Discussion:Approfondissements de lycée/Démonstrations

Introduction

Dans l'introduction:

Les mathématiciens ont été, durant des siècles, obsédés par les démonstrations

C'est plus ou moins vrai... Jusqu'aux derniers siècles, on va dire jusqu'à la Renaissance à peu près, les démonstrations étaient plus « intuitives » que formelles. C'est justement lors de la formalisation des sciences, et en particulier de la physique, que les mathématiciens ont ressenti de manière encore plus pressante le besoin de démontrer vraiment ce qu'ils racontaient, dans un cadre de plus en plus formel.

On peut lire pour ça le Génie de la science dédié à Alan Turing qui explique très clairement la situation qui a abouti à cette quête de démonstrations... La science, et sourtout la physique, devenant de plus en plus mathématisée, il est devenu nécessaire, pour que le discours physique ait du sens, de s'assurer que les affirmations mathématiques aient une certaine solidité, i.e. qui va plus loin que l'intuition. D'où tout ce qui s'en suit.

Et la phrase

Ils veulent tout prouver, et par ce processus, ils ont démontré qu'ils ne pouvaient pas tout démontrer (voir ceci).

passe bien trop rapidement sur le problème de la décidabilité ! Si c'est pour en parler aussi rapidement, autant ne pas en parler. Le théorème de Gödel sur la décidabilité, et les travaux de Turing sur la calculabilité, ont été un vrai tir au bazooka dans les fondations des mathématiques: on espérait pouvoir tout prouver, garantir la cohérence / consistance / complétude des mathématiques, s'assurer que le discours mathématique était d'une manière ou d'une autre « en prise avec le réel » (et donc que les sciences modernes, qui reposent abondamment sur les mathématiques, aient une quelconque validité) et on découvre que non, on ne peut tout prouver, il y a des vérités mathématiques qui sont indémontrables (dans un système axiomatique donné), des propositions qui peuvent être vraies dans un système d'axiomes et fausses dans un autre. Arg. Horreur pour les mathématiciens qui ne savent plus de quoi ils parlent, ni comment tourner leurs problèmes, et effondrement des scientifiques qui ne peuvent même plus être sûrs que leurs belles théories aient un quelconque fondement lié avec le monde concret qu'ils sont censés expliquer...

Bref, tout ça pour dire que l'habitude des mathématiciens à vouloir démontrer ce qu'ils disent n'est pas qu'une mauvaise habitude, une lubie, et encore moins qu'elle a existé de tous temps...

Je sais, je me plains, je n'ai qu'à modifier l'intro si je n'en suis pas satisfait. J'y pense... Mais je voulais en parler avant, histoire de voir ce qu'en pensent d'autres...