Soit
définie sur
par ![{\displaystyle f(x)=(x-1)(2-e^{-x})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4001f4ba21a0dc438abc93eb84c29f3f27ca68f)
On note
sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal
.
1)
a) Déterminer les limites de
en
et en
. Justifier.
b) Montrer que la droite
d'équation
est asymptote à
.
c) Etudier la position relative de
et
.
2) Soit la fonction
définie sur
par ![{\displaystyle g(x)=xe^{-x}-2e^{-x}+2\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c575a6118f1cb242357d05a3cb139ebf1fb6936)
a) Calculer
et étudier son signe sur
.
b) Calculer
et
.
c) Dresser le tableau de variations de la fonction
et en déduire son signe sur
.
3)
a) Calculer
.
b) Déduire du 2) le signe de
sur ![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc)
c) Préciser la valeur de
, puis établir le tableau de variations de
sur
.
4) Déterminer les coordonnées du point
de
où la tangente
à
est parallèle à
.
http://paquito.amposta.free.fr/symboles/symboles.htm
http://fr.wikipedia.org/wiki/Notation_(math%C3%A9matiques)
2) on a d'après la question 1) :
![{\displaystyle {\frac {1}{1}}\leq {\frac {1}{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd251d2a506decdc8686ad313369ef9482468be1)
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\leq {\frac {1}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e818ac7356b9b30426e2bb4caa401cb06a0c376c)
![{\displaystyle {\frac {1}{6}}\leq {\frac {1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3650bd6592c2d842673684399f2738dc98848ae9)
![{\displaystyle {\frac {1}{24}}\leq {\frac {1}{8}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8240682ba91d3c6d7f43926e7f4fb061a82505e3)
![{\displaystyle ...\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e665dee699d4fa9044569d9e12e75155dfd9c6b)
![{\displaystyle {\frac {1}{n!}}\leq {\frac {1}{2^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/114cb6c464581caf82a8c10e272c7481065435d2)
En sommant, en obtient :
![{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k!}}\leq 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+...+{\frac {1}{2^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5dc9eb57d7420731785f652459b2d5f7032d696)
3) démontrons que
converge.
démontrons d'abord que
est croissante.
donc
est croissante.
On a la loi expo définie par ![{\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbde8aeca3d8ccaad543eae8408b25d91a6a79e)
or ![{\displaystyle A(t)=-{\frac {dN}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a1cb779bea330d0e05257162382c136eb34cb9f)
donc ![{\displaystyle A(t)=-{\frac {d(N_{0}e^{-\lambda t})}{dt}}=-(-\lambda N_{0}e^{-\lambda t})=\lambda N_{0}e^{-\lambda t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bfdc388c8681311af096b06c52c56ab8b307b4c)
or
d'où ![{\displaystyle A_{0}=\lambda N_{0}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cdb7d589bc6e979bd32558c62de751de594f130)
on remplace dans l'expression de A(t), on obtient