Fondements de la dynamique

Qu'est-ce que la dynamique ?

dunamis et energeia sont des termes employés par Aristote, qu'on traduit en général par puissance et actualité. dunamis est aussi traduit par potentiel. energeia est associé à ergon, l'acte, ou le travail.

Potentiel et actualité sont inséparables. Tout ce qui est actuel est l'actualisation d'un potentiel. Inversement, s'il n'y avait pas l'actualité, il n'y aurait pas de potentiel, puisque le potentiel est toujours le potentiel de faire quelque chose.

La dynamique est la science du potentiel et de son actualisation.

Exister, c'est toujours danser. L'actualisation d'un potentiel est toujours un mouvement. La dynamique est donc la science du mouvement et de ses causes.

Ce que les physiciens modernes appellent énergie potentielle ressemble à ce qu'Aristote appelait la dunamis.

La puissance, selon la physique moderne, est étroitement associée à l'énergie potentielle, parce qu'elle la quantité d'énergie qui peut être fournie par unité de temps.

L'énergie cinétique est une énergie des masses en mouvement. Elle ressemble à l'energeia d'Aristote.

Les forces sont les causes des variations du mouvement des masses. Elles ressemblent aux causes motrices d'Aristote.

La dynamique, au sens moderne, est en même temps la science du mouvement des masses, la science de l'énergie, ou de la puissance, sous toutes ses formes, et la science des forces.

L'énergie cinétique est plus actuelle que l'énergie potentielle parce qu'elle est plus visible, plus manifeste. Mais on peut dire aussi de l'énergie potentielle qu'elle est actuelle. Parce qu'être actuel, ou être tout court, exister, c'est toujours pouvoir faire de l'effet sur d'autres êtres. Un être qui ne peut pas faire d'effet sur d'autres êtres ne peut pas exister physiquement. L'être actuel d'un être est donc défini par ce qu'il peut faire, par son potentiel. Il est ce qu'il peut faire. C'est son être, même s'il ne l'a pas encore fait, et même s'il ne le fera jamais.

Être actuel, c'est avoir du potentiel. Le potentiel est toujours le potentiel de faire de l'effet sur d'autres êtres actuels, ou sur soi-même. Donc le potentiel est toujours le potentiel de faire de l'effet sur le potentiel d'autres êtres, ou sur soi-même.

Tout ce qui existe a une impulsion

Tout ce qui existe physiquement a toujours une impulsion.

Preuve : ce qui existe physiquement agit toujours sur d'autres êtres qui existent physiquement. Un être qui n'agirait jamais sur d'autres êtres physiques ne ferait jamais aucun effet et ne pourrait jamais être observé. Il n'aurait pas d'existence physique. Quand un être agit sur un autre, il modifie son mouvement, donc son impulsion $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$ pour un corps de masse $m$ et de vitesse $\mathbf {v}$. Or l'impulsion totale est toujours conservée. Si un corps augmente l'impulsion d'un autre, il perd de l'impulsion. Si un corps diminue l'impulsion d'un autre, il gagne de l'impulsion. Donc un corps sans impulsion ne peut pas agir sur un autre et ne peut pas exister physiquement.

On appelle aussi l'impulsion la quantité de mouvement.

Avoir une impulsion est une condition nécessaire pour exister physiquement. Les grandeurs physiques sont donc souvent définies à partir de l'impulsion, et tout particulièrement les forces et les énergies :

• Une force est le taux de variation d'une impulsion.

• Une énergie est le travail d'une force sur un chemin.

Qu'est-ce qu'une force ?

Si un corps n'est soumis à aucune force, il conserve sa masse et son vecteur vitesse, et donc son impulsion. Son mouvement est en ligne droite à vitesse constante. C'est un mouvement rectiligne uniforme.

La première loi de Newton :

Le mouvement d'un corps qui n'est soumis à aucune force est rectiligne uniforme.

C'est une loi de l'inertie du mouvement. Le vecteur vitesse ne varie pas si rien ne le fait varier.

À partir de cette première loi, on déduit que si l'impulsion d'un corps n'est pas constante, alors il existe une force qui fait varier son impulsion.

La loi fondamentale de la dynamique :

Une force est le taux de variation d'une impulsion.

