Transferts couplés

Représentation des transferts par des circuits thermiques

Les échanges thermiques par conduction, convection et rayonnement sont dus à une différence de température. Pour des petites variations de ces différences, les modèles peuvent être linéarisés. On peut alors représenter les transferts de chaleur couplés par un système d’équations algébriques et différentiels linéaires à coefficients constants. Ce système d'équations a comme inconnues les températures dans les nœuds, comme entrées les valeurs des sources (de température et/ou de flux) et comme paramètres les valeurs des résistances et capacités thermiques.

Obtenir le système d'équations différentielles algébriques

Considérons le circuit thermique représenté sur la figure suivante.

Exemple de circuit thermique

La différence de température entre deux nœuds est :

${e}_{k}={\theta }_{l-1}+{b}_{k}-{\theta }_{l}$

où ${b}_{k}$ est la température de la source dans la branche $k$, ${\theta }_{l-)}$ et ${\theta }_{l}$ sont, respectivement, la température des nœuds $l-1$ et $l$. En écrivant cette équation pour toutes les branches, on obtient :

$\mathbf {e} =-\mathbf {A} \theta +\mathbf {b} \qquad (1)$

où:

• $\mathbf {e} =[{e}_{1}\ldots {e}_{k}\ldots {e}_{n}]^{T}$ est le vecteur des différences de température;

• $\mathbf {\theta } =[{\theta }_{1}\ldots {\theta }_{k}\ldots {\theta }_{n}]^{T}$ est le vecteur des températures dans chaque nœud;

• $\mathbf {b} =[{b}_{1}\ldots {b}_{k}\ldots {b}_{n}]^{T}$ est le vecteur des sources de températures;

• $\mathbf {A}$ est la matrice de connexions qui représente la topologie des circuits. Un élément ${a}_{kl}$ de cette matrice a la valeur :

$a_{kl}={\begin{cases}0,&{\mbox{si }}R_{k}{\mbox{ ne connecte pas avec le nœud }}\theta _{(l)}\\1,&{\mbox{si le flux entre le nœud }}\theta _{(l)}\\-1,&{\mbox{si le flux sort du nœud }}\theta _{(l)}\end{cases}}$

Pour le modèle montré dans la figure, on a:

${\begin{bmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\\e_{4}\\e_{5}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\-1&0&0&1\\0&1&0&-1\\0&-1&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\theta _{s0}\\\theta _{si}\\\theta _{i}\\\theta _{w}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\theta _{0}\\\theta _{0}\\0\\0\\0\end{bmatrix}}$

Le flux de chaleur dans chaque branche est :

${q}_{k}={R}_{k}^{-1}{e}_{k}$

Pour tout le système, on a :

$\mathbf {q} =\mathbf {G} e\qquad (2)$

où:

• $\mathbf {q} =[{q}_{1}\ldots {q}_{k}\ldots {q}_{n}]^{T}$ est le vecteur des flux dans chaque branche;

• $\mathbf {G} ={\begin{bmatrix}R_{1}^{-1}&0&0\\0&\ddots &0\\0&0&R_{m}^{-1}\end{bmatrix}}$ est la matrice (diagonale) des conductances thermiques.

Pour le modèle présenté dans la figure, on obtient:

${\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\q_{4}\\q_{5}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}R_{v}^{-1}&0&0&0\\0&R_{C0}^{-1}&0&0&0\\0&0&R_{w1}^{-1}&0&0\\0&0&0&R_{w2}^{-1}&0\\0&0&0&0&R_{ci}^{-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{1}\\e_{2}\\e_{3}\\e_{4}\\e_{5}\end{bmatrix}}$

Le bilan d'énergie dans une nœud indique que la variation au cours du temps de l’énergie accumulée dans une capacité thermique, $C_{l}{\dot {\theta }}_{l}$, est égale à la somme algébrique des flux entrant dans le nœud, $\sum _{l}q_{l}$, et du flux de la source connectée avec ce nœud. Pour le circuit donné dans la figure,

${\begin{cases}0=q_{2}-q_{3}+{\dot {Q}}_{0}\\0=q_{4}-q_{5}+{\dot {Q}}_{i}\\C_{a}{\dot {\theta _{a}}}=q_{1}+q_{5}\\C_{w}{\dot {\theta _{w}}}=q_{3}-q_{4}\end{cases}}$

ou, sous forme matricielle :

${\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&C_{a}&0\\0&0&0&C_{w}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\theta _{s0}\\\theta _{si}\\{\dot {\theta }}_{i}\\{\dot {\theta }}_{w}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&-1\\1&0&0&0&1\\0&0&1&-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{c}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\\q_{4}\\q_{5}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}{\dot {Q}}_{0}\\{\dot {Q}}_{i}\\0\\0\end{bmatrix}}$

ou

$\mathbf {C} \mathbf {\dot {\theta }} =\mathbf {A} ^{T}\mathbf {q} +\mathbf {f} \qquad (3)$

où :

• $\mathbf {C} ={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&C_{a}&0\\0&0&0&C_{w}\\\end{bmatrix}}$ est une matrice diagonale des capacités thermiques.

• $\mathbf {A} ^{T}={\begin{bmatrix}0&1&-1&0&0\\0&0&0&1&-1\\1&0&0&0&1\\0&0&1&-1&0\end{bmatrix}}$ est la matrice transposée de la matrice A.

• $\mathbf {f} ={\begin{bmatrix}{\dot {Q}}_{0}&{\dot {Q}}_{i}&0&0\end{bmatrix}}^{T}$ est le vecteur des flux des sources connectés aux nœuds.

