Théorie quantique de l'observation/Théorie générale de la mesure quantique

Théorie quantique de l'observation

1. Physique quantique pour débutants
2. Principes et concepts fondamentaux
3. Exemples de mesures
4. L'intrication
5. Théorie générale de la mesure quantique
6. La forêt des destinées
7. L'apparition des mondes classiques relatifs dans l'Univers quantique
8. Références

La théorie des mesures idéales, initialement proposée par von Neumann, n'est pas pleinement satisfaisante, pour plusieurs raisons :

a) Elle suppose qu'il existe une base d'états propres du système observé. Ces états produisent des résultats certains et ne sont pas perturbés par la mesure. Mais en général des états qui produisent des résultats certains n'existent pas. Les détecteurs ne sont pas parfaits. Leurs taux de détection ne sont presque jamais égaux à 100%. Même lorsque des états propres existent, rien n'interdit qu'ils soient perturbés par la mesure. La porte SWAP en fournit un exemple. Il est aussi possible que le système observé soit détruit lors de la mesure. Par exemple, la plupart des photodétecteurs absorbent les photons qu'ils détectent.

b) Pour qu'il y ait une mesure idéale, il faut que le détecteur soit toujours initialement dans le même état $|ready\rangle _{A}$. Mais en général l'état initial du détecteur n'est pas connu avec exactitude. Il faut également que l'état final $|i\rangle _{A}$ soit exactement déterminé. Mais en général un tel état final n'est pas, lui non plus, connu exactement.

Les opérateurs de mesure répondent aux objections a. Les super-opérateurs de mesure répondent aux objections b.

Les opérateurs de mesure

Les $|i\rangle _{A}$ sont la base orthonormée des états pointeurs de l'appareil de mesure.

Les $|j\rangle _{S}$ sont une base orthonormée quelconque des états du système observé.

$U$ est l'opérateur d'évolution qui décrit le processus de mesure.

Si $|\psi \rangle _{S}$ est l'état initial du système observé, l'état final est :

$U|\psi \rangle _{S}|ready\rangle _{A}=\sum _{ij}\alpha (\psi )_{ji}|j\rangle _{S}|i\rangle _{A}$

Les opérateurs de mesure $M(i)$ sont définis par :

$M(i)|\psi \rangle _{S}=\sum _{j}\alpha (\psi )_{ji}|j\rangle _{S}$

Ces opérateurs sont déterminés à partir de $U$. Ils sont linéaires parce que $U$ est linéaire.

La probabilité que le résultat $i$ soit obtenu est $\sum _{j}|\alpha (\psi )_{ji}|^{2}=|M(i)|\psi \rangle _{S}|^{2}$. C'est une généralisation de la règle de Born.

L'état du système observé après la mesure de $i$ est ${\frac {M(i)|\psi \rangle _{S}}{|M(i)|\psi \rangle _{S}|}}$. C'est l'état relatif, au sens d'Everett, à l'état final $|i\rangle _{A}$ de l'appareil de mesure.

${\frac {1}{|M(i)|\psi \rangle |}}$ est un facteur de normalisation.

Pour rendre compte d'une mesure qui détruit le système observé, il suffit d'introduire un nouvel état $|destroyed\rangle _{S}$ destiné à représenter cette destruction. Bien sûr ce n'est pas un véritable état quantique, puisqu'il représente l'état d'un système qui n'existe plus. C'est seulement une astuce mathématique pour adapter le formalisme des opérateurs de mesure au cas des mesures destructives. Une approche plus rigoureuse est possible, avec la théorie quantique des champs et les opérateurs d'annihilation.

Exemples :

La porte CNOT

À partir de :

$CNOT(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|0\rangle =\alpha |00\rangle +\beta |11\rangle$

on déduit :

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\beta |1\rangle$

$M(0)$ et $M(1)$ sont des projections orthogonales sur les états $|0\rangle$ et $|1\rangle$, respectivement.

