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Électricité

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Les grandeurs électriques : intensité, tension, puissance

L'électricité est un terme familier assez vague, qui correspond le plus souvent à ce que l'on appelle le courant électrique. Intuitivement, on sait que les appareils électriques ne fonctionnent pas quand il n'y a pas de courant. Pour le dire autrement, le courant électrique alimente les appareils électriques, il est l'équivalent de l'essence pour une voiture. Qu'il vienne à manquer et l’appareil cesse de fonctionner, sans pour autant tomber en panne. Il suffit de lui fournir à nouveau du courant et d'appuyer sur le bouton d'allumage pour qu'il fonctionne à nouveau. Qu'un fusible fonde ou que le courant soit coupé via un interrupteur et c'est l'arrêt total.

Vous me direz alors : mais comment mon radio-réveil peut-il fonctionner alors qu'il n'est pas branché en permanence ? Et quid de mon téléphone ? Hé bien malgré tout, ces appareils ne font pas exception à la règle : ils disposent de piles ou de batteries qui fournissent de l'énergie même quand l'appareil est débranché. Ces piles et batteries servent de sources de courant, tout comme votre prise électrique, si ce n'est qu'elles peuvent s'épuiser.

Nous n'aborderons pas dans ce chapitre la façon dont fonctionne le réseau électrique, ni comment les piles et batteries font pour stocker ou créer de l'énergie. Mais nous devons absolument expliquer ce qu'est un courant électrique, dire précisément ce qu'est ce courant, dépasser sa compréhension intuitive. Et cela demande d'utiliser des concepts physiques assez abstraits, comme la charge électrique.

Les charges électriques

Attraction et répulsion magnétique entre deux aimants selon l'orientation de leurs pôles.

Comme vous le savez déjà, la matière est composée d'atomes, eux-même formés à partir de neutrons, de protons et d'électrons. Certaines de ces particules possèdent une propriété appelée la charge électrique, qui fait qu'elles vont s'attirer ou se repousser. Cette attraction ou répulsion entre deux particules chargées peut se comprendre assez intuitivement en faisant une analogie avec des aimants, le magnétisme ayant des propriétés similaires à celles de l'électricité (les deux sont d'ailleurs assez liés, mais passons ce détail). Deux aimants peuvent s'attirer ou se repousser selon les pôles magnétiques en jeu : deux pôles nord vont se repousser, de même que deux pôles sud, alors qu'un pôle nord et un pôle sud vont s'attirer. La charge électrique est l'équivalent électrique des pôles magnétiques, avec quelques différences.

Pour l'électricité, on ne parle pas de charge nord ou sud, mais de charge positive ou négative. Par exemple, les électrons ont une charge dite négative, alors que les protons ont une charge positive et les neutrons une charge nulle (ils ne sont pas sensibles aux autres charges). Comme pour les pôles des aimants, la différence entre une charge positive et une charge négative tient à la manière dont elles vont se repousser ou s'attirer. Si on met une particule chargée positivement à proximité d'une particule à charge négative, les deux vont s'attirer mutuellement. Par contre, deux charges positives vont se repousser, de même que deux charges négatives. On peut résumer ce comportement en disant que deux charges de même signes se repoussent, alors que deux charges de signes opposés s'attirent. C'est là tout ce qui fait la définition de la charge électrique.

Deux charges électriques de signes opposées s'attirent.

Deux charges de même signe se repoussent.

Il faut noter que la charge électrique est une quantité conservée, au même titre que l'énergie. S'il est parfaitement possible de déplacer des charges ou d'en échanger, on ne peut cependant ni en créer ni en détruire. On peut reformuler cette loi de diverses façons, mais celle qui va suivre est intéressante à étudier. Prenons un volume délimité par une surface, les deux étant fixés une bonne fois pour toute. Si la quantité de charges dans le volume change, cela signifie que des charges sont entrées à l'intérieur en traversant la surface. Et inversement, si le volume perd des charges, c'est que celles-ci sont sorties du volume en traversant la surface. Si la quantité de charges reste la même, alors c'est le signe qu'il n'y a pas d'échange de charges à travers la surface : aucune charge ne la traverse ou il y a autant de charges qui entrent que de charges qui sortent.

Les unités de charge électrique

La charge est, comme beaucoup de paramètres physiques, mesurable : on peut la représenter par un nombre. Et qui dit mesure dit unité de mesure ! La charge se mesure avec une unité appelée le coulomb, noté C. Cette unité a cependant le défaut de ne pas être une unité de base : on doit la dériver à partir des unités de courant et de temps. Sa définition fait notamment intervenir les unités de courant, que nous n'avons pas encore abordées.