$\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$

où $\mathbf {F}$ est la force qui s'exerce sur un corps d'impulsion $\mathbf {p}$.

La physique newtonienne suppose que la masse d'un corps ne dépend pas de sa vitesse, mais pas la théorie de la relativité. Pour des vitesses petites devant celle de la lumière, la variation de masse est négligeable. Si on néglige les variations de $m$ en fonction de la vitesse $\mathbf {v}$, on obtient la deuxième loi de Newton :

$\mathbf {F} =m\mathbf {a}$

où $\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}$ est l'accélération d'une masse $m$ qui subit une force $\mathbf {F}$.

Qu'est-ce qu'une énergie ?

On définit l'énergie à partir du travail des forces : l'énergie gagnée ou perdue par un corps est le travail des forces qui s'exercent sur lui. Lorsqu'un corps se déplace contre des forces, il doit céder de l'énergie. Lorsqu'un corps est poussé par des forces, il gagne de l'énergie.

On peut déplacer sans effort un objet lourd sur une patinoire, parce qu'on n'a pas à lutter contre la force de pesanteur. En revanche, il faut faire beaucoup d'effort pour soulever un objet lourd verticalement, parce qu'il faut s'opposer à la force de pesanteur. Dans le premier cas, la force de pesanteur ne travaille pas, parce que le déplacement est horizontal. Dans le second cas, la force de pesanteur travaille, parce que le déplacement est vertical.

Le travail W d'une force f sur un mobile qui se déplace en ligne droite sur une longueur d est égale au produit scalaire du vecteur force f et du vecteur déplacement d :

W = f.d = f d cos $\theta$

où $\theta$ est l'angle entre le vecteur force f et le vecteur déplacement d. f et d sont les longueurs des vecteurs f et d.

On peut considérer avec Newton, que la pesanteur est une force. On comprend alors qu'il faut fournir de l'énergie pour soulever un corps lourd, parce qu'on doit exercer une force qui travaille contre la force de pesanteur. La force de pesanteur est verticale. Elle ne travaille pas pour un déplacement horizontal parce qu'elle est perpendiculaire au déplacement, cos 90° = 0. La seule énergie qu'il faut fournir pour déplacer un corps lourd à l'horizontale est le travail contre les forces de frottement.

Le travail de la force de pesanteur $m\mathbf {g}$ sur une masse $m$ qu'on élève d'une hauteur $h$ est

$W=-mgh$

Si dans W = f.d = f d cos $\theta$, $\theta$ > 90°, alors cos $\theta$ < 0 et W < 0. Le travail de la force a une valeur négative parce qu'il est l'énergie perdue par un corps qui se déplace en luttant contre la force. Cette énergie perdue peut être l'énergie cinétique E = 1/2 mv². La vitesse v diminue parce que le corps est freiné par la force. Si $\theta$ < 90°, cos $\theta$ > 0 et W > 0. Le travail de la force a une valeur positive parce qu'il est l'énergie acquise par un corps qui se déplace en étant poussé et accéléré par la force.

Dans le système international d'unités de mesure (MKSA, mètre, kilogramme, seconde, Ampère), l'unité d'énergie est le Joule (J). Un Joule est le travail qu'il faut dépenser pour déplacer un corps sur un mètre contre une force de un Newton (N).

1 J = 1 N . 1 m = 1 N.m

La force de pesanteur à la surface de la Terre est à peu près égale à 9.8 N, presque 10 N. Un Joule est donc à peu près l'énergie qu'il faut dépenser pour soulever un corps de 1 kg de dix centimètres.

La loi fondamentale de la dynamique $\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$ et la définition de l'énergie à partir du travail d'une force enseignent où trouver l'énergie et comment se l'approprier. L'énergie est là où il y a des forces. Pour s'approprier l'énergie, il suffit de faire travailler les forces. Donc $\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$ nous livre le secret de la puissance. Par exemple, on peut trouver E = m c², l'équation d'Einstein qui a révélé la puissance de l'atome, à partir de $\mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}$.

L'énergie cinétique d'une masse en mouvement

Soit deux masses $m_{1}$ et $m_{2}$ reliées par un ressort.

