Les équations de Maxwell peuvent être écrites dans tout système de coordonnées
sous la forme
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{ik}{}_{;i}=0^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb99060ddb9fdcb08a8fdea10221d58bca9fa126)
![{\displaystyle {G_{}}^{ik}{}_{;i}=0^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55831ae286e2a525055341286a52cb92633ab3ed)
où
et
sont des tenseurs antisymétriques décrivant le champ électromagnétique.
La première équation correspond au premier groupe des équations de Maxwell
et la seconde équation correspond au second groupe.
Le tenseur
est le tenseur dual du tenseur
de composantes
:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}^{ik}={\frac {1}{2}}\;*^{iklm}F_{lm}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cb6b4afab0d2f56e90d8e6b6c12f448161a417b)
Le tenseur
contient à la fois le tenseur antisymétrique de composantes
, les charges et les courants.
Ces équations ne sont rien de plus que des équations topologiques
affirmant que le flux du champ électromagnétique à travers une hypersurface fermée
de l'espace temps quadridimensionnel est nul.
Il manque les équations constitutives reliant les deux tenseurs.
Les expériences physiques montrent que le champ électromagnétique
est linéaire, à condition d'éliminer ou de figer les charges.
Cela nous conduit à écrire
comme somme d'un terme
linéaire
et d'un terme non linéaire
:
.
En définissant le quadrivecteur charge-courant comme la quadri-divergence de la partie
non linéaire du tenseur
:
![{\displaystyle {j}^{k}={G_{NL}}^{ik}{}_{;i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad33d6934c68378fe9eaae69d0b94a6efef77257)
et l'équation correspondant au second groupe des équations de Maxwell devient
![{\displaystyle {G_{L}}^{ik}{}_{;i}=-j^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c85cc2c1aad91ffd9771e6905f97fb9da0994b7)
Comme la double dérivée covariante d'un tenseur antisymétrique est nulle,
on a
et donc
![{\displaystyle j^{k}{}_{;k}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e5f1b9ab03b7ea7277f64fc8802456dbbfe4250)
Cette équation correspond à la loi de conservation de la charge.
L'équation constitutive reliant la partie linéaire de
et
est simplement
![{\displaystyle {G_{L}}^{ik}={\frac {1}{\mu _{0}}}F^{ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5152ce9a04d31a67c9c6762c436156a4a5ec1afa)
avec
(SI).
Le second groupe d'équations de Maxwell peut finalement s'écrire sous la forme traditionnelle
![{\displaystyle {F_{}}^{ik}{}_{;i}=-\mu _{0}j^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68dd9d9ee9dd885176dc5fbc3967c724fb9c3dca)
Avec le même tenseur
, le premier groupe s'écrit
![{\displaystyle *^{ik}{}_{lm}{F_{}}^{lm}{}_{;i}=*^{iklm}F_{lm}{}_{;i}=0^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a433d27b011cc3130e358b1eda0a0f4c6ee4ea1)
Pour un tenseur métrique diagonal
, les tenseurs électromagnétiques s'écrivent
![{\displaystyle F_{ik}={\begin{pmatrix}0&-E_{x}&-E_{y}&-E_{z}\\E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aabbe219db0d688a9534ca4094a94bd518efe6ea)
![{\displaystyle F^{ik}={\begin{pmatrix}0&E_{x}/c^{2}&E_{y}/c^{2}&E_{z}/c^{2}\\-E_{x}/c^{2}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c^{2}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c^{2}&B_{y}&-B_{x}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caeda9aa5d5cb517bd0c3d0dc87b0418da8f2c01)
![{\displaystyle {G_{L}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&D_{x}&D_{y}&D_{z}\\-D_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\-D_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\-D_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51adf66832e980af05721b342557c3ac26140c6e)
![{\displaystyle ic{\mathcal {F}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&-E_{z}&E_{y}\\-B_{y}&E_{z}&0&-E_{x}\\-B_{z}&-E_{y}&E_{x}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fda48531e97275c3ed648be05fc55f2ee1b666b1)
![{\displaystyle {G_{L}}_{ik}={\begin{pmatrix}0&-c^{2}D_{x}&c^{2}D_{y}&c^{2}D_{z}\\c^{2}D_{x}&0&H_{z}&-H_{y}\\c^{2}D_{y}&-H_{z}&0&H_{x}\\c^{2}D_{z}&H_{y}&-H_{x}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/093db97528e03a9ce72f624a6d80fb23c3fd71ba)
![{\displaystyle ic{{\mathcal {G}}_{L}}^{ik}={\begin{pmatrix}0&H_{x}&H_{y}&H_{z}\\-H_{x}&0&-c^{2}D_{z}&c^{2}D_{y}\\-H_{y}&c^{2}D_{z}&0&-c^{2}D_{x}\\-H_{z}&-c^{2}D_{y}&c^{2}D_{x}&0\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54264fc395f7890f5e4c7ae6474965ebec53cfce)
![{\displaystyle j^{k}={\begin{pmatrix}\rho &j_{x}&j_{y}&j_{z}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3dae29003bbd2ae6f15b2edf8cbd0c1688a14a4)