En remplaçant $\mathbf {q} =\mathbf {G} \mathbf {e}$ de l'équation (3) et $\mathbf {e} =-\mathbf {A} \mathbf {\theta } +\mathbf {b}$ de l'équation (1) on obtient:

$\mathbf {C} \mathbf {\dot {\theta }} =-\mathbf {A} ^{T}\mathbf {G} \mathbf {A} \mathbf {\theta } +\mathbf {A} ^{T}\mathbf {G} \mathbf {b} +\mathbf {f} \qquad (4)$

Le système (4) est un système d'équations algébriques différentielles :

• les éléments nuls sur la diagonale correspondent aux équations algébriques ;
• les éléments non nuls sur la diagonale ($C_{k}$) correspondent aux équations différentielles.

Obtenir la représentation d'état

Dans une représentation d'état, le terme gauche est formé par les dérivées des variables d'état. La matrice C n'est pas inversable. Il faut alors éliminer les lignes pour lesquelles les éléments de la matrice C sont nuls.

On peut écrire le système (4) comme :

$\mathbf {C} \mathbf {\dot {\theta }} =\mathbf {K} \mathbf {\theta } +\mathbf {K} _{b}\mathbf {b} +\mathbf {f} \qquad (5)$

L'équation (5) peut s'écrire donc :

${\begin{bmatrix}0&0\\0&\mathbf {C} _{c}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}\mathbf {\dot {\theta }} _{0}\\\mathbf {\dot {\theta }} _{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{11}&\mathbf {K} _{12}\\\mathbf {K} _{21}&\mathbf {K} _{22}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}\mathbf {\theta } _{0}\\\mathbf {\theta } _{c}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{b1}\\\mathbf {K} _{b2}\end{bmatrix}}.\mathbf {b} +{\begin{bmatrix}\mathbf {I} _{11}&0\\0&\mathbf {I} _{22}\end{bmatrix}}.{\begin{bmatrix}\mathbf {f} _{0}\\\mathbf {f} _{c}\end{bmatrix}}\qquad (6)$

où:

• $\theta _{0}$ et $\mathbf {f} _{0}$ correspondent aux nœuds sans capacité thermique;

• $\theta _{c}$ et $\mathbf {f} _{c}$ correspondent aux nœuds avec capacité thermique;

• $\mathbf {C} _{C}$ est la partition de la matrice $\mathbf {C}$ correspondant aux capacités thermiques non nulles;

• $\mathbf {K} _{11},\mathbf {K} _{12},\mathbf {K} _{21},\mathbf {K} _{22}$ sont des partitions de la matrice $\mathbf {K}$

• $\mathbf {K} _{b1},\mathbf {K} _{b2}$ sont des partitions de la matrice $\mathbf {K} _{b}$

• $\mathbf {I} _{11},\mathbf {I} _{22}$ sont des matrices identité.

On veut maintenant éliminer le vecteur $\theta _{0}$ de l'équation (6); cela nous donne :

$\mathbf {C} _{c}\mathbf {\dot {\theta }} _{c}=(\mathbf {K} _{22}-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}\mathbf {K} _{12})\mathbf {\theta } _{c}+(\mathbf {K} _{b2}-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}\mathbf {K} _{b1})\mathbf {b} -\mathbf {K} _{11}^{-1}\mathbf {K} _{21}\mathbf {f} _{0}+\mathbf {I} _{22}\mathbf {f} _{c}$

On peut écrire :

$\mathbf {\dot {\theta }} _{c}=\mathbf {C} _{c}^{-1}(\mathbf {K} _{22}-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}\mathbf {K} _{12})\mathbf {\theta } _{C}+\mathbf {C} _{c}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{b2}-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}\mathbf {K} _{b1}&-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}&\mathbf {I} _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {b} \\\mathbf {f} _{0}\\\mathbf {f} _{c}\end{bmatrix}}$

Si on pose :

• $\mathbf {A} _{s}=\mathbf {C} _{c}^{-1}(\mathbf {K} _{22}-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}\mathbf {K} _{12})\mathbf {\theta } _{C}$

• $\mathbf {B} _{s}=\mathbf {C} _{c}^{-1}{\begin{bmatrix}\mathbf {K} _{b2}-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}\mathbf {K} _{b1}&-\mathbf {K} _{21}\mathbf {K} _{11}^{-1}&\mathbf {I} _{22}\end{bmatrix}}$

• $\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}\mathbf {b} &\mathbf {f} _{0}&\mathbf {f} _{c}\end{bmatrix}}^{T}$

On obtient l'équation d'état :

$\mathbf {\dot {\theta }} _{c}=\mathbf {A} _{s}\mathbf {\theta } _{c}+\mathbf {B} _{s}\mathbf {u}$

où:

• $\mathbf {A} _{s}$ est la matrice d'état ;

• $\mathbf {B} _{s}$ est la matrice des entrées ;

• $\mathbf {u}$ est la matrice des sorties.

Cette équation d'état avec l'équation des sorties (ou d'observation) :

$\mathbf {\theta } _{i}=\mathbf {C} _{s}\mathbf {\theta } _{c}+\mathbf {D} _{s}\mathbf {u}$

forme la représentation d'état :

${\begin{cases}\mathbf {\dot {\theta }} _{c}=\mathbf {A} _{s}\mathbf {\theta } _{c}+\mathbf {B} _{s}\mathbf {u} \\\mathbf {\theta } _{i}=\mathbf {C} _{s}\mathbf {\theta } _{c}+\mathbf {D} _{s}\mathbf {u} \end{cases}}.$