Calcul tensoriel/Espace euclidien/Coordonnées cylindriques/Tenseur métrique

En coordonnées cylindriques $\left(r,\phi ,z\right)$, le carré d'un élément de longueur vaut $dl^{2}=dr^{2}+r^{2}\;d\phi ^{2}+dz^{2}$ et donc le tenseur métrique vaut

$g_{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

La racine carrée du déterminant du tenseur métrique vaut ${\sqrt {\det {g}}}=r$.

La matrice inverse du tenseur métrique vaut

$g^{ij}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&{\frac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&1\end{matrix}}\right)$

• Base naturelle et base orthonormée

Puisque le tenseur métrique en coordonnées cylindriques est diagonal, la base naturelle $\left(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\phi },\mathbf {e} _{z}\right)$est orthogonale et la base orthonormée s'écrit $\left(\mathbf {e} _{r},{\frac {\mathbf {e} _{\phi }}{r}},\mathbf {e} _{z}\right)$.