Les suites et séries/Les suites monotones réelles

Pour rappel, les suites monotones regroupent les suites constantes, croissantes et décroissantes.

• Dans le cas où chaque terme de la suite est plus grand que le précédent (pour tout rang $n$, on a : $u_{n+1}>u_{n}$), la suite est dite strictement croissante.
• Dans le cas contraire, on a $u_{n+1}<u_{n}$ pour tout rang $n$ et la suite est dite strictement décroissante.
• Si $u_{n+1}\leq u_{n}$, la suite est dite décroissante.
• Si $u_{n+1}\geq u_{n}$, la suite est dite croissante.

Certaines suites récurrentes sont soit croissantes, soit décroissantes, selon leur premier terme ou la fonction utilisée. Tel est le cas de la suite définie par la relation $u_{n}=u_{n-1}\times 5$ : la fonction est décroissante avec $u_{0}<0$ et croissante avec $u_{0}>0$.

La convergence des suites monotones (qui sont soit croissantes, soit décroissantes) est assez simple à étudier, car il existe des critères de convergence spécifiques à ce type de suites.

Les suites majorées/minorées

Dans le cas le plus simple, il suffit de déterminer si elles sont croissantes ou décroissantes et de vérifier si elles ont un minorant/majorant. On peut se retrouver avec quatre cas bien précis :

	Croissante	Décroissante
Pas de majorant (mais un minorant)	$\infty$	Limite égale à la borne inférieure
Pas de minorant (mais un majorant)	Limite égale à la borne supérieure	$-\infty$

Démonstration

Les propriétés précédentes ne sont que des corolaires du fait que toute suite convergente est bornée. Commençons par le cas d'une suite croissante. Celle-ci est naturellement minorée par son premier terme, qui est le plus petit terme de la suite. Si la suite n'a pas de majorant, elle n'est pas bornée : elle doit donc diverger. Mais si elle a un majorant, alors elle est bornée. Vu son caractère croissant, on sait qu'il existe un rang au-delà duquel la différence avec la borne supérieure sera négligeable. Par définition de la borne supérieure, on a un rang au-delà duquel : $u_{n}-limite_{sup}<\epsilon$. Dit autrement, la suite converge. Le raisonnement pour la suite décroissante est l'exact copier-coller du raisonnement précédent, en changeant borne supérieure par borne inférieure et en intervertissant majorant et minorant.

Les suites adjacentes

La propriété précédente a une conséquence assez intéressante dans le cas de suites dites adjacentes. Les suites adjacentes sont deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n}$ qui respectent les propriétés suivantes :

• $(a_{n})$ est croissante alors que $(b_{n}$ est décroissante ;
• $a_{n}\leq b_{n}$ pour tout rang $n$ ;
• $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$.

Par définition des suites adjacentes, on sait que tout terme de la suite croissante est plus petit que n'importe quel terme de la suite décroissante.

$a_{n}\leq b_{p}$, pour tout n et tout p.

Cela a deux conséquences :

• La suite $(a_{n})$ est majorée : tout terme de $(b_{n})$ est un majorant de la suite.
• La suite $(b_{n})$ est minorée : tout terme de $(a_{n})$ est un minorant de la suite.

Grâce à cela, on peut prouver que deux suites adjacentes ont la même limite.

Démonstration

Prenons deux suites adjacentes : une suite croissante $(a_{n})$ et une suite décroissante $(b_{n})$. Prouvons que les deux suites convergent : $(a_{n})$ est une suite croissante majorée : elle converge donc vers une limite $\lim _{n\to \infty }(a_{n})=L_{1}$ $(b_{n})$ est une suite décroissante minorée : elle converge donc vers une limite $\lim _{n\to \infty }(b_{n})=L_{2}$ Prouvons ensuite que ces deux limites sont les mêmes. Pour cela, partons de la formule : $\lim _{n\to \infty }(b_{n}-a_{n})=0$. On sait, depuis le chapitre sur les opérations sur les limites, que $\lim _{n\to \infty }(a_{n}-b_{n})=\lim _{n\to \infty }(a_{n})-\lim _{n\to \infty }(b_{n})$. En faisant le remplacement, on a : $L_{2}-L_{1}=0$ Donc, les deux limites sont égales : les deux suites convergent vers la même limite.

