Pont de Wheatstone

Cet article est relié au Wikilivre : électrocinétique. Comme il y est dit, il complémente l'exercice "problème du pont de Wheatstone".

Le montage en pont de WHEATSTONE était classique pour mesurer avec précision une résistance inconnue X avec un rhéostat de qualité R et un diviseur de tension usuel (R1:R2) de qualité : quand le pont était équilibré ( indication du galvanomètre inséré dans "le pont" égale à zéro ) , le résultat était : X/R = R1/R2 : d'où X.

Inventé en 1843 par Charles Wheatstone (1802-1875)(http://chem.ch.huji.ac.il/history/wheatstone.html, il servira de "pont aux ânes", pour un siècle au moins, pour des générations d'étudiants.

Son principe est cependant assez simple : il est basé sur un pont entre deux potentiomètres

Rappel sur le potentiomètre

Un diviseur de tension consiste à prendre sur une résistance R , d'extrémités AB auxquelles ont été branchées un générateur de tension E, un point C et prendre la tension entre C et B : si la résistance est R2 , la résistance entre A et C est R1= R-R2 , et la tension U = V(C)-V(B) = R2/(R1+R2) [ V(A)-V(B)]

Si la résistance interne (nommée R5) du générateur est négligeable, alors le dipôle vu entre C et B vaut , d'après le théorème de Thévenin : E * R2/(R1+R2) de résistance interne R1//R2 == R1R2/(R1+R2)

Pont entre deux potentiomètres

Opposons deux potentiomètres : ACB et A'DB' : on joindra B et B' qu'on prendra comme convention pour "masse"[ V(B)==0] Un voltmètre mesure aisément la ddp V(C)-V(D) = E R2/(R1+R2) - E' R4/(R3+R4).

L'astuce de Wheatstone consiste à remarquer qu'on peut utiliser la MÊME source de tension pour économiser l'investissement : il suffit de joindre A et A' et ne placer que LA source de tension (E,de résistance interne,R5, souvent négligeable) . Le voltmètre sera déclaré comme la résistance R6 de ce tétraèdre ABCD .

Clairement, le pont est équilibré si les deux potentiomètres ont même rapport , soit si

R1/R2 = R3/R4

Les deux alternatives

Montage 1 : Soit une résistance X à mesurer :plaçons là en position de R3 . Alors on place un rhéostat R de valeur ~R3 en place de R4 et R1~R2 ,et on ajuste jusqu'à l'équilibre ;

Montage 2 : Ou bien R est en place de R1 et R2~R4 : cette disposition est préférable si l'on veut équilibrer les courants dans les deux branches ACB et ADB ( à l'équilibre pas de courant dans le galva, R6); mais X peut chauffer, or X(T) dépend souvent de la température T.

La première alternative convient, SI (et seulement si ) R1et R2 sont de petites résistances qui chauffent en restant dans le même rapport , alors il est "parfois" plus intéressant de ne pas faire passer beaucoup de courant dans X union R ==R4 : l'expérimentation l'indique. De toute façon, on essaie de ne faire passer le courant que le minimum de temps, via une clé-interrupteur du générateur E .

Pratique

Montage 1 : Régler le Galva en position Voltmètre sensibilité faible ( R6 grand) , et R1 = R2 = 1kOhm : Quand en faisant varier R , on fait basculer le voltmètre, on re-règle au quasi-équilibre. On apprécie vite la valeur de X , et alors ON RÉFLÉCHIT aux problèmes de température , d'environnement , de contacts précis , etc. : en effet , après cette mesure PRÉALABLE, va démarrer la mesure vraie, où l'on va progressivement accroître la sensibilité du voltmètre jusqu'à la position ampèremètre, puis galvanomètre.

Exemples

Un étudiant mesure la résistance d'une ampoule et trouve 8 ohms et 17 ohms : oui! la résistance a pu chauffer subrepticement. Réciproquement, on peut mesurer la diminution d'une thermistance avec T aisément [en la thermostatant!]. Dans le cas de mesure de jauge de contrainte, l'idéal est d'utiliser deux jauges identiques sur deux matériaux identiques, l'un témoin et l'autre sous contrainte : on élimine ainsi beaucoup d'erreurs d'environnement.

méthode de substitution

Quand on possède une autre résistance étalon R' réglable de valeur ~X , alors le mieux est la banale méthode de substitution : substituer R' à X et ajuster jusqu'à réobtenir l'équilibre. Descendre alors jusqu'à la sensibilité optimale.

méthode de Gauss

montage2 : X/R2 = R/R4 : pont sensiblement équilibré ; échanger X et R et rééquilibrer : R'/R2 = X/R4 : d'où X² = R.R' , indépendant de R2 et R4 : cela peut être intéressant !

méthode d'interpolation

peu usitée, car on préfère utiliser une "bonne boîte R étalon". On demande de trouver le courant i dans le galva , pour une petite variation de X . solution : rappelons la formule du pont de Wheatstone ( cf page : Wikibooks électrocinétique) :

$i=E\cdot {\frac {R_{1}R_{4}-R_{2}R_{3}}{S_{16}}}$, où S16 == les 16 triplets des six résistances ( C(6,3) = 20 ) sauf les 4 triplets_cutsets qui se rencontrent en chacun des 4 sommets_nœuds du tétraèdre.Il s'agit là d'une "transadmittance".

