Transferts thermiques/Conduction

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Transferts thermiques

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La conduction thermique est un transfert de chaleur qui se réalise sans déplacement de matière. Ce transfert de chaleur est rencontré le plus souvent dans des matériaux solides, mais il peut aussi être étudié dans des fluides; liquide ou gaz.

L'article Wikipédia sur la conduction thermique est tellement complet qu'il rend un peu obsolète ce chapitre. Pour ne pas mettre à la poubelle l'effort de réalisation de ce chapitre il faudra lui ajouter des exemples numériques... dans un futur le plus proche possible !

Loi de Fourier à une dimension

Le transfert par conduction est un échange d'énergie avec contact quand il existe un gradient de température (variation progressive de la température) au sein d'un système. Cette phrase tirée de Wikipédia mérite quelques explications.

Notion de gradient de température

Comme précisé, nous nous limitons pour les explications à une variation de température en fonction d'un seul paramètre que l'on choisira comme x.


Définition
On appellera gradient de la température T(x,t), la dérivée par rapport à x de cette grandeur. Comme on peut le remarquer, on ne s'est pas interdit de faire varier la température en fonction du temps t, ce qui implique que le gradient lui aussi varie en fonction du temps.

Puisque nous en sommes aux définitions, nous pouvons continuer pour définir le flux thermique ou Puissance thermique.


Définition
On appellera flux thermique la puissance thermique échangée. Contrairement à ce qui se fait dans d'autres parties de la physique, on a pris l'habitude de le noter $\Phi$ ou parfois Q point.

Notion de densité d'énergie


Définition
La densité d'énergie, notée $j$ , est le rapport du flux thermique à la surface étudiée. Si la densité d'énergie est homogène sur la surface étudiée, on a : $j={\frac {\Phi }{S}}$ Avec $j$ en W.m^-2, $\Phi$ en W et $S$ en m².

Loi de Fourier

Dans un milieu dont la température T(x,t) varie dans la direction de l'axe (Ox), la conduction se manifeste par l'existence d'un flux thermique orienté dans le sens des températures décroissantes. Joseph Fourier a observé expérimentalement une relation de proportionnalité entre le flux thermique et la dérivée spatiale de la température :

\Phi ={\frac {dQ}{dt}}=-k\cdot S\cdot {\frac {dT}{dx}}

Soit :

j=-k\cdot {\frac {dT}{dx}}

k est la conductivité thermique du milieu et se mesure en W.m^-1.K^-1 (elle est également notée $\lambda$ ). $\Phi$ est donc le flux thermique et se mesure en Watts (W). $S$ est la surface étudiée, en m². C'est une équation différentielle simple qu'il nous faudra intégrer dans des cas spécifiques.

La loi de Fourier ne fait qu'exprimer le fait que toute différence de température entraîne un échange de chaleur dans le sens des températures décroissantes. Vous ne pouvez pas y échapper sauf si vous possédez un corps pour lequel k=0, ce qui n'existe pas dans la nature.
Le fait que cet échange soit proportionnel à la différence de température est relativement intuitif : l'hiver, pour maintenir votre température intérieure à 20°C, vous ne dépensez pas la même énergie suivant que la température extérieure est à 10°C ou à -15°C. N'oubliez pas que votre chauffage n'a comme raison d'être qu'une compensation des échanges d'énergie de votre pièce avec l'extérieur.
Le fait que l'échange soit proportionnel à la surface est aussi intuitif : c'est la surface de contact de votre pièce à chauffer avec l'extérieur froid qui fait le coût du chauffage. Toutes les pièces d'une maison n'ayant pas de contact avec le froid extérieur sont plus faciles à chauffer.
Même la notion de gradient est intuitive : vous savez qu'en augmentant l'épaisseur de vos murs votre facture de chauffage diminuera. Faisant varier l'épaisseur du mur, c'est le rapport entre la différence des températures de part et d'autre du mur par l'épaisseur qui varie. Le gradient est la représentation locale de ce rapport, i.e. pour un mur d'épaisseur dx.

Ainsi, l'équation de Fourier est une équation différentielle, pour laquelle une interprétation intuitive n'est pas très difficile.

