Algèbre linéaire/Matrices

Dans ce chapitre $\mathbb {K}$ désigne un corps commutatif.

Définitions

Soient n et p deux entiers naturels non nuls.

Nous appelons matrice à éléments dans $\mathbb {K}$ de type (n, p) toute application de $\{1,2,\dots ,n\}\times \{1,2,\dots ,p\}$ dans $\mathbb {K}$ (famille d'éléments de $\mathbb {K}$ indexée par $\{1,2,\dots ,n\}\times \{1,2,\dots ,p\}$), c'est à dire un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes de la forme :

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots &\dots &a_{1p}\\a_{21}&a_{22}&\dots &\dots &a_{2p}\\\vdots &\vdots &\ddots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &\dots &a_{np}\end{pmatrix}}$

où $a_{11},a_{12},\ldots ,a_{np}$ de $\mathbb {K}$ s'appellent les éléments ou les coefficients de la matrice.

Une telle matrice se note aussi $(a_{ij})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq p}$ ou plus simplement $(a_{ij})$.

L'ensemble des matrices de type (n,p) à éléments dans $\mathbb {K}$, se note ${\mathcal {M}}_{np}$.

Quand n = p, la matrice est dite carrée de dimension n.

Quand p = 1, la matrice ne comporte qu'une seule colonne de n éléments : ${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$ . On parle de vecteur.

L'ensemble des matrices carrées de type (n,n) ou d'ordre n, se note ${\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$.

Lorsque $\mathbb {K} =\mathbb {R}$ la matrice est dite réelle.

Lorsque $\mathbb {K} =\mathbb {C}$ la matrice est dite complexe.

Les éléments $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ forment la diagonale principale de la matrice.

Matrices particulières

Matrice inverse

Soit $M$ une matrice. L'inverse de $M$, si elle existe, est définie comme l'unique matrice $N$ telle que : $M\cdot N=N\cdot M=I_{n}$

Matrice transposée

Avant tout, on parle de la transposée d'une matrice. La transposée d'une matrice $M$ est notée $^{t}M$.

Elle est la matrice obtenue à partir de $M$ en inversant les ligne et les colonnes. C'est-à-dire que pour obtenir $N=^{t}M$, on a $n_{ij}=m_{ji}$ (avec $N=(n_{ij})$ et $M=(m_{ij})$)

Autre notation : $^{t}M=(m_{ji})$ notation sans renommer la transposée de $M$

Propriété : Lorsque la matrice $M$ est dite symétrique on a alors $m_{ij}=m_{ji}$, ce qui donne $^{t}M=M$

Matrice diagonale

Une matrice carrée $(a_{ij})$ est dite diagonale si tous les éléments hors de la diagonale sont nuls, c'est à dire si

$\forall (i,j)\in \{1,...,n\}^{2},i\neq j\Rightarrow a_{ij}=0$.

Une telle matrice se note ${\rm {diag}}(a_{11},a_{22},...,a_{nn})$.

L'ensemble des matrices diagonales se note ${\mathcal {D}}_{n}(\mathbb {K} )$.

Matrice triangulaire

Matrice triangulaire inférieure

Une matrice carrée $(a_{ij})$ est dite triangulaire inférieure (ou trigonale inférieure) si tous les éléments situés au-dessus de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

$\forall (i,j)\in \{1,...,n\}^{2},i<j\Rightarrow a_{ij}=0$

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire inférieure (ou strictement trigonale inférieure).

${\begin{pmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{pmatrix}}$ Une matrice triangulaire inférieure

${\begin{pmatrix}0&0&0\\2&0&0\\4&5&0\end{pmatrix}}$ Une matrice strictement triangulaire inférieure

L'ensemble des matrices triangulaires inférieures se note ${\mathcal {T}}_{n}^{-}(\mathbb {K} )$.