La porte SWAP

À partir de :

$SWAP(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|0\rangle =\alpha |00\rangle +\beta |01\rangle$

on déduit :

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\beta |0\rangle$

Mesure destructive et peu efficace

On suppose que si le système observé est dans l'état $|1\rangle$ le taux de détection est de 10%. S'il est dans l'état $|0\rangle$ il n'est jamais détecté. Une telle mesure peut être décrite par l'évolution :

$U(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )|0\rangle =\alpha |00\rangle +{\sqrt {0.9}}\beta |10\rangle +{\sqrt {0.1}}\beta |destroyed\rangle |1\rangle$

où $|0\rangle$ est l'état initial du détecteur et $|1\rangle$ son état lorsqu'il a détecté le système observé. On en déduit :

$M(0)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )=\alpha |0\rangle +{\sqrt {0.9}}\beta |1\rangle$

$M(1)(\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle )={\sqrt {0.1}}\beta |destroyed\rangle$

Pour une telle mesure peu efficace, il n'y a pas de base d'états propres de la mesure. Le seul état propre est $|0\rangle$. Tous les autres états $\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle$ où $\beta$ est différent de zéro ne sont pas des états propres parce qu'ils ne conduisent pas à un résultat certain.

Les observables et les projecteurs

Les principes de la physique quantique sont en général exposés sans faire référence à la théorie quantique de la mesure, ni aux opérateurs de mesure. Pour rendre compte du lien entre les vecteurs d'état et l'observation, on dit que les grandeurs physiques, c'est à dire mesurables, sont représentées par des opérateurs hermitiens, qu'on appelle des observables. Les résultats de mesure sont les valeurs propres de ces opérateurs. Les vecteurs propres associés à une valeur propre sont les états qui conduisent avec certitude à la mesure de cette valeur propre. En outre, on admet en général le postulat de la réduction du vecteur d'état, c'est à dire que lorsqu'un résultat de mesure est obtenu le vecteur d'état du système est projeté sur le sous-espace des états propres associés à la valeur mesurée. Une telle observation est donc une mesure idéale, parce que si le système est dans un état propre de l'observable il n'est pas perturbé par la mesure.

Lorsqu'une mesure est idéale, un opérateur de mesure $M(i)$ est précisément le projecteur $P(i)$ sur le sous-espace des états propres de $i$. C'est pourquoi les mesures idéales sont aussi appelées des mesures projectives.

Une observable en tant qu'opérateur hermitien $O$ peut être définie à partir des $P(i)$ :

$O=\sum _{i}iP(i)$

La définition des observables par des opérateurs hermitiens est donc un cas particulier, limité aux mesures idéales, de la théorie plus générale des opérateurs de mesure.

L'incertitude sur l'état du détecteur et les super-opérateurs de mesure

Lorsque le résultat $i$ est obtenu, on suppose qu'on ne connaît pas l'état du détecteur, mais qu'on sait qu'il est dans un sous-espace $H(i)_{A}$ de son espace des états. Comme les résultats de mesure doivent être distingués, les $H(i)_{A}$ doivent être mutuellement orthogonaux. Ils sont les sous-espaces d'états pointeurs.

Les $|i,j\rangle _{A}$ sont une base orthonormée d'états pointeurs de l'appareil de mesure. $|i,j\rangle _{A}$ est dans $H(i)_{A}$.

On suppose que l'état initial du détecteur est $|ready,k\rangle _{A}$ avec une probabilité $p_{k}$. Avant la mesure, le détecteur est donc décrit par l'opérateur densité $\sum _{k}p_{k}|ready,k\rangle _{A}\langle ready,k|_{A}$

Les $|l\rangle _{S}$ sont une base orthonormée quelconque des états du système observé.

$U$ est l'opérateur d'évolution qui décrit le processus de mesure.

Si $|\psi _{m}\rangle _{S}|ready,k\rangle _{A}$ est un état initial du système, l'état final est :

$U|\psi _{m}\rangle _{S}|ready,k\rangle _{A}=\sum _{lij}\alpha (m,k)_{lij}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}$

Soit $|\phi (i,m,k)\rangle =\sum _{lj}\alpha (m,k)_{lij}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}$

Les superopérateurs de mesure $M(i)$ opèrent sur l'ensemble des opérateurs densité. Ils sont définis par :

$M(i)(|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{k}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)$

pour un état pur. Ce qui se généralise immédiatement à :

$M(i)(\sum _{m}p_{m}|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{m}p_{m}M(i)(|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S})=\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)$

pour un état mixte $\rho _{S}=\sum _{m}p_{m}|\psi _{m}\rangle _{S}\langle \psi _{m}|_{S}$.