Lorsqu'il est comprimé ou tendu, le ressort exerce deux forces $F_{1}$ et $F_{2}$, l'une sur $m_{1}$, l'autre sur $m_{2}$. Si la masse du ressort est négligeable par rapport aux masses qu'il relie alors on a toujours $F_{1}=-F_{2}$.

On suppose que chaque masse subit seulement la force du ressort et qu'elles sont lâchées l'une contre l'autre, au repos, après avoir tendu le ressort :

(Animation)

D'après la loi fondamentale de la dynamique :

$F_{1}={\frac {dp_{1}}{dt}}$

où $p_{1}=m_{1}v_{1}$ est l'impulsion de $m_{1}$. $v_{1}$ est sa vitesse.

Les forces $F_{1}$ et $F_{2}$ sur les masses $m_{1}$ et $m_{2}$ sont toujours dans dans la direction du mouvement. Le travail $dW_{1}$ de $F_{1}$ sur $m_{1}$ pour un petit déplacement $dx_{1}$ est

$dW_{1}=F_{1}dx_{1}$

Le travail $W_{1}$ de $F_{1}$ entre deux instants $t_{1}$ et $t_{2}$ est

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}dW_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}dx_{1}$

L'énergie gagnée ou perdue par la masse $m_{1}$ est donc

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}{\frac {dx_{1}}{dt}}dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{1}v_{1}dt$

$W_{1}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}m_{1}{\frac {dv_{1}}{dt}}v_{1}dt=\mathbf {[} {\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}\mathbf {]} _{t_{1}}^{t_{2}}$

$E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$ est l'énergie cinétique d'une masse $m$ qui va à la vitesse $v$.

Lorsqu'une une force est exercée sur une masse dans le sens de son mouvement, elle lui donne de l'énergie cinétique en augmentant sa vitesse.

Lorsqu'une force est exercée sur une masse en sens contraire de son mouvement, elle lui prend de l'énergie cinétique en la freinant.

Lorsqu'une force est exercée sur une masse dans une direction perpendiculaire au mouvement, la masse conserve son énergie cinétique, donc la grandeur $v$ de son vecteur vitesse $\mathbf {v}$.

Einstein a compris que toute énergie a une masse, même l'énergie cinétique. Donc la masse d'un corps dépend de sa vitesse. Le calcul ci-dessus n'est pas exact. Plus un corps va vite, plus sa masse augmente et plus il devient difficile de l'accélérer, parce que l'accélération donnée par une force est inversement proportionnelle à la masse du corps sur lequel elle s'exerce. Une masse ne peut jamais atteindre la vitesse de la lumière parce qu'il faudrait lui fournir une énergie infinie pour qu'elle le fasse.

Un volant d'inertie est un volant massif qu'on fait tourner autour de son axe. On met la masse surtout à la périphérie parce que c'est là qu'elle va le plus vite. Si les frottements sont faibles, un volant d'inertie peut conserver très longtemps sa vitesse de rotation. Il fonctionne ainsi comme un réservoir d'énergie, parce qu'il conserve son énergie cinétique de rotation.

L'énergie potentielle d'un ressort

Un ressort peur servir de réserve d'énergie. Par exemple, les caméras 16 mm fonctionnent sans électricité et permettent de filmer en continu pendant plusieurs minutes, simplement avec un ressort, qu'on remonte à la manivelle.

Pour tendre ou comprimer un ressort, les deux forces qu'on exerce sur lui sont dans le même sens que le déplacement de chacune de ses extrémités, on doit donc céder de l'énergie au ressort. Il faut dépenser de l'énergie, donc il faut faire un effort pour tendre ou comprimer un ressort.

Un ressort de raideur $k$ près de sa position d'équilibre exerce deux forces $F_{1}=-F$ et $F_{2}=F$ sur chacun des corps, à sa gauche et à sa droite, qui le compriment ou qui le tendent :

$F=-kx$

où $x$ mesure la variation de longueur du ressort par rapport à sa longueur d'équilibre $l_{0}$. C'est la loi de l'élasticité de Hooke. Elle est vraie pour tous les solides, pourvu qu'ils soient peu déformés par les forces qu'on exerce sur eux. Les ressorts sont conçus pour respecter la loi de Hooke même s'ils sont très déformés.

