Calcul différentiel et intégral pour débutants/Calcul intégral : solutions des exercices

• $A$ est une constante. Calculer les dérivées des fonctions suivantes : $f(x)=Ax,g(x)=Ax^{2}/2,h(x)=Ax^{3}/3$

$f'(x)=A,g'(x)=Ax,h'(x)=Ax^{2}$

• Calculer $\int _{0}^{b}Adx$

D'après le théorème fondamental de l'analyse :

$\int _{0}^{b}Adx=\int _{0}^{b}f'(x)dx=f(b)-f(0)=Ab$

C'est l'aire d'un rectangle de hauteur $A$ et de largeur $b$

• Calculer $\int _{0}^{b}Axdx$

$\int _{0}^{b}Axdx=\int _{0}^{b}g'(x)dx=g(b)-g(0)=Ab^{2}/2$

Pour $A=1$, $\int _{0}^{b}xdx=b^{2}/2$ est l'aire d'un demi-carré de côté $b$

Comme $f(x)=x$ représente la droite qui s'élève à 45 degrés au-dessus de l'axe horizontal, elle est la diagonale des carrés portés par les axes et l'aire située sous elle entre $x=0$ et $x=b$ est un demi-carré de côté $b$

• Calculer $\int _{0}^{b}Ax^{2}dx$

$\int _{0}^{b}Ax^{2}dx=\int _{0}^{b}h'(x)dx=h(b)-h(0)=Ab^{3}/3$