La politique monétaire/La demande de monnaie : modèle Money in utility

Le modèle Money in utility, qui sera abrévié MIU, est un modèle dit d'équilibre général (il prend en compte un grand nombre de marchés et leurs interactions), qui part du comportement d'un agent qui maximise sa fonction d'utilité. Ce modèle part du principe que la détention de monnaie est source d'utilité, tout comme la consommation. Il s'agit là d'un raccourci assez grotesque : personne ne détient de la monnaie pour elle-même. Les agents détiennent de la monnaie pour divers motifs de transaction ou de précaution, c'est à dire pour ce qu'ils peuvent obtenir en échangeant leur monnaie. Néanmoins, on peut utiliser l'hypothèse que la monnaie elle-même donne de l'utilité à l'agent, pour simplifier les calculs. Cependant, divers modèles plus complets, comme les modèles OLG ou cash-in advance, permettent de dériver l'équation de base du modèle MIU.

Les hypothèses

Le modèle Money In Utility peut être vu comme une extension du modèle des deux chapitres précédents. On y retrouve les mêmes hypothèses globales, à savoir un agent qui maximise son utilité, mais qui est soumis à une contrainte de budget. La différence est que la fonction d'utilité ne tient plus compte que de la consommation, mais aussi de la quantité de monnaie à disposition. De plus, la contrainte de budget est plus compliquée, car elle doit aussi prendre en compte la monnaie, les obligations et le capital.

La fonction d'utilité

La fonction maximisée est la suivante, avec $\beta$ le taux de préférence pour le présent. Ce dernier , pour rappel, vient du fait que l'utilité de quelque chose maintenant est toujours supérieur à l'utilité de la même chose dans le futur.

$U=\sum \beta ^{t}\times U\left(C,{\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)$

On ne peut résoudre le modèle sans avoir une expression plus ou moins exacte de la fonction d'utilité. Dans la littérature, de nombreuses fonctions d'utilité existent : l'utilité CES, isoélastique, quasi-linéaire, exponentielle, etc. Nous n'allons par en choisir une pour le moment, mais allons garder une expression assez générale pour la fonction d'utilité. Ce n'est qu'à la fin du chapitre que nous choisirons une fonction d'utilité pour dériver quelques résultats assez précis. Mais même avec une expression générale, résoudre le modèle demande de faire quelques hypothèses sur la fonction d'utilité, qui doit être connue si on veut faire les calculs avec.

Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que l'utilité est la somme de deux utilités séparées : l'utilité de la monnaie d'un côté, l'utilité de la consommation de l'autre. De telles fonctions, dites linéaires séparables, sont courantes en économie et permettent de simplifier les calculs. Dans le cas des modèles MIU, de telles fonctions linéairement séparables induisent le respect de la neutralité de la monnaie. Grâce à elles, la quantité de monnaie n'intervient pas dans la fonction d'utilité et seuls les taux d'intérêt ont une importance pour la politique monétaire. Les modèles Wickseliens peuvent être dérivés avec une fonction d'utilité de ce genre, mais pas les modèles monétaristes. À l'inverse, les fonctions non-linéairement séparables permettent à la politique monétaire d'avoir un effet sur les variables réelles. Mais laissons cela à plus tard. Voici à quoi ressemble la fonction d'utilité séparable :

$U\left(C,{\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)=U\left(C_{t}\right)+U\left({\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)$

La contrainte de budget

Voyons d'abord la contrainte. Nous allons supposer que l'argent (en termes réels) à disposition d'un agent à un instant t est la somme de :

• son revenu réel $Y$ ;
• ses encaisses monétaires réelles ${\frac {M}{P}}$ ;
• des encaisses réelles d'obligations $B \over P$, qui sont les seuls actifs du modèle (du moins, de la version simplifiée que nous allons étudier).

La contrainte de budget est la suivante :

$R_{t}=Y_{t}+{\frac {M_{t-1}}{P_{t}}}+{\frac {(1+i)B_{t-1}}{P_{t}}}$

On utilise alors la formule $P_{t}=(1+\pi )P_{t-1}$ :

$Rt=Y_{t}+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}$

L'équation précédente nous donne les dépenses. On peut aussi regarder les dépenses et investissements que peut réaliser l'agent. Durant cette période, cet argent peut être consommé, gardé sous la forme d'obligations, de capital ou d'encaisses monétaires. On a alors l'ensemble des dépenses et investissements :

$D_{t}=C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}$

Il va de soit que les deux sont égaux, ce qui donne :

$Y_{t}+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}=C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}$

On peut reformuler le tout en disant que :

$\left[Y_{t}+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}\right]-\left[C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}\right]=0$

Voici la contrainte budgétaire telle que nous l'utiliserons plus loin.