Ordre de grandeur des conductivités

Métaux purs : 50 à 500 W.m^-1.K^-1 : cuivre 387 W.m^-1.K^-1, aluminium: 203 W.m^-1.K^-1, argent:418W.m^-1.K^-1, fer : 73 W.m^-1.K^-1, acier : 36 W.m^-1.K^-1, plomb : 35 W.m^-1.K^-1
Alliages : 10 à 100 W/m.K
Solides non métalliques : 10-2 à 10 W.m^-1.K^-1 : SiC (céramique) 50-100 W.m^-1.K^-1 quartz : 19,6 W.m^-1.K^-1, marbre : 2,8 W.m^-1.K^-1, eau (glace) : 2,2 W.m^-1.K^-1, pyrex 1 W.m^-1.K^-1, bois 0,12 W.m^-1.K^-1, béton : 0,92 W.m^-1.K^-1
Liquides : $10^{-1}$ à 1 W.m^-1.K^-1 : mercure : 8,2 W.m^-1.K^-1, eau : 0,55 W.m^-1.K^-1
Matériaux isolants : $10^{-2}$ à 1 W.m^-1.K^-1 : laine de verre 0,04 W.m^-1.K^-1, polystyrène 0,040 W.m^-1.K^-1
Gaz à la pression atmosphérique: $10^{-3}$ à $10^{-1}$ W.m^-1.K^-1 : hydrogène : 0,17 W.m^-1.K^-1, air : 0,024 W.m^-1.K^-1, hélium : 0,14 W.m^-1.K^-1
Super isolants thermiques $10^{-4}$ W.m^-1.K^-1

Remarque : il est à noter que les deux unités W/m/K et W/m/°C sont les mêmes unités. Le kelvin, noté K, fait partie des unités du système international et est donc plus souvent utilisé en physique. Un degré Celsius, noté °C, vaut un kelvin, et 0°C = 273,5 K ; 0 K est le zéro absolu, température à laquelle l'agitation moléculaire est nulle. Lorsqu'il s'agit d'une différence de températures, peu importe l'unité utilisée, le résultat sera le même.

Notion de résistance thermique

La phrase : "dès qu'il y a un gradient de température, il y a un échange de chaleur", ne vous rappelle-t-elle pas : "dès qu'il y a un gradient de tension, il y a un courant électrique" ? Le parallèle entre ces deux domaines, la thermique et l'électricité, va nous permettre de définir la notion de résistance thermique.

Comme la résistance électrique, la résistance thermique d'un corps dépend de sa conductivité thermique et de sa géométrie. On définit alors cette notion importante en reprenant la loi de Fourier sous forme non différentielle.


Définition
On appelle résistance thermique le quotient : $R_{th}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\Phi }}$ (unité K/W ou °C/W) Ainsi l'analogie entre les deux domaines (électrique avec la loi d'Ohm, et thermique) nous indique que ce qui jouera le rôle d'une différence de tension sera une différence de température et que ce qui jouera le rôle de l’intensité électrique sera le flux thermique (ou puissance thermique).

On peut déduire de cette définition :

\Phi =k\cdot S\cdot {\frac {T_{1}-T_{2}}{l}}

qui est l'équation différentielle de Fourier.

Ce qui fait la particularité de cette figure est que le flux thermique $\Phi$ est conservatif, c'est-à-dire celui qui sort est le même que celui qui entre, et surtout que la surface traversée par ce flux thermique reste constante (peu importe sa forme). Dans ce cas la variation de température se fait suivant l'axe Ox.

Intéressons nous à une surface S placée en x. Elle vérifie $\Phi \cdot dx=-k\cdot S\cdot dT$ que nous pouvons intégrer :

$\int _{T_{1}}^{T_{2}}-k\cdot S\cdot dT=\Phi \cdot \int _{0}^{l}dx$

et qui donne le résultat annoncé : $\Phi =k\cdot S\cdot {\frac {T_{1}-T_{2}}{l}}$

En reprenant la définition de la résistance thermique, il vient :

R_{th}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\Phi }}={\frac {1}{k}}\cdot {\frac {l}{S}}

qui n'est pas sans rappeler l'expression de calcul d'une résistance électrique $R={\rho }\cdot {\frac {l}{S}}$ .

Remarque : La conductivité thermique k est parfois remplacée par le coefficient global de transmission thermique K.

Association de résistances thermiques

Rappelons-nous que c'est le flux thermique qui joue le rôle du courant électrique... Un courant électrique est conservé (Loi des nœuds) et il doit en être de même pour le flux thermique si l'on veut pouvoir utiliser le concept de résistance thermique. Ce n'est pas vrai en général, mais quand c'est le cas on peut s'appuyer sur cette notion.

