Une suite est une fonction de $\mathbb {N}$ dans $\mathbb {R}$ . Tout ce qui est dit dans le chapitre suivant peut donc être appliqué aux suites. On va donc essentiellement parler de suites récurrentes ici. Numériquement, les suites servent surtout à faire des calculs, selon la méthode suivante:

Pour calculer un nombre $\ell$ , on invente une suite $u_{n}$ telle que $\lim _{n\rightarrow \infty }u_{n}=\ell$ ;
On estime que par exemple 1000 est suffisamment proche de $\infty$ pour que $u_{1000}\simeq \ell$ .
On calcule alors $u_{1000}$ (en général par récurrence).
On considère donc qu'on a fini de calculer $\ell$ .

C'est ainsi par exemple, qu'on calcule

des racines carrées par la méthode de Heron;
Le nombre pi par les différentes méthodes connues (suites qui convergent vers $\pi$ )
Les intégrales se calculent numériquement par des méthodes analogues;
La constante d'Euler est définie comme limite d'une suite.
Les nombres de Bernoulli sont aussi définis comme une suite, bien que pour une fois, ce ne soit pas à sa limite qu'on s'intéresse.
Même le nombre d'Or peut s'obtenir comme limite d'une suite basée sur les nombres de Fibonacci...

Suites récurrentes

Les suites récurrentes sont celles pour lesquelles $u_{n+1}$ dépend de $u_{n}$ . Mais pour la suite de Fibonacci, la dépendance va plus loin, non seulement le dernier terme intervient, mais également le pénultième.

Suite logistique

La suite est définie par $u_{n+1}=4u_{n}\left(1-u_{n}\right)$ . Son comportement dépend grandement de la valeur de $u_{0}$ mais elle est souvent chaotique. Pour calculer ses 20 premiers termes, on peut écrire une simple boucle :

u=0.1
for n in range(20):
    u=4*u*(1-u)
    print(u)

En effet, une suite récurrente se représente, si n est le temps, par l'affectation d'une variable avec l'image de son ancienne valeur par une fonction (ici, $x\mapsto 4x\left(1-x\right)$ ). Si le premier terme de la suite est une fraction, il en est de même pour tous les termes suivants :

from fractions import *

u=Fraction(1,10)
for n in range(10):
    u=4*u*(1-u)
    print(u)

Suites arithmétiques et géométriques

Une suite est arithmétique si on passe de chaque terme au suivant en additionnant le même nombre, appelé raison de la suite. L'objet range de Python est donc une suite arithmétique d'entiers.

Par exemple, si on place 2000 € avec des intérêts simples s'élevant à 3 % de 2000, soit 60 € par an, l'évolution du capital pendant 20 ans s'obtient avec ce script :

C=2000
I=2000*3/100
for n in range(1,20):
    C+=I
    print(C)

Une suite est géométrique si on passe de chaque terme au suivant en multipliant par un même nombre appelé également raison. Par exemple, si on place 2000 € avec des intérêts composés au taux de 2 %, l'évolution du capital année après année est donnée par ce script :

C=2000
for n in range(1,20):
    C*=1.02
    print(round(C,2))

Le module cmath permet aussi d'étudier les suites géométriques complexes. On constate alors que si le module de la raison est plus petit que 1, la suite tend vers 0, et si le module de la raison est supérieur à 1, la suite tend vers l'infini. C'est bien entendu lorsque le module est égal à 1 qu'il se passe les choses les plus intéressantes...

Suite de Collatz

Algorithmiquement, la suite de Collatz est intéressante parce que son calcul est basé sur un test de parité, et qu'elle utilise une boucle à condition de sortie :

u=65
while(u>1):
    if u%2:
        u=3*u+1
    else:
        u//=2
    print(u)

La division par 2 est une division euclidienne, en effet on souhaite que u reste entier (et non flottant) au cours de la boucle.

Suite de Fibonacci

Calcul de la suite

La récurrence de la suite de Fibonacci est double, avec $u_{n+1}=u_{n}+u_{n-1}$ . Son calcul pose donc un problème algorithmique, puisqu'il faut trois variables (les deux termes à calculer et une variable tampon pour stocker temporairement l'un des deux termes, afin qu'il ne soit pas écrasé par la somme). Ce problème n'existe pas en Python qui permet les affectations simultanées.

a=1
b=1
for n in range(20):
    a,b=b,a+b
    print(a)

Nombre d'Or

Un problème numériquement intéressant (et c'était la motivation initiale de Fibonacci) est d'étudier le comportement du rapport entre deux termes successifs de la suite de Fibonacci :

a=1
b=1
for n in range(20):
    a,b=b,a+b
    print(b/a)

print((1+5**0.5)/2)

On constate la convergence vers le nombre d'or.

Suites définies par des sommes

Un exemple

La suite définie par $u_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{20}}+...={\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}+{\frac {1}{4\times 5}}+...+{\frac {1}{n(n+1)}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k(k+1)}}$ tend vers 1, il est relativement aisé de le démontrer, et presque aussi facile de le vérifier avec Python:

somme=0
for n in range(1,50):
    somme+=1/(n*(n+1))
    print(somme)

Un autre exemple

La suite $u_{n}={\frac {n}{n^{2}+1}}+{\frac {n}{n^{2}+2}}+{\frac {n}{n^{2}+3}}+{\frac {n}{n^{2}+4}}+...+{\frac {n}{n^{2}+n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n}{n^{2}+k}}$ converge aussi, bien que ce ne soit pas évident en voyant son expression algébrique.

for n in range(1,20):
    for k in range(1,n):
        somme+=n/(n**2+k)
    print(somme)

La constante d'Euler

On peut la calculer (et vérifier la lenteur de la convergence) avec

from math import *
somme=0
for n in range(1,50):
    somme+=1/n
    print(somme-log(n))

Calcul de racines carrées

Méthode de Heron

En constatant que

Si $u\simeq {\sqrt {5}}$ alors ${\frac {5}{u}}\simeq {\sqrt {5}}$ aussi;
Si $u<{\sqrt {5}}$ alors ${\frac {5}{u}}>{\sqrt {5}}$ et vice-versa;
Par conséquent, on s'attend à ce que la moyenne entre $u$ et ${\frac {5}{u}}$ soit une valeur approchée encore meilleure de ${\sqrt {5}}$ ,

on a l'ébauche d'une suite récurrente qui tend vers ${\sqrt {5}}$ :

Application

u=1
while(abs(u**2-5)>1e-14):
    u=(u+5/u)/2
    print(u)

print(5**0.5)