Les $M(i)\rho _{S}$ ne sont pas en général des opérateurs densité parce que leur trace n'est pas égale à un.

Comme les opérateurs de mesure, les super-opérateurs de mesure déterminent les probabilités des observations et les états finaux du système observé (règle de Born généralisée):

Si l'état initial est $\rho _{S}$, pur ou mixte, $Tr(M(i)\rho _{S})$ est la probabilité d'observer le résultat $i$. L'état final, en général mixte, après la mesure de $i$ est représenté par l'opérateur densité ${\frac {M(i)\rho _{S}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$.

On peut en conclure que les probabilités des résultats de mesure ne dépendent que de $\rho _{S}$. Différents mélanges d'états qui déterminent le même $\rho _{S}$ ne peuvent donc pas être distingués par des observations.

L'état final du système observé après la mesure de $i$ est l'état relatif, au sens d'Everett, à l'état final ${\frac {\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{S}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)}{Tr[\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{S}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)]}}$ de l'appareil de mesure.

La règle de Born généralisée montre comment les principaux théorèmes sur les mesures idéales (théorème d'existence des destinées multiples, calcul des probabilités des résultats de mesure, réduction apparente du vecteur d'état) peuvent être généralisés à tous les processus de mesure.

Preuve de la règle de Born généralisée :

$Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)=Tr_{A}(\sum _{ljl'j'}\alpha (m,k)_{lij}\alpha ^{*}(m,k)_{l'ij'}|l\rangle _{S}|i,j\rangle _{A}\langle l'|_{S}\langle i',j'|_{A}$

$=\sum _{ljl'}\alpha (m,k)_{lij}\alpha ^{*}(m,k)_{l'ij}|l\rangle _{S}\langle l'|_{S}$

Donc :

$Tr(M(i)\rho _{S})=\sum _{ljkm}p_{m}p_{k}|\alpha (m,k)_{lij}|^{2}$

La règle de Born permet de conclure que c'est bien la probabilité $Pr(i)$ d'obtenir le résultat $i$.

Après la mesure, le système SA est dans un mélange des états ${\frac {|\phi (i,m,k)\rangle }{||\phi (i,m,k)\rangle |}}$ avec des probabilités $Pr(i,m,k)=||\phi (i,m,k)\rangle |^{2}p_{m}p_{k}$ pour toutes les valeurs de $i$, $m$ et $k$.

Sachant que le résultat $i$ a été obtenu, SA est dans le mélange des états ${\frac {|\phi (i,m,k)\rangle }{||\phi (i,m,k)\rangle |}}$ avec des probabilités ${\frac {Pr(i,m,k)}{Pr(i)}}={\frac {||\phi (i,m,k)\rangle |^{2}p_{m}p_{k}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$ pour toutes les valeurs de $m$ et $k$. Il est donc représenté par l'opérateur densité :

$\rho _{SA}^{f}=\sum _{m,k}{\frac {p_{m}p_{k}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|$

L'opérateur densité $\rho _{S}^{f}$ du système observé est donc :

$\rho _{S}^{f}=Tr_{A}(\rho _{SA}^{f})={\frac {\sum _{mk}p_{m}p_{k}Tr_{A}(|\phi (i,m,k)\rangle \langle \phi (i,m,k)|)}{Tr(M(i)\rho _{S})}}={\frac {M(i)\rho _{S}}{Tr(M(i)\rho _{S})}}$

La sélection des états pointeurs et la pression de l'environnement

La physique quantique n'impose a priori aucune base d'états particulière à l'espace de Hilbert d'un système matériel. N'importe quelle base peut faire l'affaire. Il n'y a pas d'états fondamentaux à partir desquels les autres seraient obtenus par superposition. En particulier $|0\rangle$ et $|1\rangle$ sont tout autant des états de superposition que ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle +|1\rangle )=|x^{+}\rangle$ et ${\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle -|1\rangle )=|x^{-}\rangle$, puisque $|0\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle +|x^{-}\rangle )$ et $|1\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|x^{+}\rangle -|x^{-}\rangle )$.