Matrice triangulaire supérieure

De manière analogue, une matrice carrée $(a_{ij})$ est dite triangulaire supérieure (ou trigonale supérieure) si tous les éléments situés au-dessous de la diagonale principale sont nuls, c'est à dire si

$\forall (i,j)\in \{1,...,n\}^{2},i>j\Rightarrow a_{ij}=0$

Si de plus, les éléments de la diagonale principale sont nuls la matrice est dite strictement triangulaire supérieure (ou strictement trigonale supérieure).

${\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{pmatrix}}$ Une matrice triangulaire supérieure

${\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}$ Une matrice strictement triangulaire supérieure

L'ensemble des matrices triangulaires supérieures se note ${\mathcal {T}}_{n}^{+}(\mathbb {K} )$.

Le déterminant d'une matrice triangulaire a pour valeur le produits des termes de la diagonale principale. Pour le premier exemple : det = 1 x 4 x 6 = 24

Matrice diagonale

Une matrice carrée est dite matrice diagonale lorsque $a_{ij}=0$, pour tout $i\neq j$, ce qui signifie que tous les éléments situés hors de la diagonale principale sont nuls. Si tous les éléments non nuls de la matrice diagonale sont égaux, la matrice est dite matrice scalaire.

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}}$ Une matrice diagonale

${\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$ Une matrice scalaire

Matrice identité

Une matrice identité est une matrice scalaire où $a_{ii}=1$.

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ Une matrice identité (3x3)

Lorsqu'on multiplie une matrice par la matrice identité on revient à la matrice de départ. $A_{n\times m}\bullet I_{m}=A_{n\times m}$

Matrice symétrique et anti-symétrique

• Une matrice $A$ est dite symétrique si elle est égale à sa transposée:

${}^{t}A=A$

• Une matrice $A$ est dite anti-symétrique si elle est égale à l'opposé de sa transposée:

${}^{t}A=-A$

Matrices orthogonales

M est une matrice orthogonale si

$M\,^{t}\!M=\,^{t}\!MM=1$

Le déterminant d'une matrice orthogonale est toujours 1 ou -1.

Matrices idempotentes

Ces matrices ont la propriété suivante:

$M^{2}=M$

Matrices nilpotentes

Une matrice $M$ est dite nilpotente si:

$\exists p\in \mathbb {N} :M^{p}=O$

Le déterminant d'une matrice nilpotente vaut 0.

Addition de matrices

A + B = C où A, B et C sont des matrices carrées (3,3).

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}$ + ${\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&a_{13}+b_{13}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&a_{23}+b_{23}\\a_{31}+b_{31}&a_{32}+b_{32}&a_{33}+b_{33}\end{pmatrix}}$

On additionne les éléments de même position dans chaque matrice. On ne peut additionner que des matrices de même dimension.

Pour deux matrices (n,p), l'addition matricielle se définit ainsi: $\forall (i,j)\in [1..n]\times [1..p]\quad c_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}$

Multiplication de matrices

Propriétés de la multiplication des matrices

${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}e&f\\g&h\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{pmatrix}}$

On ne peut multiplier deux matrices entre elles que si le nombre de colonnes de celle de gauche est égale au nombre de lignes de celle de droite. D'autre part, le produit de deux matrices n'est pas commutatif : $A\times B\neq B\times A$

Pour des matrices $A\in {\mathcal {M}}_{np}({\mathcal {K}})\ et\ B\in {\mathcal {M}}_{pq}({\mathcal {K}})\quad A\times B=C\ avec\ C\in {\mathcal {M}}_{(n,q)}$ , la multiplication matricielle se définit ainsi: $\forall (i,j)\in [1..n]\times [1..q]\quad c_{ij}=\sum _{k=1}^{p}a_{ik}.b_{kj}$

Elément neutre

Si $A\bullet I_{n}=A$, alors $I_{n}$ est élément neutre à droite

Si $I_{p}\bullet A=A$, alors $I_{p}$ est élément neutre à gauche