L'association de résistances thermique sera dit en série si le même flux thermique traverse l'ensemble des résistances. Si ce flux thermique se divise en plusieurs parties, l'association de résistances thermiques sera dit en parallèle. Par exemple, si vous vous intéressez à l'échange thermique entre une pièce et l'extérieur à travers une double cloison, le flux thermique traversant l'ensemble, vos résistance thermiques (des cloisons et de l'inter-cloison) seront en série. Mais si, pour cette même pièce, la cloison est composée d'un mur dans lequel est disposée une fenêtre, alors la résistance thermique de la cloison et celle de la fenêtre sont en parallèle.

Pour un exemple d'association de résistances thermiques en série voir : mur composé série

Pour un exemple d'association de résistances thermiques en parallèle voir : mur composé parallèle.

Des vecteurs pour aller vers les dimensions supérieures

Considérons un corps dont la température T ne dépend que de la coordonnée x et du temps t. La quantité d'énergie $\delta Q$ , qui traverse par conduction thermique une surface élémentaire dS perpendiculaire à l'axe (Ox) pendant une durée dt, est d'autant plus importante que dS et dt sont grands :

\delta Q=j_{th}\cdot dS\cdot dt=d\Phi \cdot dt

où donc $d\Phi =j_{th}\cdot dS$ .

$d\Phi$ est le flux thermique de $j_{th}$ à travers la surface dS et $j_{th}$ s'appelle la densité de flux de chaleur. Le flux thermique $\Phi$ est une puissance et s'exprime en watt (W).

Dans le cas plus général où la surface n'est pas perpendiculaire au flux thermique, on est obligé d'utiliser la notation vectorielle :

d\Phi ={\vec {j_{th}}}\cdot {\vec {dS}}

On peut donc écrire ${\vec {j_{th}}}=k\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T)$ qui fait intervenir le gradient vectoriel de la température. La loi de Fourier pour 3dimensions s'écrit donc :

${\frac {d\Phi }{d{\vec {S}}}}=-k\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T)$

ou encore

$\Phi =-\iiint k\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T)\cdot d{\vec {S}}$

Résoudre cette intégrale triple est difficile dans le cas général. Nous allons donc nous intéresser aux cas particuliers de cette loi lors d'une symétrie cylindrique, puis à cette loi en symétrie sphérique.

Symétrie cylindrique

Imaginons donc un cylindre creux ayant deux surfaces latérales donc, une interne à la température $T_{1}$ et une externe à la température $T_{2}$ . Ces températures sont considérées comme indépendantes du temps pour simplifier. Nous allons chercher à évaluer le flux thermique dû à ce gradient de température. Si toutes les données du problème ne dépendent que de la coordonnée r (cylindre homogène) alors l'équation ${\frac {d\Phi }{d{\vec {S}}}}=-k\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T)$ se simplifie en :

$d\Phi =-k\cdot {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}(T)\cdot d{\vec {S}}$

A cause de la symétrie cylindrique, il vient :

$\Phi =-k\cdot {\frac {dT}{dr}}\cdot S(r)$

Notre Loi de Fourier peut donc s'exprimer par :

$\Phi {\frac {dr}{S(r)}}=-k\cdot dT$

Si la surface s'exprime par $S(r)=2\pi r\cdot L$ où L est la longueur du cylindre on peut facilement séparer les variables r et T.

Ainsi l'intégrale à calculer devient simplement :

$\Phi \cdot \int _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {dr}{r}}=-2\pi kL\int _{T_{1}}^{T_{2}}dT$

La variation de température s'écrit : $\ T_{1}-T_{2}={\frac {\Phi }{2\pi kL}}\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

et donc

$\Phi ={\frac {2\pi kL(T_{1}-T_{2})}{\ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}$

qui montre bien que $\Phi$ est constant (ne dépend pas de r)... et quand $\Phi$ est constant, on peut utiliser la notion de résistance thermique :

La définition de la résistance thermique nous permet aussi de la calculer :

$R_{th}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\Phi }}={\frac {1}{2\pi kL}}\cdot \ln {\frac {R_{2}}{R_{1}}}$

Voir aussi la conduction thermique dans Wikipédia pour les associations de résistances thermiques.

Symétrie sphérique

Lire l'article sur la sphère dans Wikipédia pour le rappel du calcul de la surface.

Si nous avons une symétrie sphérique, on peut encore partir de la loi de Fourier exprimée en fonction de r :

$\Phi {\frac {dr}{S(r)}}=-k\cdot dT$

sauf que maintenant la dépendance de la surface en fonction de r est un peu différente :

$S(r)=4\cdot \pi \cdot r^{2}$

Puisque l'intégration ne fera plus apparaître de Logarithme, elle est laissée au lecteur.

Voir aussi