Fait étrange, les charges électriques des particules sont toutes des multiples d'une quantité élémentaire de charge, égale à la charge du proton et de l'électron. En termes techniques, on dit que la charge électrique est quantifiée, ce qui signifie qu'elle ne peut prendre que certaines valeurs bien précises, qu'elle évolue par paliers. Cette propriété a été établie par l'expérience de la goutte d'huile de Millikan, que nous n'aborderons pas ici. La charge élémentaire, celle de l’électron, est notée $e$ et vaut :

$e=1{,}602\,176\,6208(98)\times 10^{-19}\;\mathrm {C}$

La charge élémentaire permet de fabriquer d'autres unités de charge, la plus connue étant la constante de Faraday. Elle représente la charge qu'aurait une mole si tous ses atomes possédaient une charge $e$, ce qui fait qu'elle s'exprime en coulombs par mole. Dit autrement, elle se calcule en faisant le produit de la charge $e$ par le nombre d'Avogadro $N_{\mathrm {A} }$.

$F=e\times N_{\mathrm {A} }\approx 96\,485,33289\;{\rm {C/mol}}$

La densité de charges

La charge totale dans un matériau est généralement proportionnelle à son volume. Par exemple, il y a deux fois plus de charges dans 2 mètre-cube de Fer que dans un seul mètre-cube. Ce qui fait qu'on peut, comme pour la masse, définir une certaine densité de charge dans le matériau. La densité de charge est la charge totale divisée par le volume, la charge par unité de volume. Elle est notée $\rho _{e}$. La charge totale d'un volume V est donc égal à :

$Q=\rho _{e}\cdot V$

La densité de charge n'est pas le nombre de particules chargées par unité de volume. Les deux concepts se confondent quand chaque particule chargée a la charge élémentaire e. Mais il se peut que certaines ou toutes les particules chargées aient une charge de 2e, 3e, voire plus. Par exemple, prenons le cas où un solide contienne N ions par unité de volume, chacun ayant une charge de 3 fois la charge élémentaire q. Dans ce cas, la densité de charge n'est pas de N, mais de 3N. La densité de charge compte la charge totale divisée par le volume, et non pas le nombre de charge par unité de volume. Les deux sont liées par l'équation suivante :

$\rho _{e}=n\cdot q$, avec n le nombre de particules chargées par unité de volume

Le courant électrique

Un courant électrique n'est rien de plus qu'un déplacement de charges électriques. Les charges électriques sont en effet rarement immobiles et peuvent se déplacer plus ou moins vite. Il faut naturellement leur donner de l'énergie pour les faire bouger et leur donner une vitesse, mais laissons cela à plus tard. Ce qui fait qu'un courant peut transmettre de l'électricité : l'énergie cinétique des charges est utilisée par les appareils électriques comme source d'énergie.

Petite précision : des mouvements aléatoires de charges isolées ne donnent pas de courants électriques facilement exploitables. Les charges des solides sont en effet en mouvement perpétuel : elles oscillent autour d'une position d'équilibre fixe, leurs vibrations étant cependant assez faibles en temps normal. De tels mouvements, causés par la température, donnent des courants dits thermiques, qui ne sont pas étudiés par les électriciens. Dans ce cours, nous allons parler de courant électrique quand des charges se déplacent toutes dans le même sens, dans un mouvement ordonné.

L'intensité d'un courant

Définition de l'intensité d'un courant.

L'intensité d'un courant correspond au débit de ses charges électriques, au flux de ses électrons à travers le fil. Pour mieux comprendre cette définition, nous allons prendre le cas d'un courant qui se déplace dans un fil cylindrique. Nous allons prendre une section S, perpendiculaire au fil. L'intensité est égale au nombre de charges qui passent dans cette section, par unité de temps. Si on prend un temps $\Delta t$, le nombre de charges qui traverseront cette section sera égal à $\Delta Q$. L'intensité du courant, notée $I$, est par définition :

$I={\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$

L'unité de mesure de l'intensité est appelée l'ampère, elle est égale à un coulomb par seconde. L'intensité se mesure avec un ampèremètre, un appareil électrique que nous étudierons plus loin dans le cours.

La densité de courant

Analogie hydraulique de la résistance.

L'intensité se calcule sur toute la section d'un fil conducteur, ce qui peut biaiser quelque peu les résultats. Dans le détail, chaque unité de surface peut faire passer un certain nombre de charges par unité de temps. Par exemple, un cm² de section peut faire passer 1 000 électrons par secondes (les valeurs ne sont pas réalistes). Ce faisant, on double le flux de charges en doublant la surface. Ce qui fait qu'on peut faire passer plus d'électrons sur 4 cm² que sur 2 cm², par unité de temps. De manière générale, plus la section d'un fil est grande, plus grand est le nombre d'électrons qui peuvent passer par la section à chaque instant et plus l'intensité est importante.

On peut comprendre assez facilement cet effet avec une analogie hydraulique, où on remplace le courant électrique par un courant d'eau, les deux étant analogues si on ne regarde pas trop près. Plus la section du conduit est grande, plus l'eau passera facilement, comme le schéma sur votre droite le montre.

Pour éliminer l'influence de la section, on peut calculer le rapport entre l'intensité du courant et la section du fil. Ce rapport donne le flux de charge par unité de surface, qui est appelé la densité de courant. Elle est notée $j$ et se mesure en ampères par mètres-carrés.