Si $dx_{1}$ et $dx_{2}$ sont des petits déplacements des extrémités du ressort, le travail $dW$ qu'il faut fournir pour comprimer ou tendre le ressort est

$dW=-F_{1}dx_{1}-F_{2}dx_{2}=-F(dx_{2}-dx_{1})=-Fdx$

$dx=dx_{2}-dx_{1}$ parce que $x=x_{2}-x_{1}-l_{0}$.

Pour tendre ou comprimer un ressort sur une longueur $x$, il faut donc lui fournir une énergie

$W=\int _{0}^{x}dW=-\int _{0}^{x}Fdx=\int _{0}^{x}kx$ $dx={\frac {1}{2}}kx^{2}$

$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}$ est l'énergie potentielle d'élasticité d'un ressort de raideur $k$ où $x$ est sa variation de longueur par rapport à sa longueur d'équilibre.

Les forces de cohésion de la matière sont électriques. L'énergie potentielle d'élasticité est une énergie potentielle électrique. Elle est une différence d'énergie du champ électrique produit par les électrons et les noyaux du ressort. Lorsqu'on comprime ou lorsqu'on tend un ressort, on augmente l'énergie potentielle électrique conservée dans le champ électrique produit par ses électrons et ses noyaux.

La conservation de l'énergie

Lorsque le ressort met les masses en mouvement, son énergie potentielle d'élasticité est transformée en énergie cinétique des masses. Lorsque le mouvement des masses comprime ou tend le ressort, leur énergie cinétique est transformée en énergie potentielle d'élasticité du ressort.

Soit $E=E_{c1}+E_{p}+E_{c2}$ la somme des énergies cinétiques des deux masses et de l'énergie potentielle d'élasticité du ressort.

${\frac {dE}{dt}}={\frac {d}{dt}}[{\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}kx^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}]={\frac {1}{2}}[2m_{1}v_{1}{\frac {dv_{1}}{dt}}+2kx{\frac {dx}{dt}}+2m_{2}v_{2}{\frac {dv_{2}}{dt}}]$

or

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx_{2}}{dt}}-{\frac {dx_{1}}{dt}}=v_{2}-v_{1}$

donc

${\frac {dE}{dt}}=-Fv_{1}-F(v_{2}-v_{1})+Fv_{2}=0$

L'énergie totale $E$ partagée entre le ressort et les deux masses est donc conservée.

La loi de conservation de l'énergie :

La quantité d'énergie gagnée ou perdue par un système physique est toujours égale à la quantité d'énergie qu'il a reçue ou cédée à un autre système physique.

On peut aussi l'énoncer :

Quand deux systèmes physiques transfèrent de l'énergie de l'un à l'autre, leur énergie totale ne change pas.

La conservation de l'impulsion

L'impulsion $\mathbf {p}$ d'un corps est toujours le produit de sa masse $m$ et de sa vitesse $\mathbf {v}$ :

$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

Soit $p$ l'impulsion totale des deux masses $m_{1}$ et $m_{1}$ :

$p=p_{1}+p_{2}$

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dp_{1}}{dt}}+{\frac {dp_{2}}{dt}}=F_{1}+F_{2}=0$

Donc l'impulsion totale des deux masses est conservée.

La force $F_{2}$ exercée par la masse $m_{1}$ sur la masse $m_{2}$, par l'intermédiaire du ressort, est égale et opposée à la force $F_{1}$ exercée par la masse $m_{2}$ sur la masse $m_{1}$, si on néglige la masse du ressort. L'action de $m_{1}$ sur $m_{2}$ est égale et opposée à la réaction de $m_{2}$ sur $m_{1}$. La conservation de l'impulsion totale est donc équivalente à l'égalité de l'action et de la réaction.

La loi de l'égalité de l'action et de la réaction

Si deux corps A et B interagissent, la force exercée par A sur B est égale et opposée à la force exercée par B sur A.

Théorème : on ne peut pas aller jusqu'à la Lune en tirant sur ses bottes.

Preuve : les mains exercent sur les bottes une force dirigée vers le haut exactement égale et opposée à la force exercée vers le bas par les bottes sur les mains. La somme des deux est égale à zéro et ne peut donc pas donner d'accélération vers le haut.