La résolution du modèle

Dans ce qui va suivre, nous allons utiliser une méthode appelée méthode des multiplicateurs de Lagrange. Celle-ci permet de maximiser ou minimiser une fonction sous une contrainte. Ici, la fonction à maximiser est évidemment la fonction d'utilité, la contrainte étant que consommation et encaisses monétaires sont limitées par W. Celle-ci commence par définir un lagrangien, une fonction similaire à la fonction à maximiser. Ce lagrangien vaut, pour une fonction $U$ et une contrainte $G=0$ : $L=U(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)+\lambda G(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4},...)$ Le paramètre $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange. Celui-ci est égal à la dérivée de l'utilité quand on augmente d'une unité la contrainte. Les conditions qui maximisent la fonction U sous la contrainte G sont les suivantes : ${\frac {dL}{dx_{1}}}={\frac {dU}{dx_{1}}}+\lambda {\frac {dG}{dx_{1}}}=F_{1}+\lambda G_{1}=0$ ${\frac {dL}{dx_{2}}}={\frac {dU}{dx_{2}}}+\lambda {\frac {dG}{dx_{2}}}=F_{1}+\lambda G_{2}=0$ ${\frac {dL}{dx_{3}}}={\frac {dU}{dx_{3}}}+\lambda {\frac {dG}{dx_{3}}}=F_{1}+\lambda G_{3}=0$ ${\frac {dL}{dx_{4}}}={\frac {dU}{dx_{4}}}+\lambda {\frac {dG}{dx_{4}}}=F_{1}+\lambda G_{4}=0$ ...

Le lagrangien

Utilisons la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Le lagrangien est le suivant.

$L=U+\lambda \left[R_{t}-D_{t}\right]=\sum \beta ^{t}\times U\left(C,{\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)+\lambda \left[R_{t}-D_{t}\right]$

On peut éliminer la somme, ce qui donne :

$L=\beta ^{t}\times U\left(C,{\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)+\lambda \left[R_{t}-D_{t}\right]$

Une fois développé, le lagrangien devrait donc être le suivant :

$L=\beta ^{t}U(C,M,P)+\lambda \left[Y_{t}+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}\right]-\left[C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}\right]$

Cependant, il faut noter que, d'après la méthode des multiplicateur de Lagrange, les termes avec l'indice t reçoivent un multiplicateur $\lambda _{t}$, alors que ceux d'indice t-1 ont un multiplicateur de $\lambda _{t-1}$. Le lagrangien devient alors :

$L=\beta ^{t}U(C,M,P)+\lambda _{t-1}\left[Y_{t}+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}\right]-\lambda _{t}\left[C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}\right]$

Le calcul des conditions de premier ordre

Les conditions de premier ordre vont nous demander de calculer beaucoup de dérivés, aussi nous allons les calculer avant de voir les conditions de premier ordre proprement dites, histoire de simplifier la compréhension des calculs.

Commençons par la fonction de dépenses $D_{t}=C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}$. On voit qu'on peut calculer les dérivées en fonction de la consommation, du capital, des encaisses monétaire et obligataires. Les calculs sont triviaux et donnent :

${\frac {dD_{t}}{dC}}=1$, ${\frac {dD_{t}}{dM}}={\frac {1}{P_{t}}}$ et ${\frac {dD_{t}}{dB}}={\frac {1}{P_{t}}}$.

Reste alors à calculer la dérivée des revenus par rapport aux quatre variables. On rappelle que la fonction de revenus est la suivante : $R_{t}=Y_{t}+{\frac {M_{t-1}}{P_{t}}}+{\frac {(1+i)B_{t-1}}{P_{t}}}$. L'absence de la consommation dans cette fonction nous dit que la dérivée correspondante sera nulle. On peut cependant dériver la fonction par rapport aux encaisses monétaires et obligataires. Pour le cas des encaisses, il faut penser à mettre les prix à la bonne période, à savoir utiliser l'équation $P_{t+1}=(1+\pi )P_{t}$. On a alors :

