Recueil d'exercices de mécanique élémentaire/Amplitude complexe

Il est curieux que cette notion d'amplitude complexe soit si mal assimilée.

Ici quelques rappels de cours et quelques exercices :

Rappel de cours

Soit S($\omega$) l'ensemble des fonctions:

a cos($\omega$t) + b sin ($\omega$t),

qui forme un espace vectoriel de dimension 2 sur les REELS (a et b sont REELS). On peut aussi écrire une telle fonction A cos($\omega t+\phi$)soit en développant : a = A cos phi et b = -A sin phi , et réciproquement A (positif)= amplitude = sqrt(a²+b²) et la phase phi = - Arctan(b/a) (à pi près , qu'on choisit avec les signes de a et b).

On doit savoir passer sans hésitation de la forme (a,b) à la forme (A, phi).

On associe à S($\omega$) un isomorphisme d'espace vectoriel sur R et le corps des complexes(ev sur les RÉELS) : à (a,b) -> z = a -i b.

Ou bien (A, phi) -> z = A exp (i phi).

On vérifie attentivement qu'il s'agit bien d'isomorphisme, le passage réciproque de C vers S($\omega$)est :

z -> Re(z.exp(i $\omega$t))

On fera l'exercice de cours : z1 et z2 donnés (en forme polaires), trouver A et phi correspondant à k1z1+k2z2 , k1 et k2 RÉELS.

Quel est l'intérêt de cet isomorphisme, appelé : "passer en amplitude complexe" ? Essentiellement parce que la dérivée de Acos($\omega t+\phi$) est A$\omega$cos ($\omega t+\phi +\pi /2$), ce qui se transcrit par isomorphisme en une simple multiplication par i$\omega$. De ce fait la dérivée seconde sera par une nouvelle application : (i$\omega$)^2 = - $\omega$^2.

Application aux équations différentielles linéaires à coefficients constants RÉELS

On demande souvent aux élèves de physique de trouver LA solution particulière de l'équation : (L D^2 + R D +1/C)q(t) = Eo cos ($\omega$t) appartenant à S($\omega$). La réponse est alors évidente par passage en amplitude complexe, car l'équation sur C est une simple multiplication : [L ($i\omega$)^2 + R $i\omega$ + 1/C ]Q = Eo et ayant trouvé Q, on revient dans S($\omega$) : q(t) = Re [Q.exp ($i\omega t$)] On demande aux élèves de tracer l'amplitude de q(t) et sa phase quand $\omega$ varie.

Causalité

L'habitude en physique est de considérer le second membre comme la CAUSE-excitation e(t) et q(t) comme l'EFFET-réponse ou sortie s(t). De ce fait, ON CHOISIT PAR CONVENTION de prendre la phase dans l'intervalle [0, -2$pi$[ . Et si l'on devait étudier une équation de plus haut ordre, on prolongerait de même l'intervalle de [0, -...[

Évidemment , il convient de bien s'entendre sur la CAUSALITÉ : Si l'on branche un générateur sur une résistance , la réponse est IMMÉDIATE (pas de déphasage). Si l'on considère qu'en réalité il y a toujours la petite auto-inductance L des fils , il y aura RETARD.

Si l'on remplit une capacité C via un générateur de courant j(t) muni de sa résistance parallèle R ,alors c'est la charge q(t) de l'armature qui va être en retard sur la cause j(t) : on dit qu'un circuit RC est un circuit retard.

Exercices

• 1/L'insolation d'un mur est périodique I(t) = Io cos $\omega t$(+cste) .

On peut montrer que la réponse est une température du mur T = To (cos $\omega t$ + sin $\omega t$)(+cste).

Ce résultat vous paraît-il conforme à l'expérience, en considérant comme période 1/ la journée ; 2/ l'année ?

• Réponse de 1/. Le retard est donc de -$\pi /4$ : pour un jour , cela correspond donc à 1/8 de jour , soit 3heures : quand le soleil chauffe à midi , le mur est le plus chuad à 3 heures. Pour une année , le retard est de 1/8 d'année : quand le soleil chauffe le plus le 21 juin , il fait le plus chaud un mois et demi plus tard , soit le 4 août.Ce phénomène est improprement appelé : inertie thermique. Dommage, car il n'y a aucune "inertie" ; il conviendrait plutôt de le comparer au retard RC : il y retard d'accumulation thermique (il faut le temps que la chaleur diffuse dans le sol).

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• 2/séries de masses et ressort : ébranlement sinusoïdal:

Soit, sur une ligne horizontale trois masses égales , m1=m2=m3 liées en chaînes par deux ressorts égaux de raideur égales k1=k2 =k. On appellera Wo² = k/m

On agite la première masse avec une force F(t) Fo cos wt. Montrer que le mouvement de la troisième masse est en retard sur celui de la première en basse fréquence. Comment ce retard augmente-t-il quand la fréquence augmente ?

• Réponse de 2/ : il s'agit d'un exercice apparemment plus difficile puisqu'il fait (a priori) intervenir une équation bicarrée. Mais tel qu'il est posé, il reste à la portée d'un bon élève de terminale S.

Écrivons les trois équations du PFD :

m x1" = F(t)+ k(x2-x1)

m x2" = - k(x2-x1) + k(x3-x2)

mx3" = - k (x3-x2)

On passe en amplitude complexe :

-w² X1 + W0²(X1-X2) = Fo/m

-w² X2 + Wo²(-X1 +2X2 - X3) = 0

-w² X3 + Wo²(X3-X2)=0

La dernière équation permet d’éliminer X3 : X3 = X2[ Wo²/(Wo²-w²)], donc en phase ou déphasée de -pi par rapport à X2

On reporte dans la deuxième et il ne reste plus que deux équations linéaires à deux inconnues, donc la solution est immédiate, intellectuellement. Il reste à faire les calculs qui donnent :

X1 = Fo/m .[N1]/D

X2 = Fo/m .[N2]/D

X3 = Fo/m .[N3]/D

En BF, naturellement les trois masses ont sensiblement le même mouvement (F/3m)/(-w²); pas exactement néanmoins, la masse 2 a une amplitude légèrement plus élevée de (1+2w²/Wo²) et la masse 3 de (1+3w²/Wo²), ce qui correspond à l'intuition donnée par la "souplesse" des ressorts.

En HF ; la masse 1 "oublie" ses voisines et est déphasée en retard de pi sur la Force. La masse 2 bouge à peine X1(Wo²/(-w²) et déphasée de -2pi sur la Force . Ma masse 3 bouge encore moins -F/m (Wo²/w²)^3 et déphasée de -3 pi sur la Force.

Il reste à faire complètement ces calculs et interpréter les doubles résonances.

Il est intéressant aussi de mettre des amortisseurs fluides et des masses négligeables, de manière à voir comment ce comporte un tel "sol" , étudié en pédologie assez basse fréquence.