La loi de l'égalité de l'action et de la réaction est la troisième loi de Newton. Elle est rigoureusement exacte seulement si A et B sont en contact. Les deux forces égales et opposées sont alors exercées au même point, le point de contact. Mais si A et B sont éloignés, ils ne peuvent pas être sensibles instantanément aux variations du mouvement de l'autre, parce qu'il n'y a pas d'action instantanée à distance. Les informations et les êtres physiques se déplacent toujours avec une vitesse finie, jamais avec une vitesse infinie.

La loi de conservation de l'impulsion est meilleure que la loi de l'égalité de l'action et de la réaction, parce qu'elle évite le problème de l'action instantanée à distance :

La loi de conservation de l'impulsion :

L'impulsion gagnée ou perdue par un système physique est toujours égale à l'impulsion qu'il a reçue ou cédée à un autre système physique.

On peut aussi l'énoncer :

Quand deux systèmes physiques transfèrent de l'impulsion de l'un à l'autre, leur impulsion totale ne change pas.

Le moment cinétique

Un corps qui tourne sur lui-même et qui n'est soumis à aucune force extérieure conserve son mouvement de rotation. L'axe et la vitesse de la rotation ne changent pas. C'est ce qui arrive à une toupie si elle est en chute libre. L'inertie de rotation de leurs roues fait l'équilibre des bicyclettes en mouvement. Une bicyclette au repos tombe, parce qu'il n'y a plus d'inertie de rotation.

Un moment cinétique est une impulsion de rotation. Il est au mouvement de rotation constant ce que l'impulsion est au mouvement rectiligne uniforme. Comme l'impulsion, il est toujours conservé en l'absence de force extérieure. Le moment cinétique perdu ou gagné par un corps est toujours le moment cinétique gagné ou perdu par un autre corps.

Les lois du don de l'impulsion et de l'énergie

Un corps ne peut pas donner plus d'impulsion, de moment cinétique et d'énergie que ce qu'il a. S'il donne toute son énergie alors il n'est plus, parce que sa masse est de l'énergie.

Pour donner de l'impulsion et du moment cinétique, il doit exercer des forces. Pour donner de l'énergie, il doit aussi exercer des forces, parce que les variations d'énergie vont avec les variations d'impulsion.

Lorsqu'une force est perpendiculaire à la vitesse d'une masse, elle ne travaille pas. Elle fait varier le vecteur impulsion, mais pas sa grandeur, donc elle n'augmente pas l'énergie cinétique du corps sur lequel elle s'exerce. Le corps qui exerce cette force fait varier l'impulsion sans perdre son énergie.

Les lois fondamentales de la physique déterminent les forces que les corps peuvent exercer les uns sur les autres. Elles sont donc les lois du don de l'impulsion, du moment cinétique et de l'énergie.

L'énergie et l'impulsion des champs

Un champ est une grandeur physique définie en chaque point de l'espace-temps.

Il n'y a pas d'action instantanée à distance. Deux corps éloignés l'un de l'autre qui interagissent le font toujours par l'intermédiaire d'un champ de forces, où l'information est propagée à une vitesse finie, toujours égale ou inférieure à celle de la lumière. Par exemple, deux masses liées par un ressort interagissent par l'intermédiaire du champ de pression dans le ressort. Dans un champ de pression, l'information est propagée à la vitesse du son.

Les forces fondamentales sont les forces entre particules. Lorsqu'un corps A exerce une force F sur un corps B, F est la somme vectorielle de toutes les forces exercées par une particule x sur une particule y, pour toutes les particules x de A et toutes les particules y de B.

Les champs de forces entre particules sont le champ électromagnétique, qui exercent sur des particules des forces électriques et magnétiques, et le champ des forces nucléaires, qui explique la stabilité et l'instabilité des noyaux des atomes. La radioactivité est la conséquence de l'instabilité nucléaire : les noyaux instables se désintègrent spontanément, sans qu'on exerce la moindre force pour les casser.

Selon la physique newtonienne, la gravitation est un champ de forces entre toutes les masses, mais la vitesse de propagation de l'information y est infinie, parce que la loi de la gravitation universelle impose l'action instantanée à distance. Selon la théorie de la relativité générale d'Einstein, la gravitation n'est pas une force, mais un champ de déformations de l'espace-temps, où l'information ne peut jamais se propager plus vite que la lumière.

