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Certains matériaux comme le fer, le nickel, le cobalt et leurs alliages possèdent la propriété d'acquérir sous l'action d'un champ magnétique même faible une aimantation importante mais non proportionnelle à l'excitation magnétique qui lui a donné naissance et qui peut même ne pas lui être parallèle.

Excitation magnétique

Équation de Maxwell-Ampère en courants

On rappelle l'expression de l'équation de Maxwell-Ampère : ${\vec {rot}}\;{\vec {B}}=\mu _{0}{\vec {j}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$. On peut transcrire cette équation en termes de vecteurs densité de courant ; en effet :

• dans un milieu ferromagnétique non parcouru par des courants, on traduira l'aimantation par des courants dits liés, sans réelle existence physique : ${\vec {j}}={\vec {j_{L}}}$ ;
• les courants de déplacement correspondent à ${\vec {j}}_{D}=\varepsilon _{0}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$ ;

de telle sorte que l'équation de Maxwell-Ampère se réécrive ${\vec {rot}}\;{\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {j}}_{L}+{\vec {j}}_{D})$.

Vecteur aimantation

La grandeur permettant de mesurer le comportement magnétique d'un matériau est l'aimantation, exprimée en ampères par mètre. On admettra que le vecteur aimantation s'écrit comme le rotationnel des courants liés : ${\vec {M}}={\vec {rot}}\;{\vec {j_{L}}}$.

Expression de l'excitation magnétique

L'équation de Maxwell-Ampère écrite en courants et l'expression du vecteur aimantation permet d'écrire ${\vec {rot}}\;{\vec {B}}=\mu _{0}({\vec {rot}}\;M+{\vec {j}}_{D})$ d'où ${\overrightarrow {\rm {rot}}}\left({\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}\right)={\vec {j}}_{D}$. On posera donc ${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}$ vecteur excitation magnétique, exprimé en ampère par mètre.

Excitation magnétique dans un matériau ferromagnétique

Considérons un volume de matière ferromagnétique susceptible de s'aimanter sous l'action d'un champ extérieur ${\vec {H_{0}}}$. En un point $A$ de ce volume, l'excitation magnétique totale ${\vec {H_{A}}}$ n'est pas égale à ${\vec {H_{0}}}$. Elle est la somme vectorielle de ${\vec {H_{0}}}$, et de l'excitation démagnétisante ${\vec {h_{A}}}$ due à l'aimantation acquise par le volume de matière étudié :

${\vec {H_{A}}}={\vec {H_{0}}}+{\vec {h_{A}}}$

Pour les matériaux ferromagnétiques, ${\vec {h_{A}}}$ est dirigée en sens inverse de ${\vec {H_{0}}}$. C'est pourquoi on l'appelle excitation démagnétisante.

Supposons que le champ extérieur ${\vec {H_{0}}}$ soit un champ uniforme et plaçons-y parallèlement au champ un barreau cylindrique allongé. Ce barreau s'aimante sous l'action de ${\vec {H_{0}}}$, c'est-à-dire qu'il acquiert alors une aimantation ${\vec {J}}$ qui, sauf au voisinage immédiat des extrémités, est uniforme.

Il devient donc équivalent à deux distributions superficielles uniformes de densités $+J$ et $-J$ réparties sur ses faces terminales $N$ et $S$ de surface ${\mathcal {S}}$. Ces densités donnent naissance en chaque point intérieur du barreau à une excitation démagnétisante ${\vec {h}}$ dont l'intensité dépend de la position du point considéré à l'intérieur du volume, de la géométrie du barreau et de la valeur de $J$. Aussi ne bornerons-nous qu'à l'étude de quelques cas particuliers.

Disque plat normal au champ ${\vec {H_{0}}}$

Si le disque est suffisamment large, on démontre alors que ${\vec {h_{A}}}\approx -{\vec {J}}$ : ${\vec {H_{A}}}={\vec {H_{0}}}+{\vec {h_{A}}}={\vec {H_{0}}}-{\vec {J}}$. ${\vec {J}}$ et ${\vec {H_{A}}}$ sont colinéaires ; on pose ${\vec {J}}=\chi {\vec {H_{A}}}$ où $\chi$ est le coefficient de susceptibilité magnétique ; il est positif et de l'ordre de $10^{2}$ à $10^{3}$ pour les matériaux ferromagnétiques.

Ainsi, on peut écrire :

${\vec {H_{A}}}={\vec {H_{0}}}-\chi {\vec {H_{A}}}\Rightarrow {\vec {H_{0}}}={\vec {H_{A}}}(1+\chi )$

et donc ${\vec {H_{A}}}={\frac {\vec {H_{0}}}{1+\chi }}<<{\vec {H_{0}}}$, d'où ${\vec {H_{0}}}\approx {\vec {J}}$ et ${\vec {H_{A}}}\approx {\vec {0}}$.

