Approfondissements de lycée/SE Logique

Logique

Ces solutions n'ont pas été écrites par l'auteur du reste du livre. Elles sont simplement les réponses que je pense correctes pendant ma résolution des exercises. J'espère que ces réponses seront très utiles et que les personnes corrigeront mon travail si j'ai fait des fautes.

Exercices de composition des tables de vérité

1. NAND : x NAND y = NON (x ET y)

La fonction NAND
x	y	x ET y
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

2. NOR : x NOR y = NON (x OU y)

La fonction NOR
x	y	x OU y
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

3. XOR : x XOR y est vrai si et SEULEMENT si soit x ou y est vrai.

La fonction XOR
x	y	x OR y
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Produire les tables de vérités pour : 1. xyz

x	y	z	xyz
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

2. x'y'z'

x	y	z	x'y'z'
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

3. xyz + xy'z

x	y	z	xyz + xy'z
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	0
1	1	1	1

4. xz

x	z	xz
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

5. (x + y)'

x	y	(x + y)'
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

6. x'y'

x	y	x'y'
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

7. (xy)'

x	y	(xy)'
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

8. x' + y'

x	y	x' + y'
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Exercices sur les lois d'algèbre booléenne

1.

1. z = ab'c' + ab'c + abc

${\begin{matrix}x&=&ab'c'+ab'c+abc\\&=&ab'c'+c(ab'+ab)\\&=&ab'c'+ca\end{matrix}}$

2. z = ab(c + d)

${\begin{matrix}x&=&ab(c+d)\\&=&abc+abd\\\end{matrix}}$

3. z = (a + b)(c + d + f)

${\begin{matrix}x&=&(a+b)(c+d+f)\\&=&ac+ad+af+bc+bd+bf\\\end{matrix}}$

4. z = a'c(a'bd)' + a'bc'd' + ab'c

${\begin{matrix}x&=&a'c(a'bd)'+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'c(a+(bd)')+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'ca+a'c(bd)'+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'c(b'+d')+a'bc'd'+ab'c\\&=&a'cb'+a'cd'+a'bc'd'+ab'c\\\end{matrix}}$

5. z = (a' + b)(a + b + d)d'

${\begin{matrix}x&=&(a'+b)(a+b+d)d'\\&=&(a'+b)(a+b+d)d'\\&=&(a'a+a'b+a'd+ba+bb+bd)d'\\&=&(a'b+a'd+ba+b+bd)d'\\&=&(b(a'+a)+a'd+b+bd)d'\\&=&(a'd+b+bd)d'\\&=&a'dd'+bd'+bdd'\\&=&bd'\\\end{matrix}}$

2. Montrer que x + yz est équivalent à (x + y)(x + z)

${\begin{matrix}x&=&(x+y)(x+z)\\&=&xx+yx+xz+yz\\&=&x(x+y+z)+yz\\&=&x+yz\\\end{matrix}}$

Exercices sur les implications

1. Décider si les propositions suivantes sont vraies ou fausses
   1. Si 1 + 2 = 3, alors 2 + 2 = 5
   2. Si 1 + 1 = 3, alors le poisson ne peut pas nager
2. Montrer que la paires de propositions suivante est équivalente
   1. $x\Rightarrow y$ : $y'\Rightarrow x'$