$j={\frac {I}{S}}={\frac {1}{S}}{\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$

La vitesse des charges

Intuitivement, l'intensité est proportionnelle à la vitesse des charges : plus elles vont vite, plus leur flux est important. On peut comprendre cela en remplaçant les charges par de l'eau : plus l'eau va vite dans un circuit hydraulique, plus le débit est important. Et on peut facilement démontrer que l'intensité du courant est proportionnelle à la vitesse des charges.

Pour obtenir la quantité de charges qui parcourt la section durant un temps $dt$, on peut raisonner de deux manières équivalentes. On peut imaginer que les charges se déplacent de manière uniforme dans le conducteur et balayent un certain volume durant un temps $dt$. En multipliant la densité de charges par ce volume, on trouve la quantité de charges qui a traversé le fil durant un temps $dt$, soit l'intensité. Une autre façon, plus intuitive, est d'utiliser le principe de relativité. On considère que les charges sont immobiles et que c'est la section qui se déplace à la vitesse $v$. nous allons prendre la seconde méthode, mais les deux donnent le même résultat.

Durant un temps $dt$, la section parcourt une longueur $dl$ égale à :

$dl=v\cdot dt$

Multiplions cette longueur par la surface de la section pour obtenir le volume $V$ balayée par la surface durant le temps $\Delta t$.

$V=S\cdot v\cdot dt$

En appliquant la formule $Q=\rho _{e}\cdot V$, on obtient le nombre $Q$ de charges qui traversent la section par seconde.

$Q=\rho _{e}\cdot S\cdot v\cdot dt$

On peut alors calculer l'intensité en divisant par la durée de la mesure $dt$. On voit alors que l'intensité du courant est proportionnelle à la densité de charges, à la section du fil et à la vitesse des charges.

$I=\rho _{e}\cdot S\cdot v$

On peut aussi calculer la densité de courant en divisant par la section du fil. On voit alors que celle-ci est proportionnelle à la densité de charges et à leur vitesse.

$j=\rho _{e}\cdot v$

La tension électrique

La tension électrique, souvent confondue avec ce qu'on appelle la différence de potentiel, est une notion assez abstraite et plutôt compliquée à comprendre. Dans les petites classes, la tension est souvent rapidement survolée, seuls les cours de l'enseignement supérieur ou du lycée l'expliquent en détail. La tension est un concept assez lié à l'énergie électrique, à l'énergie qu'ont les charges. Sa définition complète devrait faire intervenir des concepts de haute volée comme le champ électrique, voire électromagnétique, mais nous n'irons pas aussi loin dans ce cours. Pour simplifier, il s'agit de quelque chose qui va pousser les charges électriques à se déplacer, quelque chose qui crée un courant. Les charges qui sont soumises à une tension vont subir une force qui les poussera à se déplacer dans le même sens que la tension.

La tension se mesure avec un appareil appelé un voltmètre, que nous étudierons plus loin dans ce cours. L'unité de la tension est le volt, une unité égale à un joule divisé par un coulomb (une unité d'énergie divisée par une unité de charge). On voit donc qu'il s'agit d'une unité d'énergie divisée par une charge, ce qui nous donne des indices sur son origine.

L'énergie potentielle électrostatique

La gravité et l'électricité sont semblables en ce sens qu'elles agissent en tout point de l'espace. Les charges s'attirent et se repoussent, ce qui donne de l'énergie électrique à chaque particule. Une charge placée à un endroit précis aura une énergie électrique qui dépend de cet endroit, qui porte le nom d'énergie potentielle électrostatique. En déplaçant la charge d'un endroit à un autre, l'énergie électrique de la charge change, le plus souvent pour se transformer en énergie cinétique. Fait intéressant, l'énergie électrique ne dépend que de la position de la charge. Pour résumer, une charge a systématiquement une énergie électrique qui dépend uniquement de sa position.

La tension est la différence entre deux points des énergies potentielles, divisée par la charge. Si on prend une charge au point A, que l'on déplace au point B, la charge va gagner ou perdre une énergie $\Delta E$. La tension est cette différence d'énergie divisée par la charge.

$U={\frac {\Delta E}{Q}}={\frac {E_{a}-E_{b}}{Q}}$

Les charges tendent à minimiser leur énergie potentielle, ce qui les pousse à se déplacer vers les points de plus faible énergie potentielle. Ce mouvement des charges vers le point de potentiel bas se traduit par un courant électrique. Voilà qui fait le lien avec l'explication précédente : la tension met bien en mouvement les charges et crée bien un courant.