${\frac {dR_{t}}{dC}}=0$, ${\frac {dR_{t}}{dM}}={\frac {1}{1+\pi }}{\frac {1}{P_{t}}}$, ${\frac {dR_{t}}{dB}}=(1+r){\frac {1}{P_{t}}}$

Enfin, la méthode va nous demander de calculer la dérivée de l'utilité en fonction de la consommation, des encaisses monétaires et ainsi de suite. Vu que seule la consommation et les encaisses monétaires influencent la fonction d'utilité, on aura seulement deux dérivées non-nulles :

${\frac {dU}{dC}}>0$, ${\frac {dU}{dM}}>0$, ${\frac {dU}{dB}}=0$

Avec les équations précédentes, on peut calculer la condition de premier ordre pour les obligations.

${\frac {dU}{dB}}+\lambda \left({\frac {dR}{dB}}-{\frac {dD}{dB}}\right)=0$

$\lambda _{t}{\frac {1}{P_{t}}}-\lambda _{t-1}(1+r){\frac {1}{P_{t}}}=0$

$\lambda _{t}-\lambda _{t-1}(1+r)=0$

$\lambda _{t}=\lambda _{t-1}(1+r)$

On peut faire la même chose avec la consommation :

${\frac {dU}{dC}}+\lambda _{t}{\frac {dR_{t}}{dC}}-\lambda _{t}{\frac {dD_{t}}{dC}}=0$

${\frac {dU}{dC}}-\lambda _{t}=0$

${\frac {dU}{dC}}=\lambda _{t}$

On peut alors appliquer la formule $U=\beta ^{t}U(C,M)$, ce qui donne :

$\beta ^{t}{\frac {dU(C,M)}{dC}}=\lambda _{t}$

Les équations générales du modèle

À partir des conditions de premier ordre précédentes, on peut dériver plusieurs équations. On peut notamment déterminer le taux réel, retrouver l'équation d'Euler de la consommation, et déterminer le coût d'opportunité de la monnaie. Les équations qui vont suivre sont valables peut importe la fonction d'utilité choisie. Les équations que nous allons voir sont donc valables pour tous les modèles MIU, qui ne sont qu'une classe de modèles différents, mais qui partagent la même substance.

L'équation d'Euler de la consommation

On peut retrouver l'équation d'Euler de la consommation à partir de l'équation suivante :

$\lambda _{t}=\lambda _{t-1}\times (1+r)$

On y injecte l'équation $\beta ^{t}{\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}=\lambda _{t}$ :

$\beta ^{t}{\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}=\beta ^{t-1}{\frac {dU(C_{t-1},M_{t-1})}{dC}}\times (1+r)$

En simplifiant par $\beta ^{t}$, on a :

${\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}={\frac {dU(C_{t-1},M_{t-1})}{dC}}\times {\frac {1+r}{\beta }}$

De simples manipulations algébriques donnent :

${\frac {dU(C_{t-1},M_{t-1})}{dC}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}\times {\frac {\beta }{1+r}}$

La dernière équation n'est autre que l'équation d'Euler de la consommation.

On peut noter que si l'on arrive à dériver l'équation d'Euler, on peut en théorie dériver l'équation de la courbe IS si l'on utilise la fonction d'utilité adéquate. Ce que nous ferons plus bas, dans les sections suivantes.

Le cout d'opportunité de la monnaie

Passons maintenant à la condition de premier ordre pour la monnaie.

${\frac {dU}{dM}}+\lambda \left({\frac {dR}{dM}}-{\frac {dD}{dM}}\right)=0$

${\frac {dU}{dM}}=\lambda \left({\frac {dR}{dM}}-{\frac {dD}{dM}}\right)$

${\frac {dU}{dM}}=\lambda _{t}-{\frac {\lambda _{t-1}}{1+\pi }}$

On applique la condition de premier ordre de la consommation :

${\frac {dU}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}\beta ^{t}-{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {dU(C_{t-1},M_{t-1})}{dC}}\beta ^{t-1}$

On utilise alors la formule ${\frac {dU}{dM}}=\beta ^{t}{\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dM}}$ :

$\beta ^{t}{\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}\beta ^{t}-{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {dU(C_{t-1},M_{t-1})}{dC}}\beta ^{t-1}$

On simplifie par $\beta ^{t}$ :

${\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}-{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {dU(C_{t-1},M_{t-1})}{dC}}{\frac {1}{\beta }}$

On applique l'équation d'Euler de la consommation :

