Précis d'épistémologie/Les symétries

Les structures en tant que propriétés

Lorsqu'on parle de ressemblance entre deux individus, on entend qu'une partie des propriétés qui sont attribuées à l'un peut être attribuée à l'autre. Lorsqu'on parle de ressemblance entre deux systèmes, l'expression 'ce qui est vrai de l'un est également vrai de l'autre' peut recevoir une signification plus subtile. On entend qu'il existe une projection f qui permet de remplacer les individus x du premier système par des individus f(x) du second système, de telle façon que des énoncés vrais sur le premier système soient remplacés par des énoncés vrais sur le second système. Une telle projection est appelée en mathématiques un morphisme, ou un isomorphisme si elle est bijective, pour dire que les deux systèmes ont la même forme, ou la même structure.

L'usage courant du concept de structure est ambigu. La structure désigne tantôt l'objet, le système, tantôt sa propriété. Les structures ont une structure. Du point de vue logique, une structure en tant qu'objet est un monde logiquement possible ou une partie d'un tel monde. Une structure en tant que propriété peut être définie à partir de la relation d'équivalence x a la même structure que y. Cette relation d'équivalence peut être définie avec le concept d'isomorphisme :

Deux structures (ou deux systèmes) ont la même structure si et seulement si elles sont isomorphes.

Un isomorphisme entre deux structures E et F est une fonction bijective f qui remplace les individus de E par des individus de F de telle façon que toutes les propriétés et les relations fondamentales soient conservées. Formellement :

Si P est une propriété fondamentale, pour tout x dans E, x a la propriété P si et seulement si f(x) a la propriété P.

Si R est une relation binaire fondamentale, pour tout x et tout y dans E, xRy si et seulement si f(x)Rf(y)

Il en va de même pour les relations fondamentales entre davantage de termes.

(Une relation entre les éléments de E et les éléments de F définit une application de E dans F lorsque chaque élément de E est relié à un unique élément de F. Une application de E dans F est bijective lorsque chaque élément de F est relié à un unique élément de E. Autrement dit, une fonction bijective est une application dont l'inverse est aussi une application.)

Un isomorphisme f entre deux structures permet de transformer tous les énoncés vrais à propos de l'une en énoncés vrais à propos de l'autre. Il suffit de remplacer partout x par f(x). Lorsque deux structures sont isomorphes, elles sont des modèles des mêmes théories. Tout système d'axiomes vrai de l'une est nécessairement vrai de l'autre.

Un être naturel complexe est une structure naturelle, définie avec des propriétés et des relations naturelles. Deux êtres naturels complexes isomorphes sont essentiellement semblables, naturellement indiscernables. Ils ont les mêmes propriétés naturelles. Tout ce qui est naturellement possible avec l'un est naturellement possible avec l'autre. La nature d'un être naturel complexe est sa structure. Deux êtres naturels complexes isomorphes ont la même nature.

Le concept d'isomorphisme est souvent défini d'une façon plus générale. On permet à la fonction bijective f de remplacer non seulement les individus mais également les propriétés et les relations, toujours de telle façon que les énoncés vrais sur un système soient remplacés par des énoncés vrais sur un autre système. Lorsque la ressemblance entre des systèmes est définie de cette façon, on dit couramment que les systèmes semblables sont analogues et que la projection f est une analogie. Un isomorphisme peut être défini comme une analogie bijective.

On peut aussi définir le concept de structure d'une façon plus générale :

Deux structures ont la même structure si et seulement si elles sont des modèles de la même théorie.

Avec cette seconde définition, une structure en tant que propriété est déterminée par les axiomes d'une théorie. Plus précisément, des systèmes d'axiomes différents définissent la même structure lorsqu'ils ont les mêmes modèles, lorsque tout modèle de l'un est un modèle de l'autre.

Une théorie est catégorique lorsque tous ses modèles sont isomorphes. Les structures fondamentales des mathématiques, l'ensemble des nombres naturels et celui des nombres réels en particulier, sont déterminées avec des théories catégoriques. Une théorie catégorique interdit toute contingence. Il y a essentiellement un seul monde logiquement possible qui obéit à ses principes. Les lois de la Nature ne déterminent pas une théorie catégorique de la Nature. Elles laissent de la place pour la contingence.

Lorsqu'une théorie n'est pas catégorique, des structures ou des systèmes différents, non-isomorphes, peuvent avoir la même structure, telle qu'elle est définie par la théorie. Par exemple, on peut dire de tous les espaces vectoriels qu'ils ont une structure d'espace vectoriel.

Les structures symétriques

Un automorphisme d'une structure E est un isomorphisme interne, un isomorphisme de E dans E.

Toute structure a un automorphisme trivial, la fonction-identité définie par id(x)=x.

Une structure est symétrique lorsqu'elle a au moins un automorphisme non-trivial.

Un automorphisme non-trivial est une symétrie d'une structure.

Les automorphismes d'une structure forment un groupe, au sens algébrique, parce que l'inverse d'un automorphisme est un automorphisme et parce que la composée de deux automorphismes est également un automorphisme.

Le groupe de tous les automorphismes d'une structure est aussi appelé le groupe de ses symétries. Par exemple, le groupe des symétries d'un cercle, ou d'un disque, est le groupe des rotations autour de leur centre et des réflexions par rapport à un diamètre.