Le potentiel électrique

La tension elle-même se définit à partir de ce qu'on appelle le potentiel électrique, parfois simplement nommé "potentiel". Certains professeurs expliquent ce qu'est ce potentiel en faisant appel à une analogie entre l'électricité et la gravité. Il faut dire que les deux champs ont de nombreuses ressemblances et peuvent se modéliser avec des outils mathématiques identiques (des champs, pour ceux qui savent). On peut ainsi comparer la masse et la charge électrique : la masse est à la gravité ce que la charge est à l'électricité. Il s'agit dans les deux cas d'une propriété qui dit comment deux corps vont s'attirer ou se repousser, la principale différence étant que la masse est toujours positive tandis que la charge peut être négative. Le potentiel est à l'électricité ce que l'altitude est à la gravité. Si on place un corps à une certaine altitude, sans rien en-dessous, il va chuter vers l'altitude la plus basse possible. C'est sa masse qui est à l'origine de ce comportement : le corps massif est soumis à la force de gravité qui le déplace vers les altitudes les plus basses. Sous l'influence de la gravité, les corps chutent. Pour l'électricité, c'est la même chose : les charges sont soumises à une force électrique, tout comme les corps massifs sont soumis à la gravité. Sous l'influence de cette force, ils se déplacent vers les endroits où le potentiel est le plus petit, le plus bas. Ce comportement ne touche que les corps chargés électriquement, les autres n'étant pas soumis à la force électrique.

Une définition plus précise du potentiel fait intervenir l'énergie potentielle vue auparavant. En effet, le fait que l'énergie ne dépend que de la position a une conséquence assez intéressante. Pour détailler, déplaçons une charge suivant un chemin fermé, à savoir une trajectoire qui revient au point de départ. Si on déplace une charge sur ce chemin fermé, de manière qu'elle revienne à sa position initiale, son énergie ne change pas entre avant et après le déplacement. Grâce à cette contrainte, divers théorèmes mathématiques nous disent qu'il existe une relation de proportionnalité entre charge et énergie potentielle électrique. Le coefficient de proportionnalité est appelée potentiel électrique. En tout point de l'espace, on trouve un potentiel électrique noté $V$. Au passage, certains cours utilisent des notations différentes et n'hésitent pas à noter U pour le potentiel ou V pour la tension. L'énergie potentielle électrostatique $E$ de la charge $Q$ est égale à ce potentiel multiplié par la charge électrique :

$E=V\times Q$

On peut reformuler la définition de la tension avec ce potentiel électrique. Une tension se mesure entre deux points et n'est autre que la différence de potentiel $\Delta V$ entre ces deux points. De plus, la tension est une valeur qui a une direction qui n'est autre que la direction du courant qu'elle induit. Pour le dire autrement, la tension va du potentiel le plus haut vers le potentiel le plus bas. Si on a un potentiel $V_{a}$ en un point $A$ et un potentiel $V_{b}$ en un point $B$, la tension entre ces deux points vaut :

$U_{a-b}={\frac {\Delta E}{Q}}={\frac {E_{a}-E_{b}}{Q}}={\frac {E_{a}}{Q}}-{\frac {E_{b}}{Q}}=V_{a}-V_{b}=\Delta V$

Le potentiel n'est défini qu'à une constante près, à savoir que l'on peut lui ajouter une constante en tout point de l'espace sans que cela ait la moindre conséquence, sans changer la physique. Seules les différences de potentiel comptent. Si l'on augmente le potentiel de deux points de la même manière, les différences de potentiel entre eux ne changent pas. Les calculs qui font intervenir une tension peuvent aussi bien être vus comme faisant intervenir des valeurs absolues de potentiels, sans que cela change la physique. Il en résulte que confondre tension et potentiel n'est pas si grave dans les calculs et ne devrait pas avoir de répercussions. D'ailleurs , certains cours notent la tension ou le potentiel avec la même lettre et entretiennent une légère confusion entre les deux concepts. Ce choix n'est pas tellement faux ni même contestable. Néanmoins, nous ne ferons pas cette erreur dans le cours, en distinguant bien les notations.

Passons maintenant à une seconde remarque, beaucoup plus importante. La tension entre deux points A et B ne dépend pas du chemin suivi pour aller de A vers B. Par exemple, prenons une charge placée au point A et déplaçons là au point B. Elle va gagner de l'énergie électrique en passant de A à B mais cette énergie ne dépendra pas du chemin suivi. Elle sera la même pour un chemin en ligne droite que pour des chemins tortueux et sinueux. Dit autrement : la tension entre deux points ne dépend pas du chemin suivi.

Le champ électrique

Relation entre tension et champ électrique.

On vient de voir que la tension se mesure entre deux points, lesquels sont naturellement séparés par une distance. Le rapport entre la tension et cette distance est une grandeur physique assez importante qu'il vaut mieux étudier. Pour introduire cette notion, prenons deux points a et b, placés sur un fil électrique, séparés par une distance $\Delta l$, ce rapport vaut :

${\frac {U_{a-b}}{\Delta l}}=-{\frac {\Delta V}{\Delta l}}$

Si on prend la limite de cette valeur pour une distance tendant vers zéro, on trouve le rapport suivant, appelé le champ électrique, noté $E$. Celui-ci n'est autre que la variation de potentiel obtenue en se déplaçant d'une distance $dl$.

