Invariants intégraux/Cartan1922/001

Pour un point matériel de masse $m$ dans un potentiel $V$, l'action élémentaire sur un intervalle de temps $dt$ est définie par

$dS=\left(T-V\right)dt$

différence de l'énergie cinétique $T$ et de l'énergie potentielle $V$ fois l'intervalle de temps.

Soient $x,y,z$ les coordonnées orthonormales du point, ${\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}}$ les composantes de sa vitesse. L'action entre les instants $t_{0}$ et $t_{1}$ est l'intégrale

$S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}\right)-V(x,y,z)\right)dt$

L'action peut être calculée sur la trajectoire réellement suivie par le point matériel entre les instants $t_{0}$ et $t_{1}$, mais aussi sur une trajectoire infiniment voisine $x(t)+\delta x(t),y(t)+\delta y(t),z(t)+\delta z(t)$. On suppose dans cette section que les points de départ et les points d'arrivée restent inchanchés :

$0=\delta x(t_{0})=\delta y(t_{0})=\delta z(t_{0})=\delta x(t_{1})=\delta y(t_{1})=\delta z(t_{1})$

La variation de l'action entre ces deux trajectoires vaut

$\delta S=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(m\left({\dot {x}}\delta {\dot {x}}+{\dot {y}}\delta {\dot {y}}+{\dot {z}}\delta {\dot {z}}\right)-{\frac {\partial V}{\partial x}}\delta x+{\frac {\partial V}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial V}{\partial z}}\delta z\right)dt$

Au mème instant, et pendant un intervalle de temps $dt$, on a une coordonnée qui passe de $x$ à $x+{\dot {x}}dt$ sur une trajectoire et de $x+\delta x$ à $x+\delta x+{\dot {x}}dt+{\frac {d\left(\delta x\right)}{dt}}dt$ sur l'autre. On a donc $\delta {\dot {x}}={\frac {d\left(\delta x\right)}{dt}}$, ce qui nous permet d'intégrer

$\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dot {x}}\delta {\dot {x}}dt=\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\dot {x}}d\left(\delta x\right)={\dot {x}}\delta x|_{t_{0}}^{t_{1}}-\int _{t_{0}}^{t_{1}}{\ddot {x}}\delta xdt$

Comme $\delta x$ est supposé nul en $t_{0}$ et $t_{1}$, il ne reste que le second terme, que l'on peut introduire dans le calcul de la variation de l'action :

$\delta S=-\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left(\left(m{\ddot {x}}+{\frac {\partial V}{\partial x}}\right)\delta x+\left(m{\ddot {y}}+{\frac {\partial V}{\partial y}}\right)\delta y+\left(m{\ddot {z}}+{\frac {\partial V}{\partial z}}\right)\delta z\right)dt$

Il est équivalent d'écrire que l'action est extrémale pour une variation quelconque de la trajectoire sauf aux extrémités (principe de la "moindre" action de Hamilton), que $\delta S$ est nul, et que l'on a les équations de la dynamique

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}$

$m{\ddot {y}}=-{\frac {\partial V}{\partial y}}$

$m{\ddot {z}}=-{\frac {\partial V}{\partial z}}$