Cosmologie/La masse et la relativité générale

Avant de passer au prochain chapitre, nous devons parler rapidement de la masse. Vous avez peut-être l'intuition de ce qu'est la masse d'un objet, en lien avec son poids. Vous savez aussi que la masse est ce que l'on trouve dans la formule de Newton, à savoir ce qui relie l'accélération d'un objet à la force auquel on le soumet. Mais en réalité, il faut être plus précis que cela et distinguer plusieurs sortes de masses. De plus, nous allons voir que masse et énergie ont des liens assez profonds.

Les différents types de masse

Comme dit juste auparavant, il existe plusieurs sortes de masse : la masse inertielle, la masse propre et les deux masses graves (active et passive). La masse inertielle est celle de la loi de Newton, alors que les masses graves sont liées à la gravité. Ces distinctions, que nous allons voir en détail, auront une importance capitale dans de futurs chapitres.

La masse propre

La masse propre est définie par la loi de Newton, à savoir par la relation :

${\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}}$, avec ${\vec {F}}$ la force et ${\vec {a}}$ l'accélération.

Dans le cadre de la relativité restreinte, la formule de Newton devient :

${\vec {F}}=m\cdot \gamma \cdot {\vec {a}}$, avec $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

L'équation précédente peut se reformuler de deux manières différentes. La première est la suivante, où l'on regroupe le terme $\gamma$ et le terme ${\vec {a}}$. C'est de loin la version la plus correcte du point de vue physique, vu que les termes $\gamma$ et le terme ${\vec {a}}$ sont tous deux des termes cinématiques (liés au déplacement de l'objet) :

${\vec {F}}=m\cdot {\frac {\vec {a}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$, avec $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$.

La masse inertielle

La masse inertielle est définie à partir de l'impulsion, la quantité de mouvement.

Dans la théorie de Newton, l'impulsion n'est autre que le produit suivant :

${\vec {p}}=m\cdot {\vec {v}}$

Dans la relativité restreinte, elle est égale à :

${\vec {p}}=m\cdot \gamma \cdot {\vec {v}}$

Ces deux définitions sont intéressantes, car la masse inertielle semble strictement identique à la masse propre. En effet, la force est par définition la dérivée de l'impulsion par rapport au temps. On a donc, par définition :

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$

En supposant la masse inertielle et la masse propre constantes, les deux masses s'égalisent. Mais un point de la définition de la masse inertielle est qu'elle peut se définir à partir de la loi de la conservation de l'impulsion. Mais il existe quelques circonstances où les deux masses ne s'égalisent pas et où l'on a :

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\neq m\cdot {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}$

La masse grave

La masse grave se décline en deux types : la masse grave passive et la masse grave active.

La masse grave passive est la masse sur laquelle la gravité agit. Rappelons que dans la théorie de Newton, la gravité agit sur les objets qui ont une masse et seulement ceux-ci. La gravité est considérée comme étant une force parmi tant d'autres. Si un objet est soumis à une force de gravité ${\vec {F_{g}}}$, il subira une accélération ${\vec {g}}$ dans la direction de la force de gravité. L'accélération en question est appelée l'accélération de la pesanteur. La loi de Newton nous dit qu'il existe une masse m telle que :

${\vec {F_{g}}}=m\cdot {\vec {g}}$

La masse grave active est la source de la gravité. Un objet ayant une masse grave active attire les autres objets vers lui, sous l'effet de sa gravitation. Prenons la loi de gravitation de Newton, qui donne la force qu'un objet de masse M impose à un autre objet de masse m. La masse M est la masse grave active, alors que la masse grave passive est m. La formule est la suivante :

${\vec {F_{g}}}={\frac {G\cdot m\cdot M}{r^{2}}}$, avec G la constante de gravitation de Newton et r la distance entre les deux objets.

L'objet attiré subit une accélération égale à :

${\vec {g}}={\frac {GM}{r^{2}}}$

On voit que la masse grave active est la source de la force de gravité, et de l'accélération que les objets alentours subiront.