$E=-{\frac {dV}{dl}}$

Cette définition se généralise aussi en trois dimensions, à la différence près que le champ électrique peut être représenté par un vecteur. Chaque composante de ce vecteur est le champ calculé lors d'un déplacement de coordonnées ${\vec {x}}=\left(dx,dy,dz\right)$.

${\vec {E}}=-\nabla V=-\left({\frac {dV}{dx}},{\frac {dV}{dy}},{\frac {dV}{dz}}\right)$

La force électrique

Force électrique à laquelle sont soumises des charges dans un champ électrique.

Électron soumis à une force électrique.

L'intérêt du champ électrique est qu'il permet de calculer la force subie par une charge électrique. Imaginons qu'on place une charge sur un fil électrique en un point A et que celle-ci se déplace jusqu'à un point B, les deux points étant séparés par la distance L. L'énergie produite/dépensée par ce déplacement est de :

$E=Q\cdot U=Q\cdot \left(V_{a}-V_{b}\right)$

Par définition, cette énergie est égale au produit de la force moyenne par la distance parcourue. Dit autrement, l'énergie n'est autre que le travail mécanique $W=F\cdot {\vec {dr}}$ dépensé ou produit par le déplacement de la charge. En divisant cette énergie par la distance, on trouve :

$F={\frac {E}{L}}={\frac {Q\cdot U}{L}}=Q\cdot {\frac {U}{L}}=Q\cdot E$

Si on prend deux points infiniment proches l'un de l'autre, on peut remplacer le ratio ${\frac {U}{L}}$ par sa dérivée, ce qui donne :

$F=Q\cdot {\frac {dU}{dL}}=Q\cdot E$

En généralisant en trois dimensions, on trouve l'équation suivante :

${\vec {F}}=Q\cdot {\vec {E}}$

On peut prendre cette définition dans le sens inverse, ce qui permet de calculer la tension entre deux points à partir du champ ou de la force électrique. Pour cela, il faut d'abord calculer le travail qu'opère la force électrique pour déplacer la charge d'une borne à l'autre. Il suffit alors de diviser par la charge pour obtenir la tension.

$U={\frac {W_{A\rightarrow B}}{Q}}={\frac {1}{Q}}\left(\int _{A}^{B}{\vec {F}}\cdot {\vec {dl}}\right)={\frac {1}{Q}}\left(Q\cdot \int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}\right)=\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot {\vec {dl}}$

La puissance électrique

Quel que soit le composant électrique dont nous parlerons dans ce cours, il va de soi que celui-ci produit de l'énergie électrique ou en consomme pour fonctionner. Dans les deux cas, de l'énergie électrique est produite ou consommée/utilisée. Cette consommation ou production se fait à un certain rythme : une quantité précise d'énergie est produite ou consommée à chaque seconde. Ce rythme en question est en quelque sorte le débit de l'énergie, le débit à laquelle elle est consommée ou produite. Les physiciens lui ont donné le nom de puissance électrique. Il s'agit de l'énergie produite ou consommée par unité de temps. Sa définition mathématique est le rapport suivant, avec $\Delta E$ l'énergie produite ou consommée durant une durée $\Delta t$ :

$P={\frac {\Delta E}{\Delta t}}$

La puissance se mesure en watts, une unité égale à un joule (unité d'énergie) divisée par une seconde.

Relation entre puissance, tension et intensité.

Il se trouve que la puissance a un rapport assez important avec la tension et l'intensité. En effet, l'énergie E dans la formule plus haut est de l'énergie électrique, à savoir l'énergie qu'il faut pour déplacer Q charges d'un point A à un point B, points entre lesquels il existe une tension U. Par définition, cette énergie est le produit de la tension par la charge. Elle est indépendante du temps mis pour déplacer les charges.

$E=U\times Q$

Pour calculer la puissance instantanée dépensée pour déplacer les charges, il faut prendre la dérivée par rapport au temps :

${\frac {\Delta E}{\Delta t}}={\frac {\Delta (U\times Q)}{\Delta t}}$

On suppose la tension constante, ce qui permet de la sortir de la dérivée :

${\frac {\Delta E}{\Delta t}}=U\times {\frac {\Delta Q}{\Delta t}}$

Le dernier terme est l'intensité, le premier est la puissance. En faisant le remplacement, on a :

$P=U\times I$

Le passage du courant dans un solide : la résistance

Le courant électrique peut se déplacer dans le vide, mais il peut aussi traverser des solides, des liquides, des gaz ou toute autre forme de matière. Mais tous les matériaux ne laissent pas passer le courant de la même manière. Il est intéressant de voir comment les solides et autres matériaux réagissent au courant électrique. Dans ce qui va suivre, nous allons d'abord voir la différence entre isolants et conducteurs, avant de voir dans quel sens se propage le courant dans le matériau. Nous allons aussi voir une propriété électrique particulièrement importante : la résistance.

