Calcul tensoriel/Notions élémentaires/Tenseur de courbure

La dérivée covariante seconde d'un champ scalaire f est un tenseur d'ordre 2

$f_{;i;j}=f_{,i,j}-\Gamma _{ij}^{k}f_{;k}$

Elle est symétrique parce que le symbole de Christoffel $\Gamma _{ij}^{k}$ est invariant par échange des indices bas (espace sans torsion).

En revanche pour un champ de vecteurs $a_{j}$, les dérivations covariantes ne commutent pas. Le tenseur de courbure de Riemann $R_{i}{}^{j}{}_{kl}$ permet de calculer leur différence

$a_{i;k;l}-a_{i;l;k}=R_{i}{}^{j}{}_{kl}a_{j}$