Pour un point matériel de masse
dans un potentiel
,
l'action élémentaire sur un intervalle de temps
est définie par
![{\displaystyle dS=\left(T-V\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def77739b974a11570c60035339557e9414db659)
différence de l'énergie cinétique
et de l'énergie potentielle
fois l'intervalle de temps.
Soient
les coordonnées orthonormales du point,
les composantes de sa vitesse. L'action
entre les instants
et
est l'intégrale
![{\displaystyle S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V(x,y,z)\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ceaca06c16fa9729432b9af9f7c6dde11e48c49a)
L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel
entre les instants
et
, mais aussi sur une trajectoire
infiniment voisine
.
On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :
![{\displaystyle 0=\delta x(t_{0})=\delta y(t_{0})=\delta z(t_{0})=\delta x(t_{1})=\delta y(t_{1})=\delta z(t_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eee55b5afac952391a08bfc7616399b188faf12)
La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut
![{\displaystyle \delta S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m\left({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial V}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial V}{\partial z}}\delta z\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fb847e3af3388c36c16614f4e6d7b627e379f0)
Au mème instant, et pendant un intervalle de temps
, on a une coordonnée qui passe de
à
sur une trajectoire
et de
à
sur l'autre. On a donc
,
ce qui nous permet d'intégrer
![{\displaystyle \int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dot {x}}\delta {\dot {x}}dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dot {x}}d\left(\delta x\right)={\dot {x}}\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\ddot {x}}\delta xdt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7667d077d1993c7cc475aec6b59c013aed83f5a2)
Comme
est supposé nul en
et
, il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :
![{\displaystyle \delta S=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\left(m{\ddot {x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)\delta x+\left(m{\ddot {y}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)\delta y+\left(m{\ddot {z}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)\delta z\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9d74d5303b949a0eb192a94ac4805f59c48cb45)
Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire
sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que
est nul, et que l'on a les équations de la dynamique
![{\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f982d03f9ef5ad23999e8a06ba61fd3f281fbd0c)
![{\displaystyle m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58cae45fdf5012f165710b3ea1ac763360488b13)
![{\displaystyle m{\ddot {z}}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c6b173e09f72c77b2d9063cfd35fc6eda7a6fb8)