Le fait que
soit un invariant intégral est une condition nécessaire des équations du mouvement. On va montrer que c'est aussi une condition suffisante, qui remplace le
principe de Hamilton.
Partant d'équations différentielles quelconques
,
où les dénominateurs sont des fonctions de
Soit
l'intégrale sur une courbe
donnée et
l'intégrale sur une
courbe voisine portée par le même tube de trajectoires. On a

On calcule
et idem pour les trois autres termes, donc

ou

Ce terme doit être nul pour tout déplacement du contour
On en tire les équations du mouvement
ou 
ou 
idem
et