Mathématiques du traitement du signal/Développements limités

Le développement de Taylor permet d'écrire :

$C(S+\alpha \,\delta S)=C(S)+\sum _{n=1}^{N}{1 \over n!}\,\partial _{S}^{n}C(S)\,(\alpha \,\delta S)^{n}+o(\delta S^{N})$

on peut alors toujours combiner ces développements avec differents $\alpha _{i}$ via une somme pondérée par des coefficients $\beta _{i}$ et obtenir :

$\sum _{i=1}^{I}\beta _{i}\,C(S+\alpha _{i}\,\delta S)=\left(\sum _{i}\beta _{i}\right)C(S)+\sum _{n=1}^{N}\left(\sum _{i}\beta _{i}\alpha _{i}^{n}\right){1 \over n!}\,\partial _{S}^{n}C(S)\,(\alpha \,\delta S)^{n}+o(\delta S^{N})$

on peut alors choisir les $\alpha _{i}$ et $\beta _{i}$ de sorte que toutes les puissances de $\delta S$ jusqu'à $N$ s'annulent ($\delta _{i}(j)$ est l'indice de Kroeneker) :

$(1.1)\;\;\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\alpha _{i}^{n}=\delta _{\{0,N\}}(n),\,\forall 1\leq n<N$

On aura alors :

$\sum _{i=1}^{N}\beta _{i}\,C(S+\alpha _{i}\,\delta S)=C(S)+\partial _{S}^{N}C(S)\,\delta S^{N}+o(\delta S^{N})$

L'équation (1.1) fait apparaître une matrice de Vandermonde (voir fr.wikipedia) :

$(1.2)\;\;{\rm {VdM}}(\alpha )'\beta =\Delta _{\{0,N\}},\,{\rm {VdM}}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&\alpha _{1}&\cdots &\alpha _{1}^{N}\\1&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{2}^{N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\1&\alpha _{N}&\cdots &\alpha _{N}^{N}\end{pmatrix}},\;\Delta _{\{0,N\}}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$