${\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}-{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}\times {\frac {\beta }{1+r}}{\frac {1}{\beta }}$

${\frac {dU}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}-{\frac {1}{1+i}}{\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}$

${\frac {dU}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}\left(1-{\frac {1}{1+i}}\right)$

${\frac {dU}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}{\frac {i}{1+i}}$

La résolution du modèle MIU

Pour réellement résoudre le modèle Money in utility, il faut introduire une fonction d'utilité dans les équations de la section précédente et faire diverses manipulations algébriques. Nous allons d'abord étudier le cas avec une utilité logarithmique, puis avec une utilité de type CRRA (Constant Relative Risk Aversion). Rappelons que l'utilité logarithmique est un cas particulier de fonction d'utilité CRRA. Dans cette section, nous verrons notamment que l'on peut retrouver un ersatz de modèle IS/LM à partir de ces résultats.

Le cas d'une utilité logarithmique

Dans ce qui va suivre, nous allons supposer que la fonction U est un banal logarithme. Il s'agit en effet d'une fonction d'utilité souvent utilisée pour faire les calculs en microéconomie, du moins dans les manuels d'introduction. Cette fonction a quelques propriétés mathématiques qui la rende intéressante pour une fonction d'utilité. On a alors :

$U\left(C,{\frac {M}{P}}\right)=\ln {C_{t}}+\ln {\frac {M_{t}}{P_{t}}}=\ln {C_{t}}+\ln {M_{t}}-\ln {P_{t}}$

Pour résoudre le modèle, on a besoin des dérivées ${\frac {dU}{dC}}$ et ${\frac {dU}{dM}}$. Dans le cas d'une utilité logarithmique, les dérivées en question sont les suivantes.

${\frac {dU}{dC}}=\beta ^{t}{\frac {1}{C_{t}}}$ et ${\frac {dU}{dM}}=\beta ^{t}{\frac {P_{t}}{M_{t}}}$

Les résultats du modèle

Si on introduit ces dérivées dans l'équation d'Euler, on se retrouve avec un cas particulier de courbe IS de type New Keynesian, telle que dérivée il y a quelques chapitres.

Maintenant, introduisons ces dérivées dans l'équation ${\frac {dU}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}{\frac {i}{1+i}}$.

$\beta ^{t}{\frac {P_{t}}{M_{t}}}=\beta ^{t}{\frac {1}{C_{t}}}{\frac {i}{1+i}}$

On simplifie par $\beta ^{t}$.

${\frac {P_{t}}{M_{t}}}={\frac {1}{C_{t}}}{\frac {i}{1+i}}$

On prend l'inverse de l'équation précédente.

${\frac {M_{t}}{P_{t}}}=C_{t}{\frac {1+i}{i}}$

Si on part du principe que $C=Y$, on a :

${\frac {M_{t}}{P_{t}}}=Y{\frac {1+i}{i}}$

On voit que la demande de monnaie est proportionnelle à la consommation et qu'elle dépend du taux nominal. La vélocité de la monnaie est alors :

$V={\frac {i}{1+i}}$

L'inflation optimale avec une utilité logarithmique

Ce modèle MIU nous permet de calculer l'inflation optimale. Pour cela, partons du principe que la banque centrale cherche à maximiser la fonction d'utilité, sous contrainte que $C=Y$. La valeur qui maximise cette fonction se calcule avec la méthode de Lagrange, ce qui donne :

$L=U+\lambda (Y-C)$

Les conditions de premier ordre obtenues sont donc :

${\frac {dU}{dC}}-\lambda C=0$ et ${\frac {dU}{dM}}={\frac {1}{M}}=0$

Il nous reste alors à déterminer comment faire en sorte d'annuler le terme ${\frac {1}{M}}$. Intuitivement, cela demande une création monétaire forte, pas forcément infinie, mais suffisante. Pour cela, partons de l'équation de demande de monnaie :

$M=PC{\frac {1+i}{i}}$

On a :

${\frac {1}{M}}={\frac {i}{PC(1+i)}}$

On voit que le terme peut s'annuler si $i=0$. Le taux d'intérêt optimal est donc nul. En clair, le taux d'inflation optimal est l'opposé du taux réel : $\pi =-r$. Une telle politique demande donc une certaine forme de déflation, où le taux de déflation est égal au taux réel. Dans ce cas, la monnaie devient un actif rémunéré, du fait de la déflation, au taux égal à $r$. Ce résultat intriguant n'est autre que la règle de Friedmann vue au début du cours.

