Les suites et séries/La somme partielle d'une suite arithmético-géométrique

Dans ce chapitre, nous allons voir comment calculer la somme partielle d'une suite géométrique, et d'une suite arithmético-géométrique. Nous allons d'abord voir les suites arithmétiques, avant de passer aux suites géométriques et enfin aux suites arithmético-géométriques. Pour chaque type de suite, nous verrons quelques exemples particuliers qui ont un intérêt intellectuel ou ludique. Par exemple, nous verrons la somme des entiers pairs, de leurs inverses, etc.

Les suites géométriques

|r| < 1, n → ∞ ⇒ S_∞ = a/(1 − r)

Dans la section précédente, nous avons montré que la formule d'une somme partielle arithmétique se déduisait d'un cas particulier : le cas de la somme des n premiers entiers. Toute somme partielle arithmétique a pour résultat une fonction affine de la somme des n premiers entiers : on doit multiplier cette somme par la raison et ajouter le premier terme (multiplié par le rang). Pour les séries géométriques, la situation est similaire, à savoir que toute somme partielle géométrique est un multiple d'un cas particulier. Ce cas particulier correspond au cas où le premier terme vaut 1.

Les suites avec premier terme unitaire

Dans ce qui va suivre, nous allons démontrer le résultat pour les séries géométriques où le premier terme vaut 1, qui sont de la forme :

$S_{n}=1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}r^{i}$

Multiplions l'expression précédente par la raison. On a alors :

$r\times S_{n}=r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n-1}+r^{n}=\sum _{i=0}^{n-1}r^{i+1}$

Soustrayons cette expression à la valeur de la suite initiale :

$S_{n}-r\times S_{n}=1-r^{n}$

Factorisons le terme de gauche :

$S_{n}(1-r)=1-r^{n}$

Isolons le terme $S_{n}$ :

$S_{n}={\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

Le cas général

La somme partielle d'une suite géométrique se calcule, par définition, en additionnant les n premiers termes de la suite (qui vont des rangs 0 à $n-1$) :

$S_{n}=u_{0}+u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}+...+u_{n-1}$

Remplaçons chaque terme par son expression paramétrée $u_{n}=u_{0}\times r^{n}$.

$S_{n}=u_{0}+(u_{0}\times r^{1})+(u_{0}\times r^{2})+(u_{0}\times r^{3})+(u_{0}\times r^{4})+(u_{0}\times r^{5})...++(u_{0}\times r^{n-1})=\sum _{i=0}^{n}u_{0}\cdot r^{n}$

Factorisons $u_{0}$ :

$S_{n}=u_{0}(1+r+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\cdots +r^{n-1}+r^{n})=u_{0}\cdot \sum _{i=0}^{n}r^{n}$

Le second terme n'est autre que le cas particulier étudié dans la section précédente. Il vient alors :

$S_{n}=u_{0}{\frac {1-r^{n}}{1-r}}$

À noter qu'il existe d'autres démonstrations de cette formule. Ceux qui souhaitent en prendre connaissance peuvent consulter celles-ci sur le site proofwiki, en suivant ce lien : Somme d'une progression géométrique.

Un exemple : la somme partielle des puissances de deux

Étudions maintenant un cas particulier assez intéressant pour les informaticiens : la somme des n premières puissances de deux. Toute personne qui s'y connaît suffisamment en numération binaire voit où je veux en venir avec cet exemple. Par définition, la suite des puissances de deux est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 1. La formule plus haut nous dit alors que la somme des n premières puissances de deux vaut :

$S_{n}={\frac {1-2^{n}}{1-2}}={\frac {1-2^{n}}{-1}}=-(1-2^{n})=2^{n}-1$

On voit donc que la somme des n premières puissances de deux est égale à la puissance de deux immédiatement supérieure, retranchée de 1 :

$\sum _{i=0}^{n-1}2^{i}=2^{n}-1$

Il s'agit d'une propriété absolument essentielle de la numération binaire, qui est très utile pour simplifier certains calculs en binaire ou faire quelques démonstrations importantes.

Un second exemple : la somme partielle des inverses des puissances de deux

Maintenant, nous allons voir un second exemple : la somme partielle des inverses de $2^{n}$, définie par :

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}$

Il s'agit d'une suite géométrique de raison $1 \over 2$ et de premier terme égal à $1 \over 2$. La formule donne donc :

$S_{n}={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\frac {1}{2}}^{n}}{1-{\frac {1}{2}}}}={\frac {1}{2}}{\frac {1-{\frac {1}{2^{n}}}}{\frac {1}{2}}}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$

On peut prouver cette équation d'une autre manière, donnée dans la démonstration suivante.

Démonstration

Repartons de l'équation : $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}+{\frac {1}{2^{n}}}$ Mettons tout au même dénominateur : $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {2^{n-1}}{2^{n}}}+{\frac {2^{n-2}}{2^{n}}}+{\frac {2^{n-3}}{2^{n}}}+\cdots +{\frac {2^{1}}{2^{n}}}+{\frac {1}{2^{n}}}={\frac {2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +2^{1}+1}{2^{n}}}$ Or, on a vu juste dans la précédente section que : $2^{n-1}+2^{n-2}+2^{n-3}+\cdots +2^{1}+1=2^{n}-1$. En faisant le remplacement, on a : $\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{2^{i}}}={\frac {2^{n}-1}{2^{n}}}=1-{\frac {1}{2^{n}}}$

Les suites arithmético-géométriques

La somme partielle d'une suite arithmético-géométrique est assez simple à calculer quand on sait comment calculer une somme partielle arithmétique et une somme partielle géométrique. Reprenons la formule pour le calcul du terme d'une suite arithmético-géométrique :

$u_{n}=a^{n}\left(u_{0}-t\right)+t$ avec $t={\frac {b}{1-a}}$

Faisons la somme des n premiers termes :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(a^{n}\left(u_{0}-t\right)+t\right)$

On applique la formule $\sum _{i=0}^{n}(u_{n}+v_{n})=\left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)+\left(\sum _{i=0}^{n}v_{n}\right)$ :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}\left(a^{n}\left(u_{0}-t\right)\right)+\sum _{i=0}^{n-1}t$

Par définition, le terme de droite $\sum _{i=0}^{n-1}t$ est égal à $n\cdot t$ :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\sum _{i=0}^{n-1}\cdot \left(a^{n}\left(u_{0}-t\right)\right)+n\cdot t$

Puis, on applique la formule $\sum _{i=0}^{n}(k\cdot u_{n})=k\cdot \left(\sum _{i=0}^{n}u_{n}\right)$ :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\left(u_{0}-t\right)\cdot \sum _{i=0}^{n-1}\left(a^{n}\right)+n\cdot t$

En faisant le remplacement avec $t={\frac {b}{1-a}}$, on trouve :

$\sum _{i=0}^{n-1}u_{n}=\left(u_{0}-{\frac {b}{1-a}}\right){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+n{\frac {b}{1-a}}$