Rappels d'algèbre linéaire

Espace quotient

Relations, relations d'équivalence

Définitions . Soit $E$ un ensemble. Une relation sur $E$ est une partie $R$ de $E^{2}$. Si $(x,y)\in R$, on écrit $xRy$, et on dit que $x$ et $y$ sont en relation par $R$. Une relation peut être :

• réflexive si $\forall x\in E,xRx,$
• symétrique si $\forall x,y\in E,xRy\Rightarrow yRx,$
• transitive si $\forall x,y,z\in E,(xRy\,{\textrm {et}}\,yRz)\Rightarrow xRz.$
• antisymétrique si $\forall x,y\in E,(xRy\,{\textrm {et}}\,yRx)\Rightarrow x=y.$

Une relation d'équivalence est une relation réflexive, transitive et symétrique. Une relation d'ordre est une relation réflexive, transitive et antisymétrique.

Remarques Une relation d'équivalence généralise l'égalité qui est la relation d'équivalence la plus fine (pour toute relation d'équivalence $R$ on a $x=y\Rightarrow xRy$ par réflexivité).

Exemples

• Le parallélisme est une relation d'équivalence sur l'ensemble des droites du plan.
• Si $H$ est un sous groupe de $G$ alors si pour $a,b\in G$, on écrit $aRb\,{\textrm {ssi}}\,b^{-1}a\in H$ alors $R$ est une relation d'équivalence sur $G$.
• L'ordre usuel ($\leq$) sur $\mathbb {N}$, sur $\mathbb {Z}$, sur $\mathbb {Q}$ ou sur $\mathbb {R}$ sont des relations d'ordre.
• Si $E$ est un ensemble, la relation $\subset$ définie sur $P(E)$ (l'ensemble des parties de $E$) est une relation d'ordre.

Définition Soit $E$ un ensemble muni d'une relation d'équivalence $R$. Soit $x$ dans $E$, on appelle classe d'équivalence de $x$ selon $R$ et on note $C_{R}(x)$ (ou bien $C(x)$ ou ${\bar {x}}$ si il n'y a pas ambiguité sur la relation) l'ensemble de tous les éléments de $E$ $R$-équivalent à $x$,i.e. $C_{R}(x)=\{y\in E;xRy\}$. On dit classe selon $R$, ou classe sous $R$ ou classe modulo $R$.

Partitions

Définition. Soit $E$ un ensemble. On appelle partition de $E$ une famille $(E_{i})_{i\in I}$ de sous-ensembles non-vides de $E$ telle que :

$E=\bigcup _{i\in I}E_{i},$

$\forall (i,j)\in I\times I,i\neq j\Rightarrow E_{i}\cap E_{j}=\emptyset .$

Exemples

• L'ensemble des intervalles réels $[i,i+1[$ pour $i\in \mathbb {N}$ forme une partition de l'ensemble $\mathbb {R} ^{+}$ des réels positifs ou nuls.
• Si $G$ est un groupe et $H$ est un sous-groupe de $G$, posons, pour $a\in G$, $aH=\{ah;h\in H\}$. Alors la famille $(aH)_{a\in G}$ est une partition de $G$.

Propriétés Un premier résultat (facile à vérifier) est le suivant :

Pour toute relation d'équivalence $R$, l'ensemble ${\mathcal {C}}_{R}(E)$ de toutes les classes d'équivalences forme une partition de $E$. Réciproquement tout partition $(E_{i})_{i\in I}$ de $E$ permet de définir une relation d'équivalence par $xRy\Leftrightarrow \exists i;x,y\in E_{i}$.

Remarque Il en découle qu'une classe est totalement définie par n'importe lequel de ses éléments. On parle alors de représentant de la classe. L'ensemble ${\mathcal {C}}_{R}(E)$ de toutes les classes d'équivalences est appelé quotient de $E$ par $R$. Pour plus de commodité chaque élément de ${\mathcal {C}}_{R}(E)$ est représenté par un de ses représentants.

Exemple Si $G$ est un groupe et $H$ en est un sous-groupe, les classes pour la relation $aRb\,\mathrm {\,} b^{-1}a\in H$ sont les $aH,a\in G$.

Quotients

Définition Soit $E$ un ensemble et $R$ une relation sur $E$. On définit le quotient de $E$ par $R$, que l'on note $E/R$, comme l'ensemble des classes modulo $R$.