour l'étude du chauffage domestique ou industriel, ou une puissance électrique pour l'étude de la dissipation de l'énergie dans les composants électroniques. La puissance stockée n'a pas encore été rencontrée et sera expliquée plus loin.

Le principe général est la conservation de l'énergie ou des puissances. Cette formule montre qu'il existe au moins deux raisons pour lesquelles la puissance thermique (ou flux thermique) ne se conserve pas :

variation d'énergie interne (liée ici à la puissance stockée)
apport ou retrait de puissance (terme P)

ATTENTION : Les conventions de signes utilisées dans cette section sont :

$\Phi _{e}>0$ s'il est entrant
$\Phi _{s}>0$ s'il est sortant

Équation de la température en régime stationnaire

L'équation satisfaite par la température est une équation différentielle du second ordre. Elle est présentée ici dans Wikipédia, mais nous allons essayer de la détailler de manière pédagogique.

Conservation du flux thermique

L'équation qui régit la distribution de température dans le cas où la densité de flux thermique se conserve (soit P=0 et $\Phi _{st}=0$ ) peut naturellement s'établir sans grandes difficultés. Commençons par la conservation de puissance :

$\Phi _{e}-\Phi _{s}=0$

qui signifie que la puissance thermique (ou flux thermique) qui entre, sort intégralement comme dans l'exemple de la figure. On peut aussi écrire :

$\Phi _{s}-\Phi _{e}={\frac {d\Phi }{dx}}\cdot \Delta x=0$

Nous espèrons que le lecteur ne voit rien de surprenant dans cette équation : si l'on retire le $\Delta x$ (qui est différent de 0) elle ne fait qu'exprimer le fait que la dérivée suivant x est nulle, autrement dit que $\Phi$ ne dépend pas de x (est constant), ce qui est notre hypothèse de départ.

Cette équation avec l'équation de Fourier :

$\Phi ={\frac {dQ}{dt}}=-k\cdot S\cdot {\frac {dT}{dx}}$

donnent ensemble :

$\Phi _{s}-\Phi _{e}={\frac {d\Phi }{dx}}\cdot \Delta x=-{\frac {d}{dx}}k\cdot S\cdot {\frac {dT}{dx}}\cdot \Delta x=0$

Si $\Delta x$ n'est pas nul, il vient alors :

{\frac {d}{dx}}k\cdot S\cdot {\frac {dT}{dx}}=0

où l'on a retiré le signe moins devenu inutile.

Dans le cas où, ni S ni k ne dépendent de x, on retrouve

${\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}=0$

Nous avons pris un certain nombre de libertés mathématiques, en passant de dérivées aux dérivées partielles et il nous faut revenir sur ce point.

Rappelons que si la température T ne dépend que de x, cette équation peut être écrite avec une dérivée normale (d droit) mais si T dépend de x et de t alors on doit utiliser les dérivées partielles pour rester rigoureux. Ainsi, si la rigueur mathématique nous empêche de dormir, il nous faudra utiliser l'une ou l'autre des équations différentielles :

${\frac {\partial ^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}}}=0$

ou

${\frac {{\mathrm {d} }^{2}T(x)}{{\mathrm {d} }x^{2}}}=0$

qui ne sont, de toute façon, pas difficiles à résoudre.

Notons aussi au passage que l'on utilisera souvent un résultat intermédiaire de cette section dans la suite de ce chapitre :

$\Phi _{s}-\Phi _{e}={\frac {d\Phi }{dx}}\cdot \Delta x=-{\frac {d}{dx}}k\cdot S\cdot {\frac {dT}{dx}}\cdot \Delta x$

Dans les trois sections suivantes, nous allons nous appliquer à faire disparaître cette équation différentielle en nous intéressant à des cas particuliers mais importants. Ceci nous permettra d'introduire une notion essentielle pour cela : la notion de résistance thermique.

Exemple

Dans le cas d'un parallélépipède (comme présenté dans la figure de profil) la résolution de l'équation différentielle donne une distribution de température linéaire. Le point essentiel de cette figure est que la surface traversée par le flux thermique est constante. La surface ne dépend pas de x.

Cette distribution linéaire de température peut se retrouver dans tous les matériaux homogène (k ne dépend pas de x) ainsi que pour les géométries suivantes :

cube si le flux thermique traverse d'une face vers l'autre face opposée sans aucune variation (sans perte sur les surfaces latérales ce qui nécessite un isolant thermique sur les faces latérales)
parallélépipède si le flux thermique traverse d'une face vers l'autre face opposée sans aucune variation (sans perte sur les surfaces latérales ce qui nécessite un isolant thermique sur les faces latérales)
cylindre si le flux thermique traverse d'une face circulaire vers l'autre face circulaire opposée sans aucune variation (sans perte sur les surfaces latérales ce qui nécessite un isolant thermique sur les faces latérales)
section patatoïde (surface quelconque de forme inclassable mais constante)
section patatoïde qui se déforme mais qui garde la propriété Surface = constante

Pour toutes ces géométries, il est possible d'introduire le concept de résistance thermique. Ce concept permet de contourner les équations différentielles.