De l'équivalence des différentes formes de masse

Dans la théorie de Newton, toutes les formes de masses sont équivalentes. Mais dans la relativité restreinte, c'est autre chose. La raison à cela est que Einstein a montré que la masse et l'énergie sont reliées par des équations assez simples.

Dans ce qui suit, la masse inertielle et la masse propre seront confondues, par simplicité. De plus, nous confondrons aussi les masses grave, passive et active. Masses inertielle et propre seront toutes deux notées $m_{i}$, alors que la masse grave sera notée $m_{g}$

La masse en relativité restreinte

Relation masse-énergie en relativité restreinte.

Pour simplifier, quitte à dire des choses fausses, la masse et l'énergie sont deux choses presque équivalentes. L'équivalence masse-énergie d'Einstein dit que l'énergie d'un corps (ici l'univers) est reliée à sa masse. Si l'objet est en mouvement, on a :

$E^{2}=\left(M\cdot c^{2}\right)^{2}+\left(p\cdot c\right)^{2}$, avec E l'énergie, M la masse et c la vitesse de la lumière et p son impulsion.

On voit que la masse n'est pas tout à fait confondue avec l'énergie. Cependant, quand la vitesse de l'objet est faible, son impulsion est négligeable. L'équation précédente devient alors :

$E\approx M\cdot c^{2}$

Dans le cas d'un objet immobile, l'impulsion est nulle et l'approximation précédente devient une égalité exacte. On a alors :

$E=M\cdot c^{2}$

On voit que l'énergie est proportionnelle à la masse, pour un objet immobile.

Maintenant, divisons l'équation précédente par le volume.

${\frac {E}{V}}={\frac {M}{V}}\cdot c^{2}$

Par définition, le terme de gauche n'est autre que la densité d'énergie, alors que le premier terme de droite est la densité de masse.

$\rho _{e}=\rho \cdot c^{2}$

On vient donc de trouver une relation entre densité de masse et densité de matière, dans le cas d'un système immobile. Ce système peut être un fluide, un solide ou tout autre corps. Mais précisons que cette relation n'est qu'approximative, dans le sens où nous avons négligé l'impulsion. Dans le cas d'un système immobile, ce n'est pas un problème, tant qu'on reste dans le cadre de la relativité restreinte. Mais Dans le cadre de la relativité générale, même un fluide immobile contient de l'impulsion, ce qui change les calculs, comme nous allons le voir dans ce qui suit.

La masse en relativité générale

La définition de la masse grave est presque impossible en relativité générale. Pour comprendre pourquoi, partons de la formule newtonienne suivante, qui relie le potentiel gravitationnel $\phi$ à la densité de masse grave active :

$\nabla ^{2}\cdot \phi =4\pi G\cdot \rho _{mg}$

Le terme de gauche regroupe tout ce qui a trait au potentiel gravitationnel. Le terme de droite regroupe tout ce qui a trait à la masse grave active : il est composé de la masse grave active, multipliée par un coefficient constant. Dans la relativité générale, la formule précédente n'est pas valable, mais il existe une formule équivalente. Elle relie un équivalent du potentiel gravitationnel, à un équivalent de la masse grave. Dans la théorie d'Einstein, il y a plusieurs potentiels gravitationnels, qui sont regroupés dans ce qu'on appelle le tenseur d'Einstein, noté $G_{u\nu }$. L'équivalent de la masse grave active est ce qu'on appelle le tenseur énergie-impulsion $T_{\mu \nu }$. C'est un objet mathématique qui regroupe divers termes liés à l'énergie et l'impulsion de objet gravitant. L'équation de champ d'Einstein s'écrit comme suit :

$G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{2}}}\cdot T_{\mu \nu }$

En soi, cette équation ne permet pas de définir une masse grave active, du fait de l'absence de force de gravité dans les équations d'Einstein. Mais on peut, avec quelques approximations, calculer une approximation semi-classique de la force de gravité. Ce faisant, les équations nous donnent une relation équivalente à la loi de Newton, mais tirée de la relativité générale. Le tenseur énergie-impulsion regroupe plusieurs termes, dont l'énergie, l'impulsion et la pression (pour un fluide). Chacun de ces termes joue un rôle dans la masse grave active.

