Savoirs fondamentaux du programme de terminale scientifique/Mathématiques/Logarithme népérien

• $f:x\longrightarrow y=ln\,x$ est une fonction définie sur $\scriptstyle \mathbb {R} ^{+*}$, à valeurs dans $\scriptstyle \mathbb {R}$ dtsq $y=ln\,x\Leftrightarrow x=e^{y}$

• $e^{lnx}=x$ et $ln\,e^{x}=x$

• La fonction $\scriptstyle x\longrightarrow ln\,x$ est strictement croissante sur $\scriptstyle \mathbb {R} ^{+*}$ et $(ln\,x)'={\frac {1}{x}}$

• $\forall a\in \mathbb {R} ^{+*},\forall b\in \mathbb {R} ^{+*}$ :
  • $a<b\Leftrightarrow ln\,a<ln\,b$
  • $a=b\Leftrightarrow ln\,a=ln\,b$

• $ln\,x>0\Leftrightarrow x>1$
  $ln\,x<0\Leftrightarrow 0<x<1$

• $\lim \limits _{x\to 0^{+}}ln\,x=-\infty$

• Les courbes ${\mathcal {C}}_{e^{x}}$ et ${\mathcal {C}}_{ln\,x}$ sont symétriques par rapport à $\displaystyle \Delta :y=x$

• $\forall a\in \mathbb {R} ^{+*},\forall b\in \mathbb {R} ^{+*},\forall n\in \mathbb {N} ^{*}:$
  • $ln\,a+ln\,b=ln(ab)$
  • $ln\,{\frac {1}{a}}=-ln\,a$
  • $ln\,a-ln\,b=ln\,{\frac {a}{b}}$
  • $ln\,(a^{n})=n\,ln\,a$

• $\forall a\in \mathbb {R} ^{+*}:ln\,({\sqrt {a}})={\frac {1}{2}}\,ln\,a$

• $(ln\,u)'={\frac {u'}{u}}$

• $\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {ln\,x}{x}}=0^{+}$
• $\lim \limits _{x\to 0^{+}}x\,ln\,x=0^{-}$
• $\lim \limits _{x\to 1}{\frac {ln\,x}{x-1}}=1$