Comme tout ce qui existe physiquement, les champs de force ont une énergie, une impulsion et un moment cinétique. Quand une force est exercée sur une particule, elle fait toujours varier son impulsion, et elle peut faire varier aussi son énergie et son moment cinétique. Ces variations sont causées par des transfert d'impulsion, d'énergie et de moment cinétique entre le champ et la particule sur laquelle il agit.

L'énergie ou l'impulsion d'un système physique est toujours la somme des énergies ou des impulsions des particules qui le constituent plus la somme des énergies ou des impulsions des champs que ces particules produisent.

On compte souvent l'énergie du champ en attribuant une énergie potentielle aux particules sur lesquelles il exerce ses forces. Par exemple, on attribue une énergie potentielle électrique à un corps électriquement chargé. C'est la somme des énergies potentielles électriques de toutes ses particules électriquement chargées. Mais cette énergie potentielle n'est pas une énergie portée par les particules, parce qu'elle ne fait pas varier leur masse. C'est une énergie du champ électrique, localisée dans l'espace autour des particules. Compter l'énergie potentielle des particules est seulement une façon de compter l'énergie du champ qu'elles produisent.

L'énergie de la masse

Une particule est sans repos si et seulement s'il n'existe pas de référentiel d'inertie où elle est immobile.

Une particule est avec repos si et seulement s'il existe un référentiel d'inertie où elle est immobile.

Les particules avec repos ont une masse au repos.

Tout ce qui existe physiquement a une masse, parce que tout ce qui existe physiquement a une impulsion $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$. Les particules sans repos ont une masse, comme les particules avec repos, mais elles n'ont pas de masse au repos, parce qu'elles n'ont pas de repos.

Les photons sont des particules sans repos. La masse d'un photon est

$m_{p}={\frac {p}{c}}={\frac {E}{c^{2}}}$

où $E$ est son énergie, $p$ son impulsion et $c$ la vitesse de la lumière.

Même une masse au repos est l'énergie d'un champ, le champ de la force qui lui a donné le repos. La masse au repos d'une particule ressemble au travail de la force sur un chemin qui l'a menée de l'absence de repos au repos. Pour une particule électriquement neutre, ce travail est égal à

$E=m_{0}c^{2}$

où $m_{0}$ est la masse au repos de la particule.

Pour une particule électriquement chargée de masse au repos $m_{0}$, il faut ajouter au travail de la force qui lui a donné le repos l'énergie du champ électrique qu'elle produit autour d'elle pour obtenir $E=m_{0}c^{2}$.

Soit $m_{n}c^{2}$ le travail de la force qui a donné à une particule chargée le repos. Soit $m_{C}$ la masse du champ coulombien produit par cette charge si elle était isolée.

$m_{0}=m_{n}+m_{C}$

En général, on mesure $m_{0}$, pas $m_{n}$ et $m_{C}$ séparément, parce qu'on ne peut pas déshabiller une particule chargée et lui demander de laisser son champ coulombien au vestiaire avant de mesurer sa masse $m_{n}$.

Lorsqu'une particule électriquement chargée et son antiparticule, un électron et un positron par exemple, sont exactement superposées, le champ électrique qu'elles produisent ensemble est égal à zéro partout dans l'espace. La masse $m$ de la paire, si elle était au repos, serait donc

$m=2m_{n}$

parce que les énergies $m_{C}c^{2}$ du champ coulombien d'une particule et de son antiparticule sont égales, et leurs masses au repos $m_{0}$ aussi.

L'énergie minimale nécessaire pour créer une paire particule-antiparticule est égale à $2m_{0}$ pas $2m_{n}$. Lorsqu'une paire est créée, la différence $m_{0}-m_{n}$ est l'énergie cinétique minimale de la particule ou de son antiparticule, pour que la paire soit créée.

Après avoir été créées, la particule électriquement chargée et son antiparticule s'éloignent l'une de l'autre. Elles produisent ainsi un champ électrique dipolaire. Elles donnent de l'énergie à ce champ en perdant une partie de leur énergie cinétique.