Les conducteurs et isolants

Il semble évident que les charges n'ont aucune difficulté à se déplacer dans le vide. Mais les matériaux solides, liquides ou gazeux ne sont pas dans le même cas. Certains peuvent laisser les charges les traverser facilement, tandis que d'autres vont opposer une résistance au déplacement des charges. Cette différence de comportement est appelée la conductibilité : plus un matériau se laisse traverser par les charges, plus il est conducteur. En théorie, cette conductibilité est un paramètre continu, allant entre deux extrêmes : d'un côté le vide qui n’entraîne aucune résistance et de l'autre les isolants parfaits qui ne laissent passer aucun courant. Mais en pratique, et malgré l'existence de ce continuum, les physiciens classent les matériaux en quelques catégories assez simples : les matériaux conducteurs, isolants, supraconducteurs et semi-conducteurs.

Type de matériau	Conductibilité	Description	Exemple
Isolants, aussi appelés diélectriques	Conductibilité nulle	Le courant ne passe pas, quelle que soit la situation.	Verre, bois, certains plastiques, autres.
Semi-conducteurs	Conductibilité variable selon la situation.	Le courant ne passe pas en temps normal, mais traverse le matériau quand on l'éclaire ou qu'on le chauffe.	Silicium, Germanium, autres.
Conducteurs	Conductibilité importante.	Le courant passe quelle que soit la situation, dans une certaine mesure.	Métaux, eau (non-pure), etc.
Supraconducteur	Conductibilité maximale, infinie.	Ces matériaux n'opposent aucune résistance au passage du courant.	Hélium liquide, quelques céramiques à basse température, etc.

Les sous-types de conducteurs

De nombreux matériaux sont d’excellents conducteurs et laissent le courant les traverser très facilement, bien plus que pour les autres conducteurs. On peut les classer en deux types : les métaux et les solutions conductrices appelées électrolytes. Les métaux conducteurs les plus connus sont le fer, l'argent, le cuivre, l'or, le mercure ou l'aluminium. Les électrolytes sont moins utilisés, mais certains sont très connus, le cas le plus intuitif étant de loin l'eau.

Les semi-conducteurs sont des intermédiaires entre les isolants et les conducteurs "vrais". Tous les semi-conducteurs ont une résistance qui diminue quand on les chauffe, plus rarement quand on les déforme ou qu'on les soumet à un fort champ électrique. Et cette diminution de résistance est suffisante pour les faire passer d'isolants à conducteurs. Dans le cas des semi-conducteurs intrinsèques, la résistance diminue uniquement en fonction de la température, quand on les chauffe. Mais il existe aussi des semi-conducteurs extrinsèques, dont la résistance varie indépendamment de la température. De nos jours, les semi-conducteurs intrinsèques sont peu utilisés dans la fabrication de composants électriques/électroniques. Il faut dire qu'il faut les porter à haute température pour qu'ils deviennent conducteurs, parfois au-delà de la centaine de degrés. Les semi-conducteurs extrinsèques n'ont pas ce problème, ce qui les rend plus facilement utilisables. L'électronique est friande de semi-conducteurs, qui forment la base de certains composants comme les diodes ou les transistors. Sans eux, pas d'ordinateurs, pas de téléphones portables, pas de consoles de jeux. Le plus utilisé dans les circuits électroniques est de loin le Silicium. Il faut dire qu'il s'agit d'un matériau abondant à la surface de la Terre, qui est d'ailleurs le composant majeur de la croute terrestre, à hauteur de 60%.

Les supraconducteurs ne sont utilisés que dans des circonstances très particulières, qui demandent des investissements conséquents. Le fait est que les supraconducteurs connus ne fonctionnent qu'à de très basses températures, proches du zéro absolu (-273.15°c). Au-delà, ils cessent d'être supraconducteurs et deviennent soit isolants, soit simples conducteurs. Les raisons à cela sont très complexes et font intervenir la physique quantique et la physique du solide. Toujours est-il que l'on ne peut pas les utiliser sans un système de refroidissement onéreux et impraticable. Les physiciens cherchent cependant à comprendre le phénomène de supraconductivité, afin d'obtenir des supraconducteurs à température ambiante. Mais sans succès pour le moment.

Les porteurs de charges

Les conducteurs le sont parce qu'ils contiennent des charges qui peuvent se déplacer librement dans le matériau. Ces charges libres, appelées porteurs de charge, peuvent être mises en mouvement sous l'effet d'une force quelconque, et former ainsi des courants électriques. Plus un conducteur est riche en porteurs de charge, plus sa conductibilité sera importante. Les isolants ne possèdent aucun porteur de charge. Leur absence fait que le courant ne peut pas traverser le matériau : si on met une tension aux extrémités d'un diélectrique, le courant ne traverse pas l'isolant. Pour être un isolant, les électrons doivent tous faire partie d'atomes, ils ne doivent pas être libres de leurs mouvements. Même chose pour les ions, qui ne doivent pas pouvoir s'éloigner de leur position d'équilibre dans le cristal/solide.