Le formalisme des opérateurs et des superopérateurs de mesure n'impose a priori aucune base d'états pointeurs. Pour n'importe quelle base $|i\rangle _{A}$ des états de l'appareil de mesure, et n'importe quel état initial $|ready\rangle _{A}$, on peut définir les opérateurs de mesure $M(i)$. Pour n'importe quelle décomposition de $H_{A}$ en sous-espaces $H(i)_{A}$ mutuellement orthogonaux et n'importe quel opérateur densité qui représenter un état initial, on peut définir les super-opérateurs de mesure $M(i)$.

Mais une superposition de résultats de mesure n'est pas un résultat de mesure. Qu'est-ce qui nous oblige à choisir une base d'états pointeurs plutôt qu'une autre, obtenue avec des superpositions des précédents ? (Zurek 1981)

Si les appareils de mesure sont macroscopiques, le choix des états pointeurs, ou des sous-espaces pointeurs, s'impose naturellement, parce que les états macroscopiques non-localisés sont très fragiles (cf. 4.20), et en général inobservables. Pour qu'une mesure fournisse un résultat défini, il faut que ce résultat ait une durée minimale, au moins le temps nécessaire pour l'enregistrer, sur un disque dur, une feuille de papier, ou simplement notre mémoire. Si le résultat de mesure est détruit dès qu'il est obtenu, sans avoir été enregistré, il n'est pas un résultat. C'est pourquoi les états pointeurs des appareils macroscopiques sont toujours ou presque des états localisés, et que les sous-espaces pointeurs ne contiennent que des états localisés. On n'a pas d'autre choix, sauf si la décohérence par l'environnement est suffisamment faible pour que l'observation d'états macroscopiques non-localisés soit possible.

Les états pointeurs des sondes microscopiques

Un photon, et plus généralement n'importe quelle particule ou molécule, peut-être considérée comme un appareil de mesure, une sonde microscopique. Dans ce cas la décohérence par l'environnement n'agit pas, ou peu. Quelle est alors la base d'états pointeurs ? Elle peut être a priori quelconque. Il suffit que ces états pointeurs soient observables, qu'ils soient eux-mêmes des états pointés par un autre appareil de mesure, pour qu'une sonde microscopique fonctionne comme un instrument d'observation. Il y a cependant un critère qui suffit parfois pour sélectionner la bonne base d'états pointeurs : on veut que l'état du système observateur nous apporte un maximum d'information sur le système observé.

Par exemple, dans une porte CNOT, si on veut que le qubit cible nous renseigne au mieux sur le qubit de contrôle, la base {$|0\rangle ,|1\rangle$} s'impose. Il faut aussi choisir $|0\rangle$ ou $|1\rangle$ comme état initial du qubit cible. Tout autre choix de base d'états pointeurs ou d'état de préparation de la sonde empêcherait le qubit cible de réaliser une mesure idéale. En particulier, si on choisit comme base d'états pointeurs {$|x^{+}\rangle ,|x^{-}\rangle$} alors le qubit cible ne peut apporter aucune information sur le qubit de contrôle.

De façon générale lorsqu'une interaction rend possible une mesure idéale, il y a une seule base d'états pointeurs pour laquelle la mesure est idéale. Tout autre choix de base d'états pointeurs nuirait à l'observation en l'empêchant d'être idéale.

L'interaction entre le système observé et l'appareil de mesure suffit donc parfois pour sélectionner une base préférée d'états pointeurs. Mais ce n'est pas toujours le cas. Pour une interaction SWAP, n'importe quel choix de base d'états pointeurs est a priori aussi bon que n'importe quel autre.

Une double-contrainte pour la conception des instruments d'observation

Comme tous les êtres matériels interagissent avec d'autres êtres matériels, ils peuvent tous être considérés comme des instruments d'observation, et utilisés à cette fin. Mais lorsque nous concevons des instruments de mesure, nous voulons optimiser leur fonctionnement. Deux contraintes nous guident alors : il faut bien sûr que l'instrument d'observation recueille au mieux l'information souhaitée sur le système observé, mais il faut aussi que l'information recueillie nous soit accessible, et que nous puissions l'enregistrer avant qu'elle soit effacée. L'interaction entre le système observé et l'instrument d'observation permet au second d'obtenir des informations sur le premier. L'accessibilité de l'information ainsi obtenue dépend de l'interaction entre l'instrument d'observation et son environnement. Ces deux contraintes ensemble déterminent le choix de la base des états pointeurs. Si elles ne peuvent pas être satisfaites simultanément alors on n'a pas de bon instrument d'observation.