L'énergie cinétique $E_{c}$ d'une particule est toujours la différence entre sa masse multipliée par c² et sa masse au repos multipliée par c² aussi :

$E_{c}=(m-m_{0})c^{2}$

L'énergie cinétique d'une particule dépend du référentiel dans lequel elle est mesurée, donc sa masse aussi.

La masse d'une particule, y compris son énergie cinétique, est toujours l'énergie d'un ou plusieurs champs, l'énergie du champ qui l'a mise au repos, si elle est une particule avec repos, plus l'énergie des champs qu'elle produit autour d'elle.

Quand on compte l'énergie d'un système physique, il faut faire la somme de toutes les énergies des champs qui lui sont associés, y compris le champ de la force qui donne aux particules le repos. Les particules n'existent pas sans les champs qu'elles produisent ou qui les ont produites, parce qu'elles sont des quanta des champs. Il n'y a que des champs et leurs quanta, les particules.

Les lois fondamentales de la physique sont donc toujours les lois du don de l'impulsion, de l'énergie et du moment cinétique d'un champ à un autre champ. Quand l'énergie cinétique d'une particule chargée est transformée en énergie potentielle électrique, le champ qui donne aux particules leur repos et leur énergie cinétique cède une partie de son énergie au champ électromagnétique.

Le don d'énergie cinétique

La masse d'un corps électriquement neutre avec repos est la masse du champ qui lui donne le repos. Elle est la somme de sa masse au repos et de la masse de son énergie cinétique. Quand une masse cède de l'énergie cinétique à une autre, elle perd une partie de sa masse. Une partie de l'énergie du champ qui lui donne le repos est transférée au champ qui donne le repos à l'autre masse.

Soient deux masses $m_{1}$ et $m_{2}$ égales, $m_{1}=m_{2}=m$, qui rebondissent l'une sur l'autre avec des vitesses $v_{1}=v$ et $v_{2}=-v$ égales et opposées, mesurées dans un référentiel R.

Si les masses sont parfaitement élastiques, elles conservent leur énergie cinétique après le rebond :

$v_{1out}=-v_{1}$

donc

${\frac {1}{2}}m_{1}{v_{1out}}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}$

De même pour $m_{2}$.

Dans un référentiel R' qui va à la vitesse $v$ par rapport à R, $m_{1}$ est initialement au repos. Après le rebond elle gagne une énergie cinétique égale à ${\frac {1}{2}}m_{1}(2v)^{2}=2mv^{2}$, cédée par la masse $m_{2}$.

Dans un référentiel R" qui va à la vitesse $-v$ par rapport à R, $m_{2}$ est initialement au repos. Après le rebond elle gagne une énergie cinétique égale à $2mv^{2}$, cédée par la masse $m_{1}$.

Du point de vue de R', $m_{1}$ cède de l'énergie cinétique à $m_{2}$. Du point de vue de R", $m_{2}$ cède de l'énergie cinétique à $m_{1}$. Du point de vue de R, $m_{1}$ et $m_{2}$ conservent chacune leur énergie cinétique. Comment est-ce possible ?

L'énergie a toujours une masse. La masse est toujours la masse des quanta d'un champ. Si des particules passent de A à B du point de vue d'un référentiel, elles passent de A à B du point de vue de tous les référentiels, parce que la présence d'une particule dans A ou dans B ne dépend pas du point de vue. Il semble donc qu'un transfert d'énergie cinétique ne peut pas dépendre du point de vue.

Les particules sans repos transportent l'énergie à la vitesse de la lumière. Leur énergie $E=pc$ dépend du référentiel, parce que leur impulsion $p$ dépend du référentiel, par effet Doppler. Lors du rebond des deux masses l'une sur l'autre, il y a deux flux de particules, l'un de $m_{1}$ vers $m_{2}$, l'autre de $m_{2}$ vers $m_{1}$. Du point de vue de R, ces flux d'énergie sont exactement égaux. C'est pourquoi les deux masses conservent chacune leur énergie cinétique. Mais du point de vue de R' ou R", ces deux flux ne transfèrent pas la même énergie, à cause de l'effet Doppler. La différence est le transfert d'énergie d'une masse à l'autre.