Exemples : suites suites arithmétiques et géométriques

Les suites arithmétiques et géométriques sont les exemples les plus simples de suites monotones (sauf pour certaines suites géométriques, qui sont alternées). Aussi, nous pouvons démontrer leur convergence avec les théorèmes vus dans ce chapitre.

Les suites arithmétiques non-constantes divergent

Il est intéressant d'étudier la convergence/divergence des suites arithmétiques. On peut éliminer un cas assez simple : celui des suites constantes, qui convergent systématiquement. Pour les suites croissantes et décroissantes, c'est autre chose : elles divergent systématiquement. Pour résumer :

• Si $r=0$, la suite est constante et converge vers $u_{0}$.
• Si $r>0$, la suite diverge vers $+\infty$.
• Si $r<0$, la suite diverge vers $-\infty$.

On peut démontrer la divergence des suites arithmétiques non-constantes de plusieurs manières.

Démonstration

La première méthode utilise ce théorème : Les suites croissantes et sans majorant divergent, de même que les suites décroissantes et sans minorants. Or, les suites arithmétiques croissantes (décroissantes) n'ont pas de majorants (minorants) : elles divergent donc.

Démonstration

Une autre méthode consiste à appliquer la définition de la divergence vers $+\infty$ ou $-\infty$. Une suite diverge vers $+\infty$ si, pour tout nombre $M$, il existe un rang $n$ tel que : $u_{n}>M$. Dans le cas des suites arithmétiques, il suffit de prendre le rang tel que : $u_{n}=u_{0}+r\cdot n>M$ Il suffit pour cela de prendre un rang tel que : $n>{\frac {M-u_{0}}{r}}$ Et un tel rang existe toujours. La démonstration pour les suites décroissantes est similaire, si ce n'est que la définition à appliquer est la suivante : Une suite diverge vers $-\infty$ si, pour tout nombre $M$, il existe un rang $n$ tel que : $u_{n}<M$. Le raisonnement est alors similaire au précédent, avec seulement quelques changements au niveau des calculs.

La convergence/divergence des suites géométriques

Toutes les suites géométriques ne convergent pas, bien que certaine le font. On peut éliminer directement le cas des suites géométriques qui sont alternées, qui ne peuvent pas converger par définition. Les suites géométriques constantes convergent aussi, par définition. Les autres suites convergent ou divergent, selon la valeur de la raison.

• Si $r>1$, la suite est diverge vers $+\infty$ ou $-\infty$ selon le signe du premier terme.
• Si $r=1$, la suite est constante et converge vers $u_{0}$.
• Si $-1<r<1$, la suite converge vers $0$.
• Si $-1\leq r$, la suite est alternée (les termes consécutifs changent de signe) : elle n'a pas de limite.

On peut démontrer la divergence des suites géométriques non-constantes et non-alternées avec les mêmes raisonnements que pour les suites arithmétiques.

Démonstration

La première méthode utilise deux théorèmes, que nous démontrerons dans le chapitre suivant. Pour les suites géométriques croissantes, on utilise ce théorème : Les suites croissantes et sans majorant divergent, de même que les suites décroissantes et sans minorants. Or, les suites géométriques croissantes n'ont pas de majorants : elles divergent donc. Pour les suites géométriques décroissantes, on utilise ce théorème : Les suites croissantes et avec un majorant convergent, de même que les suites décroissantes et avec un minorant. Les suites géométriques décroissantes avec -1 < r < 1 sont minorées par zéro (leurs termes sont tous positifs) : elles convergent donc. Les autres divergent vers moins l'infini.