Cylindre très allongé parallèle au champ ${\vec {H_{0}}}$

L'excitation démagnétisante au centre du cylindre est inversement proportionnelle au carré de la hauteur du cylindre. Si le cylindre est très allongé, l'excitation démagnétisante en son centre devient négligeable ; ceci n'est pas vrai au voisinage des extrémités du cylindre, car l'influence du magnétisme libre n'est plus alors négligeable.

Au centre d'un cylindre très allongé parallèle au champ ${\vec {H_{0}}}$, on peut donc écrire : $h_{A}\approx 0,{\vec {H_{A}}}={\vec {H_{0}}}$. L'excitation totale au centre du cylindre est donc égale au champ extérieur ${\vec {H_{0}}}$.

Circuit magnétique torique

Il est possible de se placer dans des conditions telles qu'il n'y ait pas d'excitation démagnétisante, en employant des circuits magnétiques fermés. On empêche alors l'apparition du magnétisme libre et l'on a ainsi exactement ${\vec {H}}={\vec {H_{0}}}$.

C'est le cas du circuit torique. Les lignes de forces du champ ${\vec {H_{0}}}$ sont des circonférences, les aimantations ${\vec {J}}$ sont tangentes à ces circonférences ; en chaque point de la surface du tore, elles sont tangentes à cette surface, et il n'apparaît nulle part de masses magnétiques superficielles. On utilisera par la suite de tels circuits pour étudier les propriétés magnétiques des matériaux ferromagnétiques.

Courbe de première aimantation

L'étude du ferromagnétisme n'est pas une chose aisée. Les propriétés magnétiques d'un barreau d'acier dépendent de tous les états antérieurs par lesquels le métal est passé. Elles sont différentes suivant que l'acier a été trempé (acier dur) ou a été recuit (acier doux) ; elles sont modifiées par les chocs que peut subir le barreau ; elles ne sont pas les mêmes suivant que le barreau a déjà été aimanté ou non. Aussi nous placerons-nous, pour étudier les propriétés magnétiques d'une substance ferromagnétique, dans les conditions suivantes :

1. Utilisation d'un circuit torique dont le rayon moyen est grand devant le diamètre de sa section droite ; l'excitation magnétique totale interne ${\vec {H}}$ peut être alors confondue avec le champ extérieur ${\vec {H_{0}}}$ ;
2. Désaimantation de ce circuit en le portant au-delà d'une température $\theta _{C}$ appelée température de Curie (775 ° pour le fer) et en le laissant refroidir en-dehors de tout champ magnétique extérieur. Nous verrons par la suite un autre procédé de désaimantation dont la mise en oeuvre est bien plus aisée.

On appelle courbe de première aimantation la courbe obtenue en portant en abscisses les valeurs croissantes de l'excitation magnétique totale ${\vec {H}}$ à partir de la valeur zéro, et en ordonnées les valeurs de l'intensité $J$ de l'aimantation induite résultante. Il est toutefois plus intéressant pour les applications de porter en ordonnées non pas l'intensité d'aimantation $J$ mais l'induction $B$ qui s'en déduit aisément quand les vecteurs $B$, $H$ et $J$ sont colinéaires ($B=\mu _{0}(H+J)$). C'est ce qu'on fait en électrotechnique : on appellera donc indifféremment courbe de première aimantation les courbes $J=f(H)$ ou $B=g(H)$.

Pour tracer la courbe $B=g(H)$ on utilise le dispositif suivant (ce dispositif sera également utilisé au paragraphe suivant pour tracer un cycle d'hystérésis statique). Sur un tore de rayon $R$ on dispose un premier enroulement de $N$ spires jointives parcourues par un courant excitateur dont on peut régler la valeur à l'aide d'un générateur variable et dont le sens peut être changé à l'aide de l'inverseur $I$. Le théorème d'Ampère assure que $H=H_{0}={\frac {NI}{2\pi R}}$.

Pour déterminer le module de l'induction on enroule, isolé du premier enroulement mais serré sur lui, un deuxième enroulement de quelques spires, dont les extrémités sont reliées à un fluxmètre.

Les variations de flux créées dans le deuxième enroulement, quelle que soit la durée de cette variation, permet si l'on connaît le nombre de spires de cet enroulement ainsi que la surface d'une spire, d'en déduire le module de l'induction. Ces mesures permettent de tracer point par point la courbe $B=g(H)$.

Par la relation $B=\mu _{0}(H+J)$ (à condition que ${\vec {B}}$, ${\vec {H}}$ et ${\vec {J}}$ soient des vecteurs colinéaires) on peut déduire la courbe $J=f(H)$.

Les résultats montrent :

• que la relation $B=g(H)$ n'est pas linéaire et que la courbe admet une asymptote de pente $\mu _{0}$ et d'ordonnée à l'origine $B_{S}$ appelée induction de saturation ;
• que la relation $J=f(H)$ n'est pas linéaire et que la courbe admet une asymptote horizontale correspondant à la valeur $J_{S}$ appelée aimantation à saturation ;
• que la susceptibilité $\chi$ dépend de l'excitation magnétique $H$ et passe par un maximum.