Notion de résistance thermique

La notion de résistance thermique est évoquée dans la section Conduction en régime stationnaire de l'article général Conduction thermique de Wikipédia. Nous n'allons donc pas reprendre le sujet ici mais avertissons seulement le lecteur que notre conductivité thermique du matériau notée k dans ce livre, y est notée $\lambda$ .

Une fois cette notion de résistance thermique posée vous pourrez voir les associations séries et parallèles de celles-ci dans cet article. Il est important de noter à ce propos que :

d'un point de vue électrique, c'est le courant I qui détermine si l'on est en série (le même courant I traverse toutes les résistances) ou en parallèle (le courant I se divise pour traverser les diverses résistances)
d'un point de vue thermique, c'est la puissance thermique $\Phi$ qui détermine si l'on est en série (la même puissance thermique $\Phi$ traverse toutes les résistances thermiques) ou en parallèle (la puissance thermique $\Phi$ se divise pour traverser les diverses résistances thermiques)

Les résistances thermiques s'additionnent quand elles sont en série. Le calcul des résistances thermiques parallèles se pratique de la même manière qu'en électricité : les inverses s'additionnent pour donner l'inverse.

ATTENTION : Contrairement à ce qui se passe pour l'électricité, l'ajout en parallèle d'une résistance thermique $R_{th2}$ sur une résistance thermique $R_{th1}$ change la valeur de $R_{th1}$ . Ceci est lié à la formule $R_{th}={\frac {e}{k\cdot S}}$ . Cette formule n'est pas générale du tout ! Il n'empêche que la résistance thermique augmentera toujours quand la surface diminue. Ainsi, si la mise en parallèle change la surface vous serez confronté à ce problème. Un exemple peut être ? L'ajout d'un radiateur sur un composant électronique (voir section suivante) est une mise en parallèle qui diminue la surface de contact du composant avec la température ambiante.

Application à l'électronique : calcul de radiateur de refroidissement

Les composants électroniques de puissances ainsi que les processeurs nécessitent des radiateurs de refroidissement. Vous en avez trois exemples sur la photo ci-contre.

Lisez l'article Loi d'Ohm thermique pour comprendre.

On gardera les notations de Loi d'Ohm thermique

R_thJA où J désigne la jonction (la puce de silicium) et A le milieu ambiant
R_thJB où J désigne encore la jonction et B le boîtier
R_thBR où R désigne le radiateur
R_thRA

Pour nous on utilisera indifféremment ces indices en majuscule ou en minuscule.

On retiendra :

un composant seul est composé de deux résistances thermiques R_thJB et R_thBA en série
un composant avec radiateur est composé des trois résistances R_thJB, R_thBR et R_thRA en série

Voir aussi

Calcul de radiateurs, en français, avec trois exemples
Les radiateurs, article en français avec un exemple
tapez radiateur thermique pour composant dans google pour avoir d'autres liens
Loi d'Ohm thermique

Non conservation du flux thermique

La non conservation du flux thermique de chaleur peut se produire lorsque de la puissance est stockée ou quand une puissance est apportée en interne. Commençons par nous intéresser à la puissance stockée.

La puissance stockée ou variation d'énergie interne

La puissance stockée a été évoquée mais pas encore expliquée. Elle est liée à la notion de capacité thermique massique (notée c) par la relation :

$\Phi _{st}={\frac {dQ}{dt}}=m.c.\left({\frac {dT}{dt}}\right)$

Elle est en fait plus connue sous sa forme énergétique :

$dQ=m.c.dT$

ou sous une forme non différentielle :

$Q=m.c.\Delta T$

Ces formules ont été présentées dans un autre chapitre de ce livre.

Equation différentielle des températures

Que savons-nous jusqu'ici ?

