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Mathc matrices/25e

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Déterminant


L'équation d'une sphère

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Présentation :
 Un système linéaire homogène avec autant d'équation
 que d'inconnus a une solution non trivial si et 
 seulement le déterminant de cette matrice est nul.

 Calculons l'équation d'une sphère passant par les points P Q R S :   

  c1(x^2 +y^2 +z^2) +c2x +c3y +c4z +c5 = 0

 Cette même équation avec les points P(x1,y1,z1) 
 Q(x2,y2,z2)  R(x3,y3,z3) et S(x4,y4,z4):
 
 
  c1(x1^2+y1^2+z1^2)+c2x1+c3y1+c4z1+c5 = 0    
  c1(x2^2+y2^2+z2^2)+c2x2+c3y2+c4z2+c5 = 0   
  c1(x3^2+y3^2+z3^2)+c2x3+c3y3+c4z3+c5 = 0  
  c1(x4^2+y4^2+z4^2)+c2x4+c3y4+c4z4+c5 = 0


 Le système de cinq équations :
 
  c1(x^2 +y^2 +z^2) +c2x +c3y +c4z +c5 = 0
  c1(x1^2+y1^2+z1^2)+c2x1+c3y1+c4z1+c5 = 0    
  c1(x2^2+y2^2+z2^2)+c2x2+c3y2+c4z2+c5 = 0   
  c1(x3^2+y3^2+z3^2)+c2x3+c3y3+c4z3+c5 = 0  
  c1(x4^2+y4^2+z4^2)+c2x4+c3y4+c4z4+c5 = 0 
 
 
  Le déterminant du système :

    |(x ^2+y ^2+z ^2) x  y  z  1|
    |(x1^2+y1^2+z1^2) x1 y1 z1 1|
    |(x2^2+y2^2+z1^2) x2 y2 z2 1| = 0
    |(x3^2+y3^2+z3^2) x3 y3 z3 1|
    |(x4^2+y4^2+z4^2) x4 y4 z4 1|

 Le déterminant du système en langage C : 

    |     1           1  1  1  1|
    |(x1^2+y1^2+z1^2) x1 y1 z1 1|
    |(x2^2+y2^2+z1^2) x2 y2 z2 1| = 0
    |(x3^2+y3^2+z3^2) x3 y3 z3 1|
    |(x4^2+y4^2+z4^2) x4 y4 z4 1|


           c1 (x^2 +y^2 +z^2) +
           c2  x +
           c3  y +
           c4  z +
           c5      = 0
  
 Pour calculer les coefficients de l'équation 
 de la sphère on utilise le développement sur 
 la première ligne en calculant les cofacteurs.
 
   cof(R1,C1) (x ^2+y ^2+z ^2)+
   cof(R1,C2)  x+
   cof(R1,C3)  y+
   cof(R1,C4)  z+
   cof(R1,C5)    = 0
   
Cette équation nous donnes l'équation de la sphère
 qui passe par les quatre points P  Q  R et S.


Deux exemples :