On peut déduire de ces résultats la courbe $\mu _{r}=h(H)$. En effet, $B=\mu _{0}(H+J)$ et l'on pose $B=\mu H=\mu _{0}\mu _{r}H$, soit $B=\mu _{0}\mu _{r}H=\mu _{0}(1+\chi )H$ et donc $\mu _{r}=1+\chi$, $\chi$ étant une fonction de $H$.

La valeur de $\mu _{r,max}$ correspond à celle de $\chi _{max}$ ; quand l'excitation $H$ croît indéfiniment $\chi$ tend vers 0 et $\mu _{r}$ vers 1.

Hystérésis

Cycle d'hystérésis statique

Utilisons à nouveau le montage présenté précédemment, et admettons que le tore ne soit pas aimanté. Fermons l'interrupteur et faisons croître le courant par échelons, sans jamais le faire décroître depuis la valeur zéro jusqu'à une valeur maximale $I_{M}$ bien définie. À chaque échelon, notons $I$, calculons $H$ et déterminons $B$. Nous obtiendrons la courbe $0a$ qui représente la courbe de première aimantation.

Avantages et inconvénients du phénomène d'hystérésis

L'existence d'une induction rémanente et d'une excitation coercitive élevée (cycle statique) rend possible la création d'aimants permanents. Un aimant permanent se trouve placé normalement dans son excitation démagnétisante, c'est-à-dire que son état correspond à un point tel que $P$ et il ne faut pas que son induction puisse être détruite lorsqu'on le place dans une excitation négative faible. On utilisera donc des aciers trempés.

L'hystérésis entraîne dans les machines alternatives une dépense d'énergie sous forme de chaleur.

Courbe d'aimantation normale (ou de magnétisme)

On appelle courbe d'aimantation normale (ou courbe de magnétisme) le lieu des extrémités des cycles dynamiques obtenus en faisant varier la tension alternative d'alimentation du montage d'observation d'un cycle d'hystérésis dynamique.

La figure ci-dessous montre l'aspect de cycles d'hystérésis dynamiques pour différentes tensions alternatives d'alimentation ainsi que la courbe d'aimantation normale.

L'expérience montre que cette courbe est très voisine de la courbe de première aimantation ; ainsi l'adopte-t-on généralement pour les applications en courant continu comme en courant alternatif.

Sa non-linéarité met en évidence la notion de perméabilité moyenne comme rapport ${\frac {B}{H}}$ en chaque point. Lorsque, autour d'un point de repos, on fait varier l'induction magnétique par de petites variations locales d'excitation (cas des inductances saturables), il y a lieu de considérer la perméabilité alternative ou différentielle ${\frac {\Delta B}{\Delta H}}$.

Puissance dissipée par hystérésis

Si le cycle d'hystérésis est parcouru $f$ fois par seconde, la densité volumique de puissance dissipée par hystérésis est : $p_{H}=fA$, exprimée en watt par mètre cube.

Steinmetz a laissé une formule empirique pour l'expression de cette densité volumique : $k\times f\times B_{M}^{n}$, où :

• $k$ est un coefficient qui dépend de la nature du métal ;
• $f$ est la fréquence du champ magnétique ;
• $B_{M}$ est l'induction maximale correspondant aux extrémités du cycle ;
• $n$ est un coefficient compris entre 1,6 et 2.

Pour avoir la puissance dissipée, il suffit de multiplier la puissance volumique par le volume du circuit.

Exemple : Cas des tôles de fer au silicium

Considérons des tôles à base d'un alliage de fer, de silicium et d'aluminium utilisées notamment dans les générateurs ($k=27,5$). Pour une induction maximale $B_{M}$ de 1,5 T et une fréquence de 50 Hz, on obtient 2,6 kW/m³, soit environ 0,33 W/kg.

Hystérésis dans le cas des machines tournantes

Pour les tôles des dynamos, des moteurs, des transformateurs qui doivent être soumises à des champs magnétiques alternatifs, on prendra pour les raisons développées précédemment des aciers doux à cycles d'hystérésis étroits. Les courbes d'hystérésis obtenues par les méthodes que nous avons décrites ne peuvent donner qu'une idée grossièrement approchée de l'hystérésis dans le cas des tôles utilisées dans des machines tournantes.

En effet, généralement les parties en mouvement ne sont pas soumises à un champ dont l'intensité varie, mais à un champ dont la direction varie, et l'hystérésis a alors pour effet de donner à l'aimantation ${\vec {M}}$ une direction différente de celle du champ. ${\vec {B}}$, ${\vec {H}}$ et ${\vec {J}}$ ne sont plus colinéaires : on parle d'hystérésis tournante.

D'autre part, les tôles sous soumises à des vibrations et des chocs continus, qui ont sans doute pour effet de rétrécir le cycle d'hystérésis et ainsi de diminuer les pertes.