Notre conservation de puissance s'écrit maintenant :

$\Phi _{e}-\Phi _{s}=\Phi _{st}$

On a noté aussi dans une section précédente :

$\Phi _{s}-\Phi _{e}={\frac {d\Phi }{dx}}\cdot \Delta x=-{\frac {d}{dx}}k\cdot S\cdot {\frac {dT}{dx}}\cdot \Delta x$

et l'on vient d'évoquer :

$\Phi _{st}={\frac {dQ}{dt}}=m.c.\left({\frac {dT}{dt}}\right)$

En réunissant tout cela il n'est pas difficile d'obtenir :

$\Phi _{e}-\Phi _{s}=-{\frac {d\Phi }{dx}}\cdot \Delta x={\frac {d}{dx}}k\cdot S\cdot {\frac {dT}{dx}}\cdot \Delta x=\Phi _{st}=m.c.\left({\frac {dT}{dt}}\right)$

Oui, je sais cela manque de rigueur puisque l'on se retrouve encore une fois avec des dérivées normales... au lieu de dérivées partielles. Bon ! Avec de la rigueur et quelques simplifications et faisant apparaître la masse volumique $\rho$ on obtient donc :

${\frac {\partial }{\partial x}}k\cdot S\cdot {\frac {\partial T(x,t)}{\partial x}}\cdot \Delta x=\rho .S.\Delta x.c.\left({\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}\right)$

qui devient en divisant par $\Delta x$ :

{\frac {\partial }{\partial x}}k\cdot S\cdot {\frac {\partial T(x,t)}{\partial x}}=\rho .S.c.\left({\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}\right)

Il est possible de diviser par la surface S qu'à une condition, c'est que celle-ci ne dépende pas de x, ce que l'on ne suppose plus pour le moment.

Résoudre cette équation différentielle est difficile. Mais rappelons à ce point que ce n'est pas encore l'équation la plus générale puisqu'il nous manque encore le terme P (puissance produite au sein du matériau)

Conséquence

Passage du modèle thermique régime permanent au modèle régime transitoire

Le modèle de la résistance thermique n'est plus complet dans ce cas : il faut ajouter une capacité thermique. Puisque nous avons déjà évoqué la relation entre le thermique et l'électrique, nous allons présenter cette capacité thermique en utilisant un schéma électrique.

La figure ci-contre vous montre les limites d'un modèle avec résistance thermique unique. Tout échelon de puissance thermique se traduit en effet par un échelon de température. Tout le monde sait que ce n'est pas ce qui se passe dans la réalité. Si vous chauffez soudainement une face d'une longue barre métallique, la température sur l'autre face met un certain temps à s'établir. Il y a donc apparition de constantes de temps.

L'ajout d'une capacité thermique par contre modélise certainement mieux les choses puisqu'une constante de temps en découle immédiatement. La forme exponentielle de la variation de la température en fonction du temps peut être trouvée comme on le ferait pour un circuit électrique.

Même si ce modèle (résistance thermique en parallèle avec une capacité thermique) est loin d'être parfait, il est cependant suffisant pour modéliser des systèmes réels. L'absence de dérivée d'espace le limite bien sûr à des phénomènes de petites tailles.

Les constantes de temps thermique ne sont pas du tout du même ordre de grandeur que les constantes de temps électriques. Pour vous en convaincre, pensez à votre expérience de tous les jours.

Posez une casserole sur une plaque de cuisson, vous mettrez plusieurs secondes avant de vous brûler sur la partie supérieure de la casseroles, alors que sur la partie en contact avec la plaque est chaude bien avant
le solstice d'été a lieu de 21 Juin et les premières grosses chaleurs arrivent un mois plus tard. Même si cet exemple est discutable car il y a convection (vents) il vous donne un ordre de grandeur quand même

Un moyen d'introduire l'étude des régimes transitoires est d'introduire la notion d'impédance thermique.

Impédances thermiques et composants électroniques

Abaque pour calcul de l'impédance thermique

Contrairement à l'électricité, l'impédance thermique n'est pas un nombre complexe. En électronique, elle se manipule avec des abaques. Vous en avez un ci-contre. La seule difficulté est donc de ne pas se prendre les pieds dans le tapis et en particulier bien reconnaître une grille d'espacement logarithmique.

L'exemple donné ci contre est appelé log-log car les abscisses comme les ordonnées sont en espacement logarithmique.

On s'intéresse à partir de maintenant, à une puissance qui est un signal carré à largeur d'impulsion variable (M.L.I.). On notera dans la suite :

T : la période
t la durée de l'impulsion
$\delta$ = D = t/T le rapport cyclique

Le rapport cyclique est plutôt noté $\alpha$ dans nos contrées française, mais on préfère garder la notation anglo-saxonne.

Que permet de faire l'abaque ci-dessus ? Et bien de trouver l'impédance thermique à partir de la résistance thermique. La relation est la suivante :

$Z_{th}(t)=r(t,D)\cdot R_{th}$

et le coefficient r(t,D) est donné par l'abaque. Simple, non ? Oui si l'on sait que les chiffres qui aparaîssent sur les courbes sont les valeurs du rapport cyclique D.

Mais que permet de calculer l'impédance thermique ?