Lorsqu'il existe un automorphisme g tel que y=g(x), x et y sont essentiellement indiscernables à l'intérieur de la structure, au sens où toute vérité sur l'un peut être transformée en une vérité équivalente sur l'autre.

La classe d'équivalence, ou l'orbite, d'un élément x d'une structure symétrique est l'ensemble des y tels que y=g(x) où g est un automorphisme de la structure.

Une classe d'équivalence est un ensemble d'éléments essentiellement indiscernables à l'intérieur de la structure. Par exemple, tous les points d'un cercle sont dans la même classe d'équivalence parce que rien ne permet de les distinguer sur le cercle. Tous les points d'un disque à la même distance du centre sont aussi dans une même classe d'équivalence, mais des cercles concentriques différents y sont des classes d'équivalence différentes, parce que les points sont distingués par leur distance au centre.

Une structure est symétrique lorsqu'elle contient des éléments distincts mais essentiellement indiscernables, parce que leurs propriétés et leurs relations à l'intérieur de la structure déterminent des places distinctes mais équivalentes.

Une structure naturelle est parfaitement symétrique lorsqu'elle contient des éléments naturellement indiscernables tels que leurs relations à l'intérieur de la structure leur attribuent des places équivalentes.

Une structure naturelle est imparfaitement symétrique lorsqu'elle contient des éléments naturellement très semblables tels que leurs relations à l'intérieur de la structure leur attribuent des places équivalentes ou presque équivalentes.

Lorsqu'une structure contient de nombreux constituants, plus elle est symétrique, plus elle est facile à connaître, parce qu'on connaît toutes les parties symétriques dès qu'on en connaît une.

Les deux ailes des papillons (ici une vanesse du chardon) sont symétriques par réflexion : l'une est comme l'image dans un miroir de l'autre.

Cette fleur est symétrique par rotation : si on la tourne d'un cinquième de tour, on retrouve la forme initiale.

Saturne et ses anneaux. Les planètes et les étoiles sont à peu près symétriques pour toutes les rotations autour de leur axe.

Flocon de neige

Une rotation d'un sixième de tour permute les atomes de la molécule de benzène sans modifier la structure.

Les empilements de sphères dures sont des modèles de la structure de certains cristaux. Ils sont symétriques par translation.

Image au microscope de la surface de SrTiO3. Les atomes les plus clairs sont Sr et les plus sombres sont Ti.

Volvox est une algue verte d'eau douce microscopique à symétrie sphérique. Les jeunes colonies peuvent être vues à l'intérieur des plus grandes.

Coupe sagittale d'une coquille de nautile. Une spirale logarithmique est symétrique par similitude.

La fonction d'onde d'une particule initialement très localisée.

Écoulement parfait autour d'un cylindre. En plus de la symétrie bilatérale, il y a une symétrie entre l'amont et l'aval par inversion du sens du temps. La permanence est une symétrie pour les translations dans le temps.

Une onde sphérique périodique est symétrique pour les rotations autour de son centre et pour les translations dans le temps d'un multiple de sa période.

Une trajectoire d'un système imprévisible (Chua). Chaos et symétrie ne sont pas exclusifs.

Détection simulée de particules dans une expérience d'interférence. Une structure symétrique peut résulter d'un phénomène aléatoire.

Une structure fractale est symétrique par changement d'échelle.

Le rayonnement du fond cosmologique. Ce sont les faibles écarts de température par rapport à un Univers homogène. L'Univers était donc presque symétrique pour toutes les translations et les rotations.

Le principe d'équivalence de tous les observateurs

Pour développer la science empirique, il faut postuler que tous les expérimentateurs sont équivalents, au sens où toute expérience faite par l'un doit pouvoir être refaite par un autre. Les expériences doivent être reproductibles. Si une expérience ne l'est pas, alors elle n'est pas bien contrôlée. Pour que les expériences soient reproductibles, il faut en particulier que leurs résultats ne dépendent pas du lieu ou du moment. Les conditions expérimentales doivent pouvoir être reproduites toujours et partout et conduire toujours au même résultat. En postulant le principe d'équivalence des observateurs, on postule donc du même coup que les lois de la physique sont vraies toujours et partout. Cela conduit à définir le groupe des symétries de l'espace-temps. Tous les points de l'espace-temps sont nécessairement semblables, ils sont tous dans la même classe d'équivalence. Quand on en connaît un, on les connaît tous. Il en va de même pour toutes les directions de l'espace et plus généralement pour tous les référentiels d'observation. Il n'y a pas de centre de l'espace-temps, pas de direction spatiale privilégiée (isotropie, pas de haut et de bas), et pas non plus d'état de repos absolu (principe de relativité de Galilée-Einstein). Comme les chevaliers de la Table Ronde, mais dans un espace beaucoup plus grand, les observateurs de l'espace-temps n'ont jamais de position privilégiée. Le groupe des symétries de l'espace-temps (le groupe de Poincaré) est une traduction mathématique du principe d'équivalence de tous les observateurs, de même que le groupe des symétries d'une table ronde est une traduction mathématique du principe d'équivalence de tous les chevaliers.

Le principe d'équivalence de tous les observateurs est au fondement non seulement de la physique théorique, mais aussi de toutes les sciences, parce que la raison exige que le savoir soit universel, que tout ce qui est un savoir pour l'un puisse également être un savoir pour tous les autres.