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Géométrie descriptive/Règles et constructions élémentaires

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Droites particulières

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Droites particulières

Une des applications de la géométrie descriptive consiste à mesurer la longueur réelle d'un segment de droite, ce que l'on appelle la « vraie grandeur » (VG). Il est pour cela utile de connaître les orientations de droites particulières :

  1. Droite de profil : la droite est dans un plan parallèle au plan de profil  ; elle est vue en VG sur le plan de profil (voir Changement de plan > Plan de profil zx et correspondance de vues).
  2. Droite verticale : la droite est parallèle à l'axe z ; elle est vue en VG sur les plans frontal et de profil (c'est un point sur le plan horizontal).
  3. Droite horizontale : la droite est dans un plan parallèle au plan de horizontal  ; elle est vue en VG sur le plan de horizontal.
  4. Droite frontale : la droite est dans un plan parallèle au plan  ; elle est vue en VG sur le plan frontal.
  5. Droite horizonto-frontale (ou fronto-horizontale) : la droite est à la fois frontale et horizontale, c'est-à-dire parallèle à l'axe y ; elle est vue en VG sur les plans frontal et horizontal.
  6. Droite de bout : la droite est normale (perpendiculaire) au plan frontal  ; elle est vue en VG sur les plans horizontal et de profil.
  7. Droite quelconque : la droite n'est dans aucune catégorie ci-dessus, elle n'est en VG sur aucune vue standard (voir Changement de plan > Changement de plan vertical et id. > Méthode de la droite carrée).

Plans

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Traces des plans particuliers

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Traces des plans particuliers

Selon l'orientation d'un plan Π, on distingue six cas particuliers :

  1. Plan vertical : la trace (π') sur le plan frontal est parallèle à l'axe z (verticale).
  2. Plan de bout : la trace (π) sur le plan horizontal est parallèle à l'axe x (verticale).
  3. Plan frontal : la trace (π) sur le plan horizontal est parallèle à l'axe y (LT, horizontale), il n'y a pas de trace sur le plan frontal.
  4. Plan horizontal : la trace (π') sur le plan frontal est parallèle à l'axe y (LT, horizontale), il n'y a pas de trace sur le plan horizontal.
  5. Plan de profil : le plan est perpendiculaire à l'axe y ; les traces (π) et (π') sont perpendiculaires à l'axe y (verticales) et sont confondues.
  6. Plan quelconque.

Droite horizontale d'un plan

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Droite horizontale (D) appartenant au plan Π.

Considérons un plan Π dont on connaît les traces (π) et (π'), Π n'étant ni parallèle, ni normal à y. Une droite (D) horizontale de ce plan vérifie :

  • sa projection (d' ) sur le plan frontal est horizontale ;
  • sa projection (d ) sur le plan horizontal est parallèle à la trace (π) ;
  • l'intersection de (d' ) avec (π') correspond à l'intersection de (d ) avec la ligne de terre LT.
Le point A n'est pas dans le plan Π.

On peut par exemple utiliser ceci pour savoir si un point A est dans un plan. On trace la droite horizontale ayant la même cote que le point A, et l'on regarde si le point A appartient à cette droite.

Droite frontale d'un plan

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Droite frontale (D) appartenant au plan Π.

Considérons un plan Π dont on connaît les traces (π) et (π'), Π n'étant ni parallèle, ni normal à y. Une droite (D) frontale de ce plan vérifie :

  • sa projection (d' ) sur le plan frontal est parallèle à la trace (π') ;
  • sa projection (d ) sur le plan horizontal est parallèle à la ligne de terre LT (axe y ).

Les applications sont identiques à la droite horizontale.

Surface plane, surface gauche

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Considérons un quadrilatère ABCD, les quatre points étant distincts et non alignés. Si les quatre points sont coplanaires, alors une surface passant par les quatre points sera plane. Si les points ne sont pas coplanaires, alors une surface passant par les quatre points sera dite « gauche ». D'un point de vue concret, si l'on doit fabriquer une tôle passant par ces quatre points (par exemple un toit, un carter, …), la tôle devra comporter un pli.

Pour déterminer si les points sont coplanaires, on considère les propriétés des droites :

Propriété

Deux droites coplanaires sont soit sécantes, soit parallèles.

Donc, si les points sont coplanaires, alors soit les droites (AB) et (CD) sont parallèles, soit elles sont sécantes. De même, soit (AD) et (BC) sont parallèles, soit elles sont sécantes.

On distingue deux cas.

  1. ABCD est un parallélogramme sur une des projections : si c'est un parallélogramme sur l'autre projection, alors le quadrilatère est plan, sinon il est gauche.
  2. Ce n'est un parallélogramme sur aucune projection : deux méthodes sont possibles,
    • si l'intersection des diagonales sur les deux projections sont sur la même ligne de rappel, alors le quadrilatère est plan (car les droites sont sécantes), sinon, il est gauche ;
    • lorsque l'on prolonge deux côtés non adjacents, il se coupent : si les points d'intersections sur les deux projections sont sur la même ligne de rappel, alors le quadrilatère est plan (car les droites sont sécantes), sinon il est gauche.

Représentation des solides < ↑ > Changement de plan

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