En premier lieu, la masse grave active se confond avec l'énergie. L'énergie a un effet gravitationnel, peu importe que cette énergie corresponde à de la masse grave newtonienne, à de l'énergie cinétique, ou à de l'énergie potentielle. Pour simplifier, on a donc :

$\rho _{g}\approx {\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}$, avec $\rho _{g}$ la densité de masse grave active.

L'équation précédente n'est cependant qu'une approximation, qu'on retrouve dans beaucoup de contextes, mais qui échoue dans certains cas. En plus de l'énergie proprement dite, il faudrait aussi rajouter la pression comme sources de masse. On a donc :

$\rho _{g}\approx {\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}+f\left({\frac {P}{c^{2}}}\right)$, avec $P$ la pression.

En supposant que les relations sont linéaires, on devrait trouver quelque chose du genre :

$\rho _{g}\approx {\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}+k\cdot {\frac {P}{c^{2}}}$, avec $\rho _{g}$ la densité de masse grave active.

En relativité générale, on n'est pas certain que masse inertielle, masse grave passive et masse grave active soient identiques. Elles sont censées être identiques localement, pour un objet, en vertu du principe d'équivalence. Mais les calculs ne sont pas vraiment d'accord. Dans certains cas particuliers, les trois masses sont complètement différentes. Par exemple, prenons l'exemple de la lumière, d'un photon pour être précis. La lumière n'a pas de masse inertielle, que ce soit dans la théorie de la relativité ou dans la physique de Newton. Par contre, elle dispose d'une énergie et a donc une masse grave active non-nulle (même si l'effet n'a jamais été mesuré). Elle a aussi une masse grave passive, vu que la lumière est déviée par la gravité ! On a donc un cas où masse grave et masse inertielle sont différentes. Un autre exemple est le cas des fluides, qui sont abondamment utilisés dans la cosmologie relativiste, qu'il nous faut aborder pour comprendre les chapitres qui vont suivre.

La densité de masse grave d'un fluide relativiste : démonstration intuitive

La densité d'énergie d'un fluide n'est pas si difficile à comprendre. En théorie, l'énergie d'un fluide est la somme de plusieurs contributions : l'énergie de masse du fluide, son énergie cinétique et son énergie potentielle. L'énergie potentielle est souvent négligée, et ce sera le cas dans les développements qui vont suivre. Nous allons supposer que l'énergie du fluide est la somme de son énergie de masse et de son énergie cinétique. Cette simplification est peu rigoureuse, mais elle permet de comprendre ce qui va suivre sans recourir à des développements rigoureux. On a donc :

$E=M\cdot c^{2}+E_{\text{cinétique}}$

On divise alors par le volume :

${\frac {E}{V}}={\frac {M}{V}}\cdot c^{2}+{\frac {E_{\text{cinétique}}}{V}}$

Le terme de gauche est la densité d'énergie, par définition, alors que le premier terme à droite est la densité de matière.

$\rho _{e}=\rho \cdot c^{2}+{\frac {E_{\text{cinétique}}}{V}}$

En mécanique classique, on peut prouver que la densité d'énergie cinétique d'un fluide est proportionnelle à la pression (même si les deux ne sont pas exactement la même chose), le coefficient de proportionnalité dépendant du fluide. Par exemple, pour un gaz de photons, la pression est égale au tiers de la densité d'énergie. Pour un gaz parfait matériel, le coefficient de proportionnalité est de $2 \over 3$. Et pour de la matière solide, il est de zéro. En clair, on a :

$\rho _{e}=\rho \cdot c^{2}+k\cdot P$

Pour obtenir la densité de masse grave active, on peut, bien que ce ne soit pas rigoureux, appliquer bêtement la formule $\rho _{g}\approx {\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}$. Il suffit donc de diviser l'équation précédente par $c^{2}$ :

$\rho _{g}=\rho +k{\frac {P}{c^{2}}}$

La densité de masse grave d'un fluide relativiste : explications rigoureuses

Le développement précédent n'est cependant pas rigoureux. La dérivation relativiste exacte de cette formule est assez compliquée, le concept même de masse étant ambigu dans la relativité générale. Cependant, dans certains cas, on peut définir une masse particulière, appelée la masse de Komar. Dans le cas d'un fluide idéal, la masse de Komar du fluide est égale à :

$M_{\text{Komar}}\approx {\frac {E+3\cdot PV}{c^{2}}}$, avec E l'énergie du fluide, P sa pression et V son volume.