La résolution avec une utilité de type CRRA

Dans cette section, nous allons voir le cas général, avec une utilité de type CRRA. Rappelons que l'utilité de type CRRA est la suivante :

$U(X)={\frac {X^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$

On suppose, comme pour l'utilité logarithmique, que l'utilité est séparable : l'utilité totale est la somme de l'utilité de la consommation et de la monnaie. On a alors :

$U\left(C,{\frac {M}{P}}\right)={\frac {C_{t}^{1-\alpha }}{1-\alpha }}+{\frac {(M_{t}/P_{t})^{1-\alpha }}{1-\alpha }}$

Les dérivées ${\frac {dU}{dC}}$ et ${\frac {dU}{dM}}$ sont les suivantes.

${\frac {dU}{dC}}=C_{t}^{-\alpha }$ et ${\frac {dU}{dM}}=\left({\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)^{-\alpha }$

Il ne nous reste plus qu'à introduire ces dérivées dans l'équation d'Euler et l'équation du coût d'opportunité de la monnaie, pour résoudre le modèle. Pour l'équation d'Euler, les développements sont identiques à ceux du chapitre sur le canal de substitution intertemporel, dans la section sur la résolution de l'équation d'Euler avec une utilité de type CRRA. Inutile donc de les refaire ici. On peut se borner à dire que les développements permettent de retrouver l'équation de la courbe IS, et plus précisément de la courbe IS New Keynesian. Pour l'autre équation, les développements permettent de retrouver une équation de la courbe de demande de monnaie. Pour cela, reprenons l'équation du coût d'opportunité de la monnaie :

${\frac {dU}{dM}}={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}{\frac {i}{1+i}}$

Introduisons la dérivée ${\frac {dU}{dM}}=(M_{t}/P_{t})^{-\alpha }$ :

$\left({\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)^{-\alpha }={\frac {dU(C_{t},M_{t})}{dC}}{\frac {i}{1+i}}$

Introduisons maintenant la dérivée : ${\frac {dU}{dC}}=C_{t}^{-\alpha }$ :

$\left({\frac {M_{t}}{P_{t}}}\right)^{-\alpha }=C_{t}^{-\alpha }{\frac {i}{1+i}}$

Élevons le tout à la puissance $-{\frac {1}{\alpha }}$ :

${\frac {M_{t}}{P_{t}}}=C_{t}\cdot \left({\frac {i}{1+i}}^{-{\frac {1}{\alpha }}}\right)$

L'équation précédent donne la demande de monnaie en fonction de la consommation et du taux d'intérêt. En faisant la confusion entre PIB et consommation, on peut écrire :

${\frac {M}{P}}=Y\cdot \left({\frac {i}{1+i}}^{-{\frac {1}{\alpha }}}\right)$

Et cette équation n'est autre qu'une équation de demande de monnaie en bonne et due forme. Si on couple cette équation avec l'équation de la courbe IS New Keynesian et la relation de Fisher $i+\pi +r$, on retrouve une sorte de modèle IS/LM un peu particulier. Le modèle Money In Utility simple permet donc de micro-fonder le modèle IS/LM, dans une certaine mesure.

Au passage, l'équation précédente permet de déterminer la vélocité de la monnaie, qui vaut alors :

$V=\left({\frac {i}{1+i}}\right)^{-{\frac {1}{\alpha }}}$

L'introduction du capital dans le modèle MIU

Dans les développements précédents, nous sommes partis du principe que les seuls actifs étaient les obligations. Mais on peut aussi ajouter la présence de capital dans le modèle. Plus précisément, on peut l'ajouter dans la contrainte de budget, afin d'affiner le modèle. En prenant en compte l'influence réciproque du revenu et du capital, le modèle MIU se voit ajouter une équation, qui ajoute la croissance économique dans le modèle. Mais les résultats du modèle ne sont pas drastiquement modifiés : l'équation rajoutée ne fait que déterminer le taux réel en fonction du capital, de la croissance et de quelques autres paramètres.

Pour commencer, il nous faut éclaircir les relations entre revenu et capital. La relation entre ces deux variables nous vient du modèle de Solow, un modèle de croissance que nous n'allons pas détailler ici. Tout ce que nous allons dire est que le revenu Y est une fonction croissante du capital. Ceux qui veulent en savoir plus peuvent lire l'encart ci-dessous, mais c'est loin d'être nécessaire pour comprendre la suite.