On se place en méthode 2 : On voit immédiatement que $i=E{\frac {RR_{4}-R_{2}X}{X(D8)+T8}}=E\cdot N/D$ avec D8 les Huit doublets de résistances qui interviennent dans S16 et T8 les 8 triplets qui ne contiennent pas X : il est immédiat de dériver cette fonction homographique : di/dX =E.( -R2/D -N.D8/D²) .

• Pour simplifier, donnons le résultat quand R5 = 0 ( ce qui élimine 8 termes ) : D = R6 ( R+R2)(X+R4) + 4termes [ XRR2 + XRR4 + XR2R4 + RR2R4 ] . Si R6 très grand ( cas en voltmètre) : alors, le résultat est trivial : ddp à vide /R6.

Le calcul se conduit de même en méthode 1 ; il apparaît que la méthode 1 a plus de sensibilité ; MAIS le courant est fort dans R1 et R2 ( attention aux températures!).Cf exercice 4.

Avec du matériel rudimentaire, on dispose seulement d'un "pont à un seul fil" et d'une seule bonne résistance réglable R , et un voltmètre rudimentaire ; c'est donc la méthode 1 qui sera utilisée, en essayant "au mieux" de bien graduer le "fil".

Exercices

Exercice 1 : (oral CCP 2003)E= 10V , les potards sont (800 et 200) et (200 et 800) : quelle est la ddp entre C et D à vide ? que devient-elle si le voltmètre a une résistance de 10000 ohms ?

solution : à vide V(C) = 200/1000 *10 V et V(D) = 800/1000*10 V donc U = - 10V * 0.6 = -6 V .

Avec la résistance du Thévenin équivalent égale à (200//800) * 2 = 320 ohms , le courant dans le voltmètre n'est que de -6 / 10320 A et donc le voltmètre indique seulement - 6 . (1000O/10320) = -5,8 V

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Exercice 2 : (X 1970 partiel): un pont R1uR2 et R3uR4 est équilibré et alimenté par un accu de ddp ajustable inconnue. On branche en parallèle sur R4 un dipôle (D)de caractéristique inconnue . Deux voltmètres parfaits mesurent V(D)-V(B) et V(C)-V(D). Montrer que cela permet de relever la caractéristique di dipôle (D) point par point.

solution : U = V(D)-V(B) bien sûr ; I = [V(C)-V(D)] . (1/R3 + 1/R4) (application du théorème de substitution + théorème de Norton )

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Exercice 3 : Méthode de Mance : pour mesurer la résistance interne d'une pile (disons Eo, R4) , on l'insère dans la branche DB d'un pont de Wheatstone : montrer que si R4/R3 = R2/R1 , le courant I du galvanomètre ne dépend plus de le f.e.m E du générateur principal. Donc si en faisant varier E, I ne change pas , on obtient R4 !

solution : c'est simplement le théorème de superposition : I dû à E vaut zéro , donc il n'est dû qu'à Eo et donc indépendant de E !

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Exercice 4 : Optimisation d'un pont de Wheatstone : la pile d'alimentation a une résistance R5 = ro ( ~1 ohm) ; le galva a une résistance R6 = r ( ~100 ohms) . On veut mesurer R3 = X d'environ 1O OOO ohms. L'idée est de choisir au mieux les résistances R1, R2 et R4 pour avoir une sensibilité maximum ; dans les calculs, on remplacera R4 par sa valeur X. (R2/R1).

Montrer que la ddp U aux bornes du galva est :

$U=E{\Delta X \over X}{\frac {XR_{1}R_{2}}{D}}$ avec $D=(ro(R_{1}+X)+X(R_{1}+R_{2}))\cdot (r(R_{1}+R_{2})+R_{2}(X+R_{1}))$

Il faut optimiser sur R1 et R2 ! Montrer que cela conduit à : R1^2 = roX(r+X)/(ro+X) et R2^2 = ro.r , et qu'alors la sensibilité est : $U=E{\Delta X \over X}/D^{2}$ avec $D=1+{\sqrt {(}}r_{o}/r)+{\sqrt {(}}1+r_{o}/X)(1+X/r)$

A.N. ?

solution : SCILAB est extraordinaire et donne cette solution, au demeurant peu intuitive ! Remarquons cependant que si X= sqrt (ro.r) alors toutes les résistances sont égales et c'est ce qui donne la meilleure sensibilité ; mais on n'a pas souvent le choix de r !!!

A.N. On trouve D = 11,1 et donc D^2 = 122 .En pratique, on mesure assez facilement X avec 3 ChS , plus difficilement avec 4 ChS ( problème de résistances de contact )

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