Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur métrique/Pseudo-contraction de sa dérivée partielle/Démonstration

La matrice $g^{ij}$ est l'inverse de la matrice du tenseur métrique $g_{ij}$ : $g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}$. Profitant de la symétrie du tenseur métrique, on a $g^{ij}g_{ji}=\delta _{i}^{i}$. Or la contraction $\delta _{i}^{i}$ du tenseur unité donne un entier, la dimension de l'espace. C'est donc une constante. Ainsi $g^{ij}\;dg_{ij}=-g_{ij}\;dg^{ij}$. D'où l'expression cherchée

$g^{ij}g_{ij,k}=-g_{ij}g^{ij}{}_{,k}$.