Les suites et séries/Les opérations sur les suites

Les mathématiques sont le royaume des généralisations. On ne compte les fois où une opération ou un type d'objet mathématique a été étendu pour en donner une version plus générale. Les nombres fractionnaires ont été complémentés par les réels, eux-mêmes complétés par les nombres complexes. Même chose pour les opérations comme l'addition ou la multiplication : initialement inventées pour les nombres, elles ont été étendues aux matrices, aux vecteurs et à bien d'autres objets mathématiques beaucoup plus complexes. Les suites ne font pas exception : il est possible de les additionner, de les soustraire, de les multiplier, les diviser, etc.

Les comparaisons entre suites et limites

Il est possible de comparer deux suites, ce qui permet de dire si une suite est "supérieure" ou "inférieure" à une autre. Si on compare deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ :

• $(a_{n})=(b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}=b_{n}$.
• $(a_{n})>(b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}>b_{n}$.
• $(a_{n})<(b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}<b_{n}$.
• $(a_{n})\leq (b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}\leq b_{n}$.
• $(a_{n})\geq (b_{n})$ si, pour rang n, $a_{n}\geq b_{n}$.

Les opérations "arithmétiques" sur les suites et limites

Comme dit plus haut, il est possible de faire les quatre opérations arithmétiques sur deux suites. Précisément, soit deux suites notées $(a_{n})$ et $(b_{n})$ :

• La somme est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}=a_{n}+b_{n}$.
• La différence est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}=a_{n}-b_{n}$.
• La multiplication d'une suite par un nombre réel $k$ est la suite définie par : $s_{n}=k\times a_{n}$.
• Le produit est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}=a_{n}\times b_{n}$.
• Le quotient est la suite $(s_{n})$ définie par : $s_{n}={\frac {a_{n}}{b_{n}}}$.

Les deux annexes qui suivent peuvent être sautées en première lecture.

Annexe : l'espace vectoriel des suites réelles

Avec les opérations définies ci-dessus, on peut montrer que l'ensemble des suites réelles est un espace vectoriel.

Pour rappel, un espace vectoriel est défini comme le regroupement : d'un ensemble E, d'une addition + et d'une multiplication par un réel $\times$. De plus, les conditions suivantes sont respectées. On note x et y des membres quelconques de l'ensemble E. Addition : L'addition de deux membres de l'ensemble doit donner un résultat qui appartient à l'ensemble : $+:E\times E\rightarrow E$ L'addition est associative et commutative. $y+x=x+y$ $(y+x)+z=x+(y+z)$ Il existe un élément neutre pour l'addition, noté $\nu _{+}$, qui est un membre de l'ensemble E tel que : $\nu _{+}+x=x+\nu _{+}=x$ Tout membre de E possède un opposé par rapport à l'addition, cet opposé étant tel que : ${\overline {x}}+x=x+{\overline {x}}=\nu$ Multiplication par un réel : Comme pour l'addition, la multiplication par un réel d'un membre de l'ensemble, qui donne un résultat dans l'ensemble : $\times :R\times E\rightarrow E$ Le réel 1 est un élément neutre pour la multiplication, noté $\nu _{*}$, définit tel que : $\nu _{*}\times x=x$ La multiplication est distributive par rapport à l'addition.

On a vu dans la section précédente que l'on peut additionner deux suites réelles ou en multiplier une par un réel. De plus, ces opérations donnent pour résultat une suite réelle. On dispose donc des opérations idoines. On vérifie assez facilement que les autres conditions sont vérifiées, les seules difficultés étant l’élément neutre de l'addition et la détermination de l'opposé. L’élément neutre n'est autre que la suite nulle, une suite constante dont tous les termes sont nuls. La suite opposée d'une suite $(u_{n})$ est simplement la suite $(v_{n})$ définie par $v_{n}=-u_{n}$.

Annexe : Les sous-espaces vectoriels de suites

Certains sous-ensembles de suites réelles sont eux aussi des espaces vectoriels, et plus précisément, des sous-espaces vectoriels.

Pour rappel, un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel, qui est lui-même un espace vectoriel. Pour un espace vectoriel E, un sous-ensemble $F\in {E}$ est un sous-espace vectoriel si : il contient l’élément neutre : $\nu _{+}\in {F}$ ; et si l'addition et la multiplication donne un résultat dans F : $+:F\times F\rightarrow F$ et $\times :R\times F\rightarrow F$.

En guise d'exercice, essayez de trouver quels ensembles suivants sont des espaces vectoriels :

• l'ensemble des suites constantes ;
• l’ensemble des suites croissantes ;
• l’ensemble des suites monotones ;
• l’ensemble des suites géométriques.

Solution :

• L'ensemble des suites constantes est bien un espace vectoriel. Il contient l’élément neutre, et la somme de deux suites constantes donne bien une suite constante, de même que le produit d'une suite constante par un réel.
• L'ensemble des suites croissantes n'est pas un espace vectoriel. Le produit d'une suite croissante par -1 ne donne pas une suite croissante, mais décroissante. La multiplication par un réel ne respecte pas la condition $\times :R\times F\rightarrow F$.
• L'ensemble des suites monotones n'est pas un espace vectoriel. La somme d'une suite croissante et d'une décroissante n'est pas systématiquement monotone.
• L'ensemble des suites géométriques n'est pas un espace vectoriel. La somme de deux suites géométriques ne donne pas toujours une suite géométrique.