Le principe de moindre action

On peut trouver les équations fondamentales de la dynamique de tous les systèmes physiques en raisonnant avec les trois principes suivants :

• L'énergie cinétique $E_{c}$ est une dépense par unité de temps.

• L'énergie d'interaction $E_{i}$ est un revenu par unité de temps.

• Tous les chemins naturellement suivis par un système physique sont des chemins de moindre perte ou de gain maximal, des chemins pour lesquels la différence entre la totalité des revenus et la totalité des dépenses est maximale.

Un chemin AB suivi par un système physique est un chemin de moindre perte s'il est tel que tous les chemins de A à B mathématiquement possibles ont une perte supérieure. C'est un chemin de gain maximal s'il est tel que tous les chemins de A à B mathématiquement possibles ont un gain inférieur.

La différence $E_{c}-E_{i}=L$ est appelée le lagrangien du système. L'intégrale $\int _{A}^{B}L$ $dt=\int _{A}^{B}E_{c}$ $dt-\int _{A}^{B}E_{i}$ $dt=S$ est appelée l'action. Elle a les dimensions d'une énergie multipliée par un temps. Elle est l'analogue d'une perte : la totalité des dépenses moins la totalité des revenus. Son opposé $-S$ est l'analogue d'un gain. Le principe de moindre perte, ou de maximum de gain, est appelé le principe de moindre action.

Le temps est réversible. La Nature ne fait pas la différence entre le passé et l'avenir.

Preuve : si AB est un chemin de gain maximal, le même chemin BA pris en sens inverse est lui aussi naturellement possible, parce qu'il est un chemin de perte minimale.

Ce théorème est presque toujours vrai pour les équations fondamentales des mouvements microscopiques. La flèche du temps, du passé vers l'avenir, n’apparaît pas dans ces équations, mais seulement dans les équations des mouvements macroscopiques données par la physique statistique et la thermodynamique.

Le principe de moindre action n'impose pas que tous les chemins naturellement possibles vont vers une augmentation des gains, puisque le temps est réversible, il impose seulement que tous les chemins naturellement possibles maximisent les gains ou minimisent les pertes.

On peut retrouver les trois lois fondamentales de Newton à partir du principe de moindre action, pourvu qu'on choisisse le lagrangien qui convient.

Soit une course de A à B entre un lièvre et une tortue. La tortue avance à vitesse constante tandis que le lièvre s'arrête pour faire la sieste. Pour arriver en même temps que la tortue, le lièvre doit rattraper le temps perdu. Il arrive donc tout essoufflé alors que la tortue arrive tranquillement. On peut calculer que la tortue a choisi un chemin de moindre action pour le lagrangien $L=E_{c}={\frac {1}{2}}mv^{2}$, tandis que le lièvre n'a pas minimisé ses pertes. On trouve ainsi la première loi de Newton : en l'absence de forces, les mouvements sont toujours rectilignes uniformes. Qu'il n'y ait pas de force est traduit par l'absence d'énergie d'interaction dans le lagrangien.

Les points A et B sont des points dans l'espace des configurations. Une configuration est définie par les positions de tous les corps qui font partie du système. S'il y a un seul point mobile, l'espace de configuration est l'espace réel, à trois dimensions. S'il y a n point mobiles, l'espace des configurations a 3n dimensions.

Un chemin optimal est déterminé par deux points A et B et par un délai pour atteindre B en partant de A. Le chemin de moindre action est le chemin optimal parmi tous les chemins qui ont les mêmes extrémités et le même délai. A est comme un point de départ à une heure fixée et B un point de rendez-vous, à une heure également fixée. Le chemin de moindre action est le chemin optimal pour arriver au lieu de rendez-vous à l'heure dite.

Quand on connaît le chemin de moindre action, on peut calculer les vitesses sur tout le chemin, donc les vitesses au point A et au point B. On obtient donc une fonction entre la vitesse finale en B et la vitesse initiale en A. On peut ainsi calculer la vitesse finale après un certain délai en fonction de la vitesse initiale. En faisant tendre le délai vers zéro, on trouve ainsi le taux de variation des vitesses des points du système, donc le taux de variation de leurs quantités de mouvement, donc les forces qui s'exercent sur eux.