Aller au contenu
Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Similitudes planes
- Une transformation est une bijection du plan sur lui-même : tout point du plan admet une et une seule image, ainsi qu'un unique antécédent.
- Toute similitude plane est caractérisée par une écriture complexe du type
ou ![{\displaystyle z'=a{\bar {z}}+b~(a\in \mathbb {C} ^{*},b\in \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0027c69f05abd0036883b094501f7c6b54651ef6)
- Si
:
est une similitude directe et elle conserve les angles orientés.
Si
:
est une similitude indirecte et elle change l'orientation des angles.
- Soit
une similitude telle que
- son centre
est tel que ![{\displaystyle \omega ={\frac {b}{1-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f495db6605a45c6cde5ddcb64973a357bd9a1f4)
- son rapport
est tel que ![{\displaystyle \displaystyle k=|a|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ec00a0fdf707a576f6a94866acb2d932fdab192)
- son angle
est tel que ![{\displaystyle \displaystyle \theta =\arg a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9e65b0c16e8874ead3904ea73f838009a73165)
- La similitude
est la composée comutative de
et de ![{\displaystyle r(\Omega ,\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ccd983ae5ad6f2e2244713488a238a0f7c881f9)
![{\displaystyle S(\Omega ,k,\theta )=r(\Omega ,\theta )\circ h(\Omega ,k)=h(\Omega ,k)\circ r(\Omega ,\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b006162b187b11583b363472d6db65e3d729222)
- Si
est une similitude directe, alors
est une similitude directe : ![{\displaystyle s^{n}(\Omega ,k^{n},n\theta \,[2\pi ])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80c18807b27ee4f417847ad16ec8b90f2b2731e7)
- Il existe une seule similitude directe
tq
quand
et ![{\displaystyle \scriptstyle A'\neq B'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1d65a33582888c845786d7fcbab6c05ba18c229)
On sait alors que
et ![{\displaystyle \theta =({\vec {AB}},{\vec {A'B'}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f130606939f4d9493ec325f1090246c781cdcf2d)
-