Approfondissements de lycée/Signe de sommation

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Notation de sommation

Nous utilisons normalement le signe "+" pour représenter une somme, mais si l'expression de la somme impliquée est compliquée et longue, cela peut être confus.

Par exemple :

${\frac {1}{1\times 2}}+{\frac {1}{2\times 3}}+{\frac {1}{3\times 4}}......+{\frac {1}{100\times 101}}$

Écrire ce qu'il y a dessus serait une tache fastidieuse et confuse !

Pour représenter une expression de cette sorte de façon plus compacte et agréable, on peut utiliser la notation de sommation, une lettre grecque capitale "Sigma". Sur la droite du signe sigma, on écrit l'expression de chaque terme de la somme. Au dessus et en dessous du signe sigma, on écrit la limite supérieure et inférieure de la variable.

Exemple 1 : $\sum _{k=3}^{10}2k+1$
$=\ (2(3)+1)\ +\ (2(4)+1)\ +\ (2(5)+1)\ +......+\ (2(10)+1)$ $=\ 7\ +\ 9\ +\ 11\ +......+\ 21$

Méprise : À partir de ce qu'il y a dessus, il existe une méprise commune que le nombre au dessus du signe Sigma est le nombre de termes. Ceci est faux. Le nombre au dessus est le nombre à substituer dans le dernier terme.

Exemple 2 : ${\frac {1}{4}}-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{25}}......-{\frac {1}{9801}}+{\frac {1}{10000}}$
$={\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}-{\frac {1}{5^{2}}}......-{\frac {1}{99^{2}}}+{\frac {1}{100^{2}}}$
$=\sum _{k=2}^{100}(-1)^{k}{\frac {1}{k^{2}}}$

Astuce : Si les termes alternent entre plus et moins, nous pouvons utiliser la suite $(-1)^{k}=-1,\ 1,\ -1,\ 1...$

Exercice

1. Utiliser la notation de sommation pour représenter l'expression dans le premier exemple.

Changer ce qui suit en sommation :

1. $23\ +\ 24\ +\ 25\ +\ 26\ +......+\ 1927$
2. $13\ +\ 16\ +\ 19\ +\ 22\ +......+\ 301$
3. *$1\ -\ 2\ -\ 3\ +\ 4\ +\ 5\ -\ 6\ -\ 7\ +\ 8......+\ 400$(Astuce : réordonner les termes, ou obtenir plus d'un terme dans l'expression)
4. *$1000\ -\ {\frac {3}{1\times (1+3+5)}}\ -\ {\frac {5}{(1+3)\times (1+3+5+7)}}\ -\ {\frac {7}{(1+3+5)\times (1+3+5+7+9)}}......$(Astuce : Vous avez besoin d'utiliser plus d'un signe sigma)

Changer la notation somme en une représentation ordinaire :

1. $\pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}$
2. $\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}$

(Besoin de plus d'exercice, spécialement la "lecture" de la notation sigma et le retour dans la forme ordinaire).

Opérations de la notation somme

Bien que la plupart des règles reliées à la somme ont un sens dans le système ordinaire, dans ce nouveau système de notation somme, les choses peuvent ne pas être aussi claires que précédemment. Par conséquent, on peut résumer certaines règles reliées à la notation somme (voir si vous pouver identifier ce à quoi elles correspondent !)

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm c\ =\ \pm (q-p+1)c\ +\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm B_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{q}A_{i}\pm \sum _{i=p}^{q}B_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}cA_{i}\ =\ c\sum _{i=p}^{q}A_{i}$
• $\sum _{i=p}^{q}\left[\sum _{j=r}^{s}A_{ij}\right]\ =\ \sum _{j=r}^{s}\left[\sum _{i=p}^{q}A_{ij}\right]$

(Note : je suggère de donner une aide visuelle sur celle-ci : en montrant que vous pouvez effectuer une sommation de séries à deux dimensions dans chaque direction)

• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p-k}^{q-k}A_{i+k}$(Substitution d'index)
• $\sum _{i=p}^{q}A_{i}\ =\ \sum _{i=p}^{r}A_{i}+\sum _{i=r+1}^{q}A_{i}\,$ où $p\leq r<q\,$ (Décomposition)

Exercice

(mette quelque chose ici, svp)

Au-delà

"L'itération est humaine; la récursion, divine."

Lorsque les humains répètent la sommation, ils utilisent un concept plus avancé, le concept de produit. Et, bien sur, chacun sait que l'on utilise $\times$. Et, lorsque l'on répète le produit, nous utilisons l'exponentiation. En revenant à ce chapitre, nous avons maintenant une notation pour les sommes compliquées. Qu'est-ce qu'un produit compliqué ? En fait, il existe aussi une notation pour le produit. Nous utilisons la lettre capitale grecque "pi" pour noter le produit, le fonctionnement est essentiellement le même que pour le signe sigma excepté que les termes ne sont pas sommés mais multipliés. Exemple : $\prod _{h=2}^{5}2h-3$

Exercice

1.Il est connu que la factorielle est définie inductivement par :
$0!\ =\ 1$
$n!\ \times \ (n+1)\ =\ (n+1)!$
Maintenant, essayer de le définir par la notation produit.
(plus à suivre...)