La densité de masse grave devrait être donc égale à :

$\rho _{g}\approx {\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}+3{\frac {P}{c^{2}}}=\rho +3{\frac {P}{c^{2}}}$

Pour aller plus loin, les calculs relativistes donnent aussi des valeurs différentes pour la masse grave active et la masse grave passive. Les calculs en hydrodynamique relativistes donnent :

$\rho _{g}^{\text{active}}\approx \rho +3{\frac {P}{c^{2}}}$, où $\rho$ est la densité de matière inertielle.

$\rho _{g}^{\text{passive}}\approx \rho +{\frac {P}{c^{2}}}$, avec $\rho$ la densité de matière inertielle.

On voit que masse inertielle, masse grave active et masse grave passive sont différentes. On devra donc les utiliser à bon escient dans les chapitres suivants.

Quoi qu'il en soit, cela nous permet de comprendre pourquoi la démonstration de la section précédente n'était pas rigoureuse. Elle est imparfaite du fait de plusieurs erreurs majeures :

• Elle intervertit la place de $\rho$ et $\rho _{e} \over c^{2}$ dans les équations.
• Elle confond $\rho _{g}$ et $\rho _{e} \over c^{2}$, alors que l'équation précédente nous dit que les deux valeurs ne sont pas égales.
• Elle intègre le terme $3{\frac {P}{c^{2}}}$ dans la densité d'énergie volumique, alors que la pression est avant tout un phénomène de surface.

La pression et la masse grave active

Les équations précédentes nous montrent que la pression est une forme particulière de masse grave active. Néanmoins, la gravité liée à la pression nous pose un problème. Imaginons que l'on ait une sphère (une étoile, par exemple), remplie d'un gaz quelconque, autour de laquelle gravite un satellite. La masse grave active de cette sphère est égale à l'intégrale sur son volume de sa densité de masse grave active.

$m_{g}=\int \rho _{mg}dV$

Cette dernière vaut, comme on l'a vu, $\rho _{mg}={\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}+3{\frac {P}{c^{2}}}$. On injecte donc dans l'intégrale :

$m_{g}=\int \left({\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}+3{\frac {P}{c^{2}}}\right)dV$

Dans le cas d'une matière sans pression, on trouve :

$m_{g}=\int {\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}dV$

Mais dans le cas du rayonnement, la masse est nulle et la pression vaut le tiers de la densité d'énergie. En clair, $P={\frac {1}{3}}\rho _{e}$. En calculant l'intégrale, on trouve :

$m_{g}=\int \left({\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}+3{\frac {P}{c^{2}}}\right)dV=\int \left({\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}+3{\frac {\rho _{e}/3}{c^{2}}}\right)dV=2\cdot \int {\frac {\rho _{e}}{c^{2}}}dV$

On voit que la masse grave active n'est pas la même pour une densité d'énergie identique. La même quantité d'énergie n'a pas la même masse grave active, selon qu'elle est sous la forme de matière ou de rayonnement. Et cela pose un grave paradoxe. Imaginons qu'il se passe quelque chose dans la sphère, et que cette transformation transforme toute la matière en rayonnement. La masse grave active double du fait de cette transformation. Deux conséquences contradictoires sont possibles : soit la conservation de l'énergie est violée lors de la transformation, soit énergie et masse grave ne sont pas synonyme et la relativité générale est fausse. À l'heure actuelle, personne ne sait réellement comment résoudre correctement ce paradoxe, appelé le paradoxe de Tolman. Il y a bien quelques pistes, mais rien de bien folichon. Peut-être que le tenseur énergie-impulsion est incorrectement défini, peut-être que les équations mentionnées dans le chapitre sont fausses, peut-être que la théorie des fluides relativistes est à revoir, ou peut-être que tout simplement que les démonstrations actuelles oublient de prendre en compte des détails techniques subtils.