Les théories de la croissance postulent que le PIB Y dépend non seulement de la force de travail, mais aussi du capital présent dans l'économie. Il peut ainsi se modéliser sous la forme d'une fonction de la forme : $Y=f(L,K)$ Il est raisonnable de supposer des rendements décroissants : une augmentation de K ou L se traduit par une augmentation moindre de la production. Par exemple, si on triple le travail sans tripler le capital, la production n'est pas triplée, mais augmente de moins de trois fois. Cette propriété est relativement crédible : si on double le nombre d'employés sans doubler le nombre de machine, l'entreprise ne pourra pas produire deux fois plus. Par contre, doubler le nombre de machines et d'ouvrier permettra certainement de produire deux fois plus : si on multiplie la force de travail et le capital par deux, la production est doublée. De manière générale, augmenter les deux facteurs dans les mêmes proportions augmentera la production d'autant. On parle alors de rendements d'échelle constants. $Y\times k=f(L\times k,K\times k)$ Pour obtenir le PIB par personne, il suffit de diviser la fonction par L. Vu la présence de rendements d'échelle constants, on a donc : ${\frac {Y}{L}}=f\left({\frac {L}{L}},{\frac {K}{L}}\right)=f\left(1,{\frac {K}{L}}\right)=f\left({\frac {K}{L}}\right)$ Le terme ${\frac {K}{L}}$ est le capital par habitant, aussi appelé intensité capitalistique. Il ne faut cependant pas oublier que les rendements du capital, et donc de l'intensité capitalistique, sont décroissants : on peut doubler le capital, cela ne doublera pas le PIB.

Le lagrangien

Pour commencer, nous allons établir le nouveau lagrangien du modèle. Dans ce qui suit, on postule que le capital a tendance à se déprécier avec le temps, à un taux de $1-\delta$ par période. La contrainte de budget devient alors :

$Y_{t}+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1-\delta )K_{t-1}=C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}+K_{t}$

On utilise alors la relation $Y_{t}=f(K_{t-1})$ :

$f(K_{t-1})+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1-\delta )K_{t-1}=C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}+K_{t}$

On peut reformuler le tout comme suit :

$\left[f(K_{t-1})+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1-\delta )K_{t-1}\right]-\left[C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}+K_{t}\right]=0$

Une fois développé, le lagrangien devrait donc être le suivant :

$L=\beta ^{t}U(C,M,P)+\lambda _{t-1}\left[f(K_{t-1})+{\frac {1}{1+\pi }}{\frac {M_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1+r){\frac {B_{t-1}}{P_{t-1}}}+(1-\delta )K_{t-1}\right]-\lambda _{t}\left[C_{t}+{\frac {M_{t}}{P_{t}}}+{\frac {B_{t}}{P_{t}}}+K_{t}\right]$

La détermination du taux réel dans le modèle

Les dérivées vues dans la section précédente ne sont pas modifiées par l'introduction du capital. Par contre, une nouvelle dérivée fait son apparition : la dérivée du lagrangien par rapport au capital. Avec celle-ci, on obtient la condition de premier ordre pour le capital.

${\frac {dU}{dK}}+\lambda \left({\frac {dR}{dK}}-{\frac {dD}{dK}}\right)=0$

Cette équation peut se réécrire comme suit :

$\lambda _{t}-\lambda _{t-1}\left[{\frac {df(K)}{dK}}+(1-\delta )\right]=0$

Ce qui donne, après quelques manipulations basiques :

$\lambda _{t}=\lambda _{t-1}\left[{\frac {df(K)}{dK}}+(1-\delta )\right]$

On utilise alors la relation $\lambda _{t}=\lambda _{t-1}\times (1+r)$ :

$1+r={\frac {df(K)}{dK}}+(1-\delta )$

Ce qui donne :

$r={\frac {df(K)}{dK}}-\delta$

On voit que les facteurs monétaires ne jouent aucun rôle dans la détermination du taux réel, qui est donc un taux naturel. Le modèle nous donne donc une valeur pour le taux naturel, qui dépend des ressources en capital. On peut remarquer que le taux d'intérêt réel est égal au rendement réel du capital, son taux de profit marginal. Il s'agit d'une interprétation assez ancienne, qui date d'avant l'émergence de la macroéconomie Keynésienne, qui est respectée dans ce modèle.