CMC/4e/Équation, ordre

Une équation consiste en deux expressions séparées par le signe égal (=). Tout ce qui est à gauche est égal à tout ce qui se trouve à droite, par exemple 2 + 3 = 4 + 1. Certaines équations contiennent une variable, souvent notée x ou y, bien que n'importe quel symbole puisse être utilisé.

Manipuler les expressions

Parfois, les expressions sont désordonnées, et pourraient être présentées sous une forme plus simple. Les notions abordées ici sont essentielles pour le reste du cours.

Rassembler les termes similaires

Pour rassembler les termes similaires, il suffit d'additionner les termes en x, puis tous les termes en y, et de même pour tout symbole représentant une variable.

Par exemple, 2x + 4y + 8z − 3x − 7y − 2z + 4x devient:

2x − 3x + 4x = 3x

4y − 7y = − 3y

8z − 2z = 6z

Donc en additionnant les termes 2x + 4y + 8z − 3x − 7y − 2z + 4x est simplifié en : 3x − 3y + 6z.

Multiplication

La multiplication de différentes variables telles que $a\times b$ donne $ab$. La multiplication de deux variables identiques augmente le degré de celle ci :$x\times x$ devient $x^{2}$.

Comme pour l'addition et la soustraction, on rassemble les termes de même nature : $2x^{2}z\times 3yz^{2}\times 4xy^{3}$ devient: $24{x^{3}}{y^{4}}{z^{3}}$

Fractions

Il est assez fréquent de rencontrer des fractions. Il est donc nécessaire d'apprendre à les manipuler correctement. La technique est de mettre toutes les fractions au même dénominateur et de les rassembler en une seule fraction. Il faut multiplier le numérateur et le dénominateur pour que la fraction garde la même valeur. Par exemple pour ${\frac {3x}{2}}+{\frac {2y}{5}}-{\frac {z}{10}}$, le dénominateur commun est $10$.

On multiplie en haut et en bas par $5$: ${\frac {15x}{10}}$

On multiplie en haut et en bas par $2$: ${\frac {4y}{10}}$

On ne change rien : ${\frac {z}{10}}$

Maintenant nous avons ${\frac {15x}{10}}+{\frac {4y}{10}}-{\frac {z}{10}}$, qui devient ${\frac {15x+4y-z}{10}}$.

Résolution d'équations

Souvent, il est nécessaire de réarranger une équation pour la résoudre, afin d'isoler l'inconnue d'un côté du signe égal. En réarrangeant $2+x=5$ en $x=5-2$, $x$ a été isolé. Maintenant, en simplifiant l'équation, on peut trouver la solution : $x=3$.

Une équation à une variable sera vraie uniquement pour certaines valeurs de cette variable. Celles-ci sont appelée solutions de l'équation. Par exemple $2+x=5$ est vraie seulement pour $x=3$. Donc $x=3$ est la solution de l'équation $2+x=5$.

Isoler une autre variable

Les équations sont souvent beaucoup plus compliquées que les exemples ci-dessus. Pour faire passer un terme de l'autre côté du signe égal, il faut appliquer les mêmes opérations de chaque côté. Par exemple, pour isoler $x$ dans l'équation $y={\frac {4a(x^{2}+b)}{3}}$ :

Multiplier des deux côtés par $3$	$3y=4a(x^{2}+b)$
Diviser des deux côtés par $4a$	${\frac {3y}{4a}}=x^{2}+b$
Soustraire $b$ des deux côtés	${\frac {3y}{4a}}-b=x^{2}$
Prendre la racine carré de chaque côté	${\sqrt {{\frac {3y}{4a}}-b}}=x$	x est alors isolé