Mathc complexes/03p

Gauss-Jordan

Une aide théorique dans le cours de Khan Academy : Leçon 3: Changement de base .

Matrice d'une application linéaire par rapport à la base B

  Soit T(x) = A*[x]  une application linéaire par rapport à la base canonique.

  Soit B la matrice de changement de base de la base B :
  
  Nous savons que 
  
    1) [x]_b = InvB* [x]            
    2) [x]   =    B* [x]_b 

  Soit 
 
  [T(x)]_b = D [x]_b  l'application linéaire par rapport à la base B.
  
  
  Etudions le lien entre la matrice A et la matrice D.
 
  Posons :
  
   T(x)    =  A*x                                                  0) En base standard
  [T(x)]_b = [A*x]_b = InvB*[A*x]                                  1) [x]_b = InvB* [x] 
  [T(x)]_b =           (InvB*A)* [x] = (InvB*A) * (B*[x]_b)        2) [x]   =    B* [x]_b 
              
 
  [T(x)]_b =                           (InvB*A) * (B*[x]_b)   

  [T(x)]_b = (InvB*A) * (B*[x]_b) 
  
  [T(x)]_b = (InvB*A*B)   *[x]_b  
  
  [T(x)]_b =      D       *[x]_b             l'application linéaire par rapport à la base B.
  
         D =  InvB*A*B 

• *a.c : Calculer les vecteurs [x]_b et [x]
• *b.c : Calculer T([x]) = A*[x]
• *c.c : Calculer [T([x])]_B = D*[x]_b
• *d.c : Vérifier si les résultats sont compatibles

Exemples d'applications dans R3 :

* c03a.c

* c03b.c

* c03c.c

* c03d.c

Exemples d'applications dans R4 :

* c04a.c

* c04b.c

* c04c.c

* c04d.c