Automate cellulaire/Destin

Analyse de l’état final (destin) d’un univers.

On peut distinguer plusieurs types d’état final :

• mort (aucune case vivante)
• vie
  • vie simple
    • vie stable (toutes les cellules vivantes sont stables)
    • vie oscillante (toutes les cellules vivantes sont oscillantes)
    • vie mouvante (toutes les cellules vivantes sont des vaisseaux)
  • vie complexe
    • mélange des états simples (s&o, s&m, o&m)

Dans le cas de la mort, le poids diminue de 100 %. Dans les autres cas, l’évolution est positive (augmentation du poids) ou nulle (poids final égal au poids initial).

Ligne d’épaisseur 1

Analyse du destin d’une ligne continue d’épaisseur 1

Longueur	Poids final	Évolution	Évolution %	Durée	Type	Description
1	0	-1	-100 %	0	mort
2	0	-2	-100 %	0	mort
3	3	0	0 %	(1)	oscillateur	clignotant
4	6	+2	+50 %	2	stable	ruche
5	12	+7	+140 %	(5)	oscillateur	4 clignotants
6	0	-6	-100 %	11	mort
7	24	+17	+242 %	15	stable	honey farm
8	40	+32	+400	50	stable	4 blocs, 4 ruches

Pour les structures oscillantes, la durée est indiquée entre parenthèses : il y a encore des oscillations mais la structure n’évolue plus.

Remarque

Toute ligne de longueur $n$ et d’épaisseur 1 à $t_{0}$ donnera un bloc de longueur $n-2$ et d’épaisseur 3 à $t_{+}1$. On a donc un accroissement important du poids, on passe d’un poids $n$ à un poids environ triple en $3\times (n-2)$.

Ensuite, le comportement devient moins prévisible, la forme générale devient plus ou moins circulaire (les cellules du centre meurent dès $t_{2}$).

Puisque la mort vient des bords, il est intéressant de considérer l'évolution d’une ligne de longueur infinie :

• $t_{0}$, 1 simple ligne
• $t_{1}$, 1 bloc de 3 cellules
• $t_{2}$, 2 lignes séparées par 3 cellules
• $t_{3}$, 2 blocs de 3 cellules séparés d'une cellule
• $t_{4}$, 2 lignes séparées par 7 cellules
• $t_{5}$, 2 blocs de 3 cellules séparés par 5 cellules
• $t_{6}$, 4 lignes séparées chacune par 3 cellules
• $t_{7}$, 4 blocs
• etc.

Cette structure a une durée de vie infinie. On observe une alternance de lignes et de blocs.

Bloc

Analyse du destin de blocs (évolution du poids)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	-100 %	-100 %	0 %	+50 %	+140 %	-100 %	+242 %	+400 %
2	-100 %	0 %	0 %	0 %
3	0 %	0 %	+33 %	-100 %
4	+50 %	0 %	-100 %	-100 %
5	+140 %
6	-100 %
7	+242 %
8	+400 %

Ce tableau est évidement symétrique (un bloc de 3 par 5 aura le même destin qu’un bloc de 5 par 3).

La couleur de la ligne 3 est identique à la ligne 1 (de même pour les colonnes 3 et 1) avec un décalage de 2 (cf. remarque précédente).

Cas particuliers

Il existe quelques structures dont on peut prévoir l'évolution à long terme.

Il existe notamment des structures dont l’évolution est linéaire (une affine du type $y=ax+b$ avec généralement $b>0$ et $a>0$). Ces structures sont souvent des puffers, des vaisseaux qui laissent une fumée de structures (puff).

Il existe notamment des constructeurs de bateaux, navires, ou barges (puffer) dont le poids augmente d’une cellule à chaque génération (pour $p$ à $t$, on aura $p+1$ à $t+1$).

Chronogramme

Voir Jeu de la vie/Chronogramme.

Il est possible de représenter le poids d’une structure en fonction du temps.