Dans les métaux, les porteurs de charge sont des électrons, séparés des atomes, qui portent le nom d'électrons libres. Le passage d'un courant dans un métal fait donc intervenir des flux d'électrons libres dans le métal, à savoir un courant de charges négatives.

Dans les semi-conducteurs, ce sont aussi des électrons qui se déplacent. Au repos, les semi-conducteurs ne contiennent presque pas de porteurs de charges, tout du moins pas assez pour être conducteurs. Ils se comportent donc comme des isolants. Quand on les chauffe/déforme/..., les électrons des atomes vont acquérir de l'énergie, suffisamment pour qu'ils se séparent des atomes. Ces électrons vont alors pouvoir circuler librement dans le matériau et servir de porteurs de charges. Ils deviennent donc conducteurs. Ce phénomène a aussi lieu dans les conducteurs et les isolants normaux, à la différence que l'énergie pour arracher les électrons n'est pas la même. Dans les isolants, il faut fournir beaucoup plus d'énergie pour arracher les électrons aux atomes, comparé à ce qui est demandé à un semi-conducteur. Là où il faudrait des températures proches du point de fusion pour rendre un isolant conducteur, les semi-conducteurs le deviennent à des températures beaucoup plus basses. Pour les conducteurs, il existe déjà des électrons libres qui servent de porteurs de charges.

Dans les électrolytes, le courant est composé non d'électrons, mais d'ions (des atomes auxquels on a enlevé ou ajouté des électrons). Il n'est pas rare que les électrolytes contiennent à la fois des charges positives et des charges négatives. Le courant est alors composé d'un courant de charges négatives et d'un second courant de charges positives. À ce propos, l'eau pure n'est pas franchement conductrice, vu qu'elle ne contient que des molécules d'eau et absolument aucun ion. L'eau normale, celle que l'on boit tous les jours, contient des ions dissous qui la rendent conductrice. On y trouve toujours des ions sodium, calcium, potassium, et bien d'autres. Pour l'eau salée, le sel (qui est, rappelons-le, du chlorure de sodium) peut se dissoudre en ions sodium et chlore qui rendent l'eau encore plus conductrice que la normale. Les ions chlore et sodium peuvent se déplacer librement dans l'eau, ce qui permet de transmettre un courant. Pour résumer, l'eau salée conduit mieux l'électricité que l'eau normale, vu qu'elle contient plus d'ions.

Conducteur électrolytique.

La résistance et la conductance

On vient tout juste de le voir, un conducteur va laisser plus ou moins bien passer un courant. Cette propriété a reçu un nom de la part des physiciens et techniciens : ils l’appellent la résistance électrique. Plus un matériau s'oppose au passage d'un courant, plus sa résistance électrique est grande. Définir la résistance d'un appareil électrique ou d'un morceau de conducteur est assez simple. Il suffit de placer une tension à ses extrémités et de mesurer le courant qui le traverse. La résistance n’est autre que le rapport entre la tension et le courant.

$R={\frac {U}{I}}$

La conductance est une quantité directement dérivée de la résistance : c'est son inverse ! Son utilité principale est de simplifier certains calculs.

$G={\frac {1}{R}}={\frac {I}{U}}$

L'ohm et le siemens

La résistance est souvent notée avec la lettre R et elle se mesure en ohms ($\Omega$). Un ohm est égal à un volt divisé par un ampère.

$1\Omega ={\frac {1V}{1A}}$

Quant à la conductance, elle se note avec la lettre G et est mesurée en siemens. Un siemens est égal à l'inverse d'un ohm, à savoir que cela vaut un ampère divisé par un volt.

$1S={\frac {1}{1\Omega }}={\frac {1A}{1V}}$

La loi d'Ohm

Loi d'Ohm - liste des formulations possibles.

La définition de la résistance peut aussi se reformuler sous la forme de l'équation suivante, connue sous le nom de loi d'Ohm. Cette loi est de loin une des plus importantes de ce cours. C'est de loin une des trois lois de base de l’électricité. Vous devez donc la connaitre par cœur pour poursuivre la lecture. Le schéma de droite donne toutes les équations dérivées de cette loi d'Ohm, toutes ses reformulations.

$U=R\cdot I$

$I=G\cdot U$

Il faut noter que la résistance et la conductance ne valent que quand on alimente le conducteur avec un courant et une tension constants. Quand on utilise un courant et une tension variables, la relation entre tension et intensité n'est pas linéaire/proportionnelle. Il existe bien une relation entre tension et intensité, mais celle-ci fait intervenir deux autres paramètres appelés capacité et inductance. De plus, l'équation entre intensité et tension fait intervenir des calculs assez compliqués comme des dérivées et des intégrales.

La puissance dissipée par un courant dans un conducteur

Équations obtenues en combinant la loi d'Ohm avec la définition de la puissance.