Si vous désirez connaître la température moyenne d'une jonction d'un composant électronique, c'est la résistance thermique qu'il faut utiliser. Avec la puissance moyenne bien sûr. Donc les formules correspondant à la loi d'Ohm thermique sont applicables avec des moyennes. Pas étonnant les seules opérations utilisées sont des multiplications et/ou des divisions. Ainsi, la formule :

$(T_{1}-T_{0})={\frac {e\cdot \Phi }{k\cdot S}}$

se transforme en (si T0 est constant)

(T_{1moy}-T_{0})={\frac {e\cdot \Phi _{moy}}{k\cdot S}}={\frac {e\cdot D\cdot \Phi _{max}}{k\cdot S}}

où l'on a remplacé $\Phi _{moy}$ par sa valeur $D\cdot \Phi _{max}$

Mais pour les composants électroniques de puissances, il peut y avoir une différence importante entre une température moyenne et une température de crête. Ce que permet d'atteindre l'impédance thermique est toujours la température de crête. La formule devient donc :

(T_{1crete}-T_{0})=r(t,D)\cdot {\frac {e}{k\cdot S}}\cdot \Phi _{max}=Z_{th}(t,D)\cdot \Phi _{max}

Une petite remarque finale.

La comparaison des deux formules encadrées ci-dessus vous permet de trouver une propriété de r(t,D).

Puisque $T_{crete}$ est plus grand que $T_{moy}$ cela veut dire que r(t,D) > D. Vous pouvez vérifier cela sur l'abaque donnée.
Une autre propriété moins évidente est que quand la durée d'impulsion diminue pour une capacité thermique constante, cette dernière a tendance a moyenner de plus en plus. Autrement dit, il est normal que les courbes tendent vers D quand on se déplace vers la gauche.

Documentation pour transistor de puissance.

On vous présente sur le côté un autre type de documentation pour les impédances thermiques. Ici on remarque :

on a des graduations semi-log, logarithmique en abscisse et linéaires en ordonnées
on n'a pas un facteur multiplicatif, mais directement $Z_{thjB}(\delta ,t)$

Application aux composants électroniques

Dans cette section on utilisera encore les notations de Loi d'Ohm thermique

R_thJA où J désigne la jonction (la puce de silicium) et A le milieu ambiant
R_thJB où J désigne encore la jonction et B le boîtier
R_thBR où R désigne le radiateur
R_thRA

Encore une fois, ces indices seront utilisés en majuscule ou en minuscule.

A ce stade, on a l'impression qu'un abaque résout tous les problèmes. Mais non il faut un peu comprendre la physique de tout cela.

Le transitoire est filtré par le condensateur dès que la capacité thermique devient grande. Ainsi seule la résistance thermique $R_{thjb}$ est impactée par la notion d'impédance thermique.

Ainsi, avec ou sans radiateur on a

(T_{jcrete}-T_{a})=(Z_{thjb}(t,D)+D\cdot R_{thba})\cdot \Phi _{max}

Équation générale de la répartition de température

Nous arrivons maintenant au terme de notre recherche d'une équation générale pour la répartition des températures.

Notre conservation de puissance s'exprime maintenant en ajoutant le dernier terme, la puissance produite au sein même du matériau en interne :

$\Phi _{e}-\Phi _{s}+P=\Phi _{st}$

${\frac {\partial }{\partial x}}k\cdot S\cdot {\frac {\partial T(x,t)}{\partial x}}\cdot \Delta x+P=\rho .S.\Delta x.c.\left({\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}\right)$

que l'on peut écrire :

${\frac {\partial }{\partial x}}k\cdot S\cdot {\frac {\partial T(x,t)}{\partial x}}\cdot \Delta x+P=\rho .S.\Delta x.c.\left({\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}\right)$

Si l'on veut simplifier un peu tout cela il nous faut faire des hypothèses supplémentaires. Prenons par exemple le cas où ni S ni k ne dépendent de x. Pas mal les simplifications non ?

$k.{\frac {\partial ^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}}}+{\frac {P}{S.\Delta x}}=\rho .c.\left({\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}\right)=0$

que l'on écrira :

k.{\frac {\partial ^{2}T(x,t)}{\partial x^{2}}}+p=\rho .c.\left({\frac {\partial T(x,t)}{\partial t}}\right)=0

si p désigne la puissance volumique. Cette équation a déjà été établie dans établissement de l'équation de la chaleur dans Wikipédia.

Évidemment cette équation se généralise facilement aux cas où la température dépend des trois coordonnées d'espace :

k.{\frac {\partial ^{2}T(x,y,z,t)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T(x,y,z,t)}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}T(x,y,z,t)}{\partial z^{2}}}+p=\rho .c.\left({\frac {\partial T(x,y,z,t)}{\partial t}}\right)=0

On peut trouver des animations de la conduction en régime dynamique qui représentent visuellement les solutions de l'équation que l'on vient d'établir pour une température dépendant de deux paramètres d'espace (x et y).

Voir aussi