Les suites et séries/Les suites logistiques

Dans ce chapitre, nous allons voir les suites logistiques, des suites très utilisées dans divers domaines (en biologie dans le modèle proie-prédateur, en dynamique des populations, dans la théorie des systèmes dynamiques, et ainsi de suite). Elles sont définies par la fonction relation de récurrence suivante :

$u_{n+1}=\mu \cdot u_{n}(1-u_{n})$

Le paramètre µ détermine le comportement asymptotique de la suite. Suivant sa valeur, la suite va soit converger, soit être périodique, soit être une suite dite chaotique. C'est surtout ce dernier comportement qui intéresse les mathématiciens, surtout ceux qui travaillent sur la théorie du chaos ou la théorie des systèmes dynamiques. Dans les grandes lignes, on peut distinguer les trois situations (convergence, périodicité, chaos) selon la valeur du paramètre µ :

• Si µ est compris entre 0 et 3, la suite converge. La limite dépend cependant de la valeur exacte de µ :
  • Si µ est compris entre 0 et 1, la suite converge vers 0.
  • Si µ est compris entre 1 et 3, la suite converge vers $\mu -1 \over \mu$.
• Si µ est compris entre 3 et 3,57 , la suite est périodique.
• Si µ est entre 3,57 et 4, la suite a un comportement chaotique.
• Si µ est au-delà de 4, la suite diverge.

Le domaine de convergence des suites logistiques

Commençons par étudier la convergence potentielle de ces suites. Pour cela, nous devons calculer les points fixes de la fonction associés, qui respectent donc :

$x=\mu \cdot x(1-x)$.

On voit immédiatement que 0 est un point fixe. On peut aussi, après quelques manipulations algébriques, trouver que l'autre point fixe vaut :

$x={\frac {\mu -1}{\mu }}=1-{\frac {1}{\mu }}$

La fonction associée est la fonction $f(x)=\mu \cdot x(1-x)$.

Une autre manière de déterminer les deux points fixes est de tracer le graphe de la fonction f. Par simplicité, nous allons illustrer celui-ci ci-contre, mais seulement pour $x\in [0,1]$, par souci de simplicité. On voit que le graphe de la fonction f est une parabole, dont la hauteur dépend du paramètre µ : plus µ est grand, plus la parabole sera haute.

Graphe de la fonction logistique pour plusieurs valeurs de µ (ici noté alpha).

Pour trouver les points fixes, on regarde où le graphe précédent coupe la droite identité $y=x$. On voit qu'il existe entre zéro et deux points d'intersection. En-dehors de l'intervalle [0,1], la fonction donne des résultats négatifs, dont aucun ne passe par la droite identité : il n'y a donc pas de points fixes en-dehors de cet intervalle. Le nombre de points d'intersection dépend de la valeur de µ. Si $\mu \in [0,1]$, alors la parabole reste sous la droite $y=x$ et il n'existe qu'un seul point d'intersection : l'origine. Par contre, si $\mu >1$, alors le second point d'intersection apparait à $x={\frac {\mu -1}{\mu }}$.

Points fixes de la fonction associée à une suite logistique.

Maintenant, regardez le tracé des valeurs successives, la ligne en forme de serpentin : on voit qu'il y a un comportement différent entre les deux schémas du milieu (pour lesquels µ > 1). Le premier montre une convergence assez souple, les valeurs de la suite augmentant progressivement pour atteindre la limite $\mu -1 \over \mu$. Ce comportement est celui obtenu quand $1<\mu <2$. Le second schéma montre que les valeurs de la suite convergent vers la même limite, mais le font d'une manière différente : ils vont fluctuer autour de cette valeur, en faisant une sorte d'oscillation amortie.

Suite logistique pour µ = 0.95

Suite logistique pour µ = 1.6

Suite logistique pour µ = 2.8

On peut résumer le tout comme suit :

• Avec 0 < µ < 1, la suite converge vers 0.
• Avec 1 < µ < 2, la suite converge de manière monotone vers $\mu -1 \over \mu$.
• Avec 2 < µ < 3, la suite converge vers $\mu -1 \over \mu$, les valeurs $u_{n}$ oscillant autour de la limite.