Tout courant qui parcourt un conducteur va rencontrer de la résistance, qui va lui faire perdre son énergie sous forme d'énergie thermique. Le fait que les conducteurs chauffent quand ils sont parcourus dans un courant porte un nom : c'est l'effet Joule. On peut calculer la puissance ainsi perdue en utilisant la relation vue il y a quelques chapitres :

$P=U\cdot I$

On peut alors utiliser la loi d'Ohm pour déterminer la tension aux bornes de la résistance. Celle-ci vaut, par définition : $U=R\times I$. En faisant le remplacement, on a :

$P=R\cdot I^{2}={\frac {U^{2}}{R}}$

Bien d'autres formules peuvent être déduites en combinant la loi d'Ohm et la définition de la résistance. Celles-ci sont résumées dans le cadrant à votre droite.

La résistivité et la conductivité

La résistance et la conductance dépendent non seulement du matériau, mais aussi du volume du bloc de conducteur. Pour nous faire comprendre, nous allons prendre deux fils composés du même matériau, mais qui ont un diamètre ou une longueur différente. Ces deux fils n'ont pas forcément la même résistance. Par exemple, prenons deux fils de même diamètre : le fil le plus long aura une résistance supérieure. Intuitivement, cela se comprend : plus le fil est long, plus le courant devra traverser de matériau conducteur et plus la résistance sera grande. Même chose pour des fils de même longueur, mais de diamètre/section différentes. Dans ce cas, la résistance dépend inversement de la section : plus elle est petite, plus la résistance est grande.

Analogie hydraulique de la résistance.

Ces deux effets sont plus faciles à comprendre avec une analogie hydraulique. Premièrement, remplaçons le courant par un flux d'eau, ce qui est assez logique pour ce dernier : entre un flux d'électrons et un flux de molécules d'eau, il n'y a qu'un pas. La résistance est alors analogue à un conduit hydraulique qui est parcouru par le flux d'eau. Ce conduit a une résistance hydraulique qui traduit le fait que le conduit oppose une résistance au passage de l'eau. Cette résistance hydraulique provient des frottements de l'eau sur les parois, ce qui est un point de différence avec le flux des électrons dans un conducteur, mais passons ce détail sous silence. Plus le conduit est long, plus les frottements ralentiront le flux d'eau et augmenteront la résistance hydraulique. Pour l'électricité, c'est la même chose : la longueur du fil augmente la résistance électrique. Ensuite, plus la section du conduit est grande, plus le courant aura une intensité importante, comme on l'a vu dans la section sur la densité de courant. Dans les deux cas, le schéma sur votre droite illustre ces deux effets.

Définitions de la résistivité et la conductivité

Il est possible de définir une valeur, similaire à la résistance, mais indépendante de la longueur du fil ou de son diamètre. Cette grandeur porte le nom de résistivité électrique et son inverse est appelée la conductivité électrique. Il s'agit d'une résistance par unité de longueur et par unité de surface (ou d'une conductance, pour la conductivité). Il est raisonnable de supposer que la résistance est proportionnelle à la longueur du fil, ainsi qu'inversement proportionnelle à sa section. Dans ce cas, on peut définir la résistivité avec cette équation, où :

• $\rho$ est la résistivité ;
• $\sigma$ est la conductivité ;
• $l$ est la longueur du fil ;
• $s$ est la section du fil.

$R=\rho \cdot {\frac {l}{s}}={\frac {1}{\sigma }}\cdot {\frac {l}{s}}$

Illustration de la notion de résistivité.

La loi d'Ohm locale

Il faut noter que l'on peut reformuler la loi d'Ohm en utilisant la résistivité, la densité de courant et le champ électrique. Pour cela, partons de la loi d'Ohm :

$U=R\cdot I$

On injecte alors les relations $R=\rho \cdot {\frac {L}{S}}$ et $I=j\cdot S$.

$U=\rho \cdot {\frac {L}{S}}\cdot \left(j\cdot S\right)=\rho \cdot j\cdot L$

Ce qui se reformule en :

${\frac {U}{L}}=\rho \cdot j$

Le terme de gauche n'est autre que le champ électrique, ce qui donne :

$E=\rho \cdot j$

On peut réorganiser les termes pour mettre en avant le courant :

$j=\sigma \cdot E={\frac {E}{\rho }}$

On obtient alors une formulation assez générale de la loi d'Ohm, appelée loi d'Ohm locale. Celle-ci est identique à la loi d'Ohm normale, si ce n'est qu'on a remplacé la tension par le champ électrique, l'intensité par la densité de courant et la résistance par la résistivité/conductivité.

La physique de la conductivité et de la résistance

Expliquer l'origine de la résistance revient à expliquer pourquoi la vitesse des charges est proportionnelle au champ électrique dans un matériau, quelle est l'origine de la mobilité des porteurs de charge. Divers modèles ont été inventés pour expliquer ce comportement, mais il ne peut pas exister un modèle général de la conductivité. En effet, les mécanismes de la conduction électrique sont différents selon que l'on parle d'un métal, d'un électrolyte, d'un