Mécanique spatiale/Les lois de l'attraction

Mécanique spatiale Chapitre 3 : Les lois de l'attraction
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La loi de la gravitation, ou loi de l'attraction universelle, découverte par Isaac Newton, est la loi décrivant la gravitation comme une force responsable de la chute des corps et du mouvement des corps célestes, et de façon générale, de l'attraction entre des corps ayant une masse, par exemple les planètes, les satellites naturels ou artificiels. Cet article présente essentiellement les aspects de la mécanique classique de la gravitation et non pas la relativité générale.

Expression mathématique selon Newton

Deux corps ponctuels de masse $M_{A}$ et $M_{B}$ s'attirent avec une force proportionnelle à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.

La force exercée sur le corps $B$ par le corps $A$ est vectoriellement donnée par

${\vec {F}}_{A{\rightarrow }B}=-G{\frac {M_{A}M_{B}}{AB^{2}}}{\vec {u}}_{AB}$

où G est la constante gravitationnelle, elle vaut dans les unités SI, le CODATA de 2006.

$G\ =\ 6,674\ 28(67)\times 10^{-11}\ {\mbox{m}}^{3}\ {\mbox{kg}}^{-1}\ {\mbox{s}}^{-2}$,

${\vec {u}}_{AB}$ est un vecteur de longueur unité allant de A vers B. Le signe − (moins) dans l'expression de la force signifie que la force est attractive, allant dans le sens opposé au vecteur unitaire ${\vec {u}}_{AB}$.

Énergie potentielle de gravitation

Voici le calcul menant à l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un corps de masse m à une distance R d'un corps de masse M produisant le champ de gravitation :

$\Delta U_{\text{potentielle}}=\int _{\infty }^{R}{\vec {F}}\cdot {\vec {dl}}=\int _{\infty }^{R}{\frac {-GMm}{r^{2}}}dr\cdot {\vec {u_{r}}}\cdot {\vec {u_{r}}}\ =GMm\int _{\infty }^{R}{\frac {-dr}{r^{2}}}=GMm\left[{\frac {1}{r}}\right]_{\infty }^{R}$

D'où :

$U_{\text{potentielle}}=-{\frac {GMm}{R}}$

Cette formule est très apparentée à celle de l'électrostatique, qui est issue de la loi de Coulomb (qui est simplement la loi de gravitation universelle traduite en électricité). Ainsi, tous les calculs de gravimétrie sont transposables en électrostatique et réciproquement, ce qui est une économie de pensée considérable.

Énergie potentielle d'une sphère homogène

Soit un corps sphérique de rayon R et de masse volumique uniforme $\rho$.

On peut démontrer que son énergie potentielle interne $U_{potentielle}$ est égale à :

$U_{\text{potentielle}}=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

Démonstration de la précédente formule

Nous voulons calculer l'énergie potentielle d'une coquille sphérique d'épaisseur dr située à la distance r.

$dU_{\text{potentielle}}=-{\frac {GMdm}{r}}$

Avec $M={\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho ;dm=4\pi r^{2}\rho dr$

On construit la sphère à partir de coquilles sphériques d'épaisseur dr superposées de r=0 jusqu'à r=R.

$dU_{\text{potentielle}}=-{\frac {G{\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho 4\pi r^{2}\rho dr}{r}}$

$U_{\text{potentielle}}=-G{\frac {4}{3}}4\pi ^{2}\rho ^{2}\int _{0}^{R}r^{4}dr=-G{\frac {4}{3}}4\pi ^{2}\rho ^{2}{\frac {R^{5}}{5}}=-G{\frac {3}{5}}\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right)\left({\frac {4}{3}}\pi R^{3}\rho \right){\frac {1}{R}}=-{\frac {3}{5}}{\frac {GM^{2}}{R}}$

Histoire de la découverte de la force de gravitation

Chargé par Tycho Brahe d'étudier le mouvement des planètes, Johannes Kepler écrit ses conclusions dans l'ouvrage « Astronomia nova » où sont indiquées trois lois que vérifie le mouvement des planètes et des astres, ces lois seront par la suite appelées « lois de Kepler ». C'est sur ces bases, à partir de la 3eme lois de Kepler qu'Isaac Newton développa sa théorie sur la gravitation. Isaac Newton en 1684 utilise pour la première fois cette loi dans le De motu (sur le mouvement), mais pour des astres supposés ponctuels. Il découvre que tout en astronomie s'en déduit, et qu'il peut même appliquer sa loi à la pesanteur, unifiant ainsi les deux nouveaux mondes de Galilée^{(Référence nécessaire)} : la mécanique terrestre et la mécanique céleste. Il demandera à Halley un délai pour mettre « tout ce fatras »^{(Référence nécessaire)} au propre : ce qui exigera de sa part un effort colossal. En 1687, paraîtront les Principia, qui est un monument de la pensée humaine : des dizaines de théorèmes y sont démontrés, montrant la voie pour la recherche du XVIII^e siècle. Pour la première fois, est mise pleinement en acte la pensée de Galilée : le grand livre de la Nature peut s'expliquer par les mathématiques. Ainsi peut-on considérer Newton comme le « fondateur de la physique mathématique »^{(Référence nécessaire)}. Tous ses rivaux (Hooke, Huygens , etc.) sont relégués à l'avant Newton, un peu comme après 1905, on parlera de avant/après Einstein. Mais cela n'est évidemment point vrai ; et Newton reprendra à son compte l'aphorisme de Nicole Oresme : « Si j'ai pu voir un peu au-delà, c'est que j'étais porté par des épaules de géants ». Il est clair que la loi en 1/r² est déjà connue de Hooke, Halley^{(Référence nécessaire)}; mais personne ne l'a énoncée ainsi. Newton a surtout été acclamé pour sa démonstration des lois de Kepler , alors que c'est un théorème parmi bien d'autres.

Les Principia sont très difficiles à lire : il fallait pour suivre le cheminement de la pensée de Newton comprendre « l'ultime raison »^{(Référence nécessaire)}, le 0/0 du calcul infinitésimal. Évidemment, en tant qu'inventeur du calcul infinitésimal, Newton possédait une certaine avance sur ses contemporains.

D'autre part, Newton franchit un Rubicon qui provoquera les tollés de l'élite scientifique de l'époque : hypotheses non fingo, je ne feins pas d'hypothèse. Explicitement : je rétablis en physique cette chose « interdite » depuis Aristote : l'action « instantanée à distance ». Les cartésiens refuseront cela, et le temps de réception des travaux de Newton en France et en Allemagne sera très long (presque 30 ans). Newton lui-même a essayé de trouver la cause de cette attraction, en vain.

Vers 1900, on sait qu'il reste à expliquer un résidu dans la précession de la trajectoire de la planète Mercure autour du Soleil. Einstein expliquera ces fameuses 43 secondes d'arc par siècle, en inventant sa théorie de la gravitation appelée relativité générale en 1915. La loi de Newton n'est qu'une approximation (très bonne) de la gravitation relativiste, incapable de s'appliquer aux trous noirs, ni à la déviation de la lumière par la gravitation, ou autres phénomènes observés au XX^e siècle.

On découvrira ainsi qu'il existe trois autres forces fondamentales en physique :

• la force électromagnétique (courants électriques, aimants,...),
• l'interaction faible,
• l'interaction forte (cohésion des noyaux).

ces trois dernières forces fondamentales pouvant être unifiées.