Définition
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Soient A, B et C trois points. Soient , et trois réels vérifiant .
Le barycentre du système de points pondérés est l'unique point G qui vérifie
![{\displaystyle \alpha {\overrightarrow {\rm {GA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {GB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {GC}}}={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2fc426d9653252972061cf798aada4c932bd91d)
Si , le barycentre n'existe pas.
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- Exemple
- Soit G le centre de gravité de ABC. G est le barycentre du système de points pondérés {(A,1);(B,1);(C,1)}.
Soit G le barycentre du système de points pondérés
(avec
).
On peut trouver l'emplacement de G par les trois formules suivantes :
On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés
existe, c'est-à-dire
Propriété
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Comme , alors
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Propriété
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Soit k un réel non nul. Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.
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Démonstration
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donc
De plus, comme et que , on a bien
Donc G est le barycentre du système de points pondérés
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Propriété
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Pour tout point M :
![{\displaystyle \alpha {\overrightarrow {\rm {MA}}}+\beta {\overrightarrow {\rm {MB}}}+\gamma {\overrightarrow {\rm {MC}}}=(\alpha +\beta +\gamma ){\overrightarrow {\rm {MG}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14f6a4a2401501a2cdbea9b25ae311623285dd60)
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Les intérêts de cette formule sont multiples :
- Ramener un problème mettant en jeu plusieurs points (A,B,C) à un problème mettant en jeu un seul point (G)
- Calculer explicitement les coordonnées du barycentre en faisant M=O
On peut généraliser les propriétés des barycentres à n points pondérés.
Définition
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Soient n points. Soient n réels vérifiant .
Le barycentre du système de points pondérés est l'unique point G qui vérifie
![{\displaystyle \alpha _{1}{\overrightarrow {\rm {GA_{1}}}}+\alpha _{2}{\overrightarrow {\rm {GA_{2}}}}+\cdots +\alpha _{n}{\overrightarrow {\rm {GA_{n}}}}={\vec {0}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17771e7d82ce038ca44b43d2ab7bdcdd978ad58e)
Si , le barycentre n'existe pas.
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Exemple
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Soit G le barycentre du système de points pondérés (qui existe car ), donc il vérifie l'égalité
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On suppose désormais que le barycentre G du système de points pondérés
existe, c'est-à-dire
.
Propriété
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Soit k un réel non nul. Le barycentre de n points pondérés ne change pas si on multiplie tous les coefficients par k.
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Propriété
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Pour tout point M :
![{\displaystyle \alpha _{1}{\overrightarrow {\rm {MA_{1}}}}+\alpha _{2}{\overrightarrow {\rm {MA_{2}}}}+\cdots +\alpha _{n}{\overrightarrow {{\rm {MA}}_{n}}}=\left(\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\right){\overrightarrow {\rm {MG}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e50aef8f861720e2f67809cdd72a6f3eefdbad)
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