Cas où 0 < µ < 1

Graphe de la fonction logistique pour plusieurs valeurs de µ (ici noté alpha).

Commençons par étudier le cas où $0<\mu <1$. Si on étudie la parabole de la fonction avec $0<\mu <1$, on trouve que la valeur maximale atteinte par la parabole est de $\mu \over 4$, et elle est atteinte pour $x={\frac {1}{2}}$. On peut le démontrer en dérivant la fonction $f(x)=\mu \cdot x(1+x)$ et en regardant quelle valeur l'annule, ce que nous ne ferons pas ici. L'intuition nous dit que le comportement de la suite est donc différent selon que $u_{0}\leq {\frac {1}{2}}$ ou que $u_{0}\geq {\frac {1}{2}}$ (on omet les cas où $u_{0}$ vaut 0 ou 1, qui donnent une suite constante).

• Si $u_{0}\leq {\frac {1}{2}}$, alors la suite décroit de manière géométrique, tout en étant minorée par zéro : elle converge donc vers 0.
• Si $u_{0}>{\frac {1}{2}}$, $u_{n+1}<{\frac {1}{2}}$ et on revient au cas précédent.

Cas où 1 < µ < 2

On peut se ramener au cas $0<\mu <1$ avec un changement de variable.

Le domaine périodique des suites logistiques

Ce diagramme montre les différents termes d'une suite logistique, en fonction des valeurs de µ. La valeur µ est placée en abscisse, l'ordonnée donnant la valeur du ou des points périodiques (comprise entre 0 et 1). On voit qu'il n'existe d'un seul point périodique non-nul pour µ < 3, et que celui-ci augmente avec µ. Au-delà, la suite ne peut prendre que deux valeurs, qui sont les deux points périodiques de f(x). Puis la suite passe à une période de 4, etc. Les distances L0, L1, L2, ... sont reliées par la constante de Feigenbaum.

Pour $3<\mu <3,57$, la suite logistique devient périodique. Il est alors possible d'étudier deux choses : la période de la suite, mais aussi les valeurs prises dans un cycle. Il se trouve que les deux dépendent fortement de la valeur de µ choisie. Il existe des relations assez intéressantes entre µ et les valeurs choisies, ainsi qu'avec la période. On peut déduire tout cela de l'étude des points périodiques de la fonction $f(x)=\mu \cdot x(1-x)$. Il se trouve que plus µ augmente, plus la période de la suite augmente : elle double régulièrement, quand µ passe des paliers précis. Le premier palier est égal à ${\sqrt {6}}+1$, le second de $\approx 3.54409$, etc.

• Pour µ compris entre 3 et ${\sqrt {6}}+1$, la suite a une période de 2. Les deux valeurs prises lors d'un cycle sont les solutions de l'équation $x=f(f(x))$. Cette équation possède quatre points périodiques : les deux points fixes, ainsi que les deux racines ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1+\mu }{\mu }}+{\frac {1}{\mu }}{\sqrt {\mu ^{2}-2\mu -3}}\right)$ et ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1+\mu }{\mu }}-{\frac {1}{\mu }}{\sqrt {\mu ^{2}-2\mu -3}}\right)$. Si on observe la suite obtenue, on voit qu'au-delà d'un certain rang, la suite oscille entre ces deux valeurs.
• Au-delà de ${\sqrt {6}}+1$, la suite voit sa période doubler (passer à 4), avec l'apparition de deux valeurs supplémentaires. Cette fois-ci, les valeurs prises lors d'un cycle sont les solutions de l'équation $x=f(f(f(f(x))))$, points fixes exclus.
• La même chose se reproduit au-delà d'une nouvelle limite, où la période double encore.
• Et ainsi de suite, jusqu’à la valeur limite de 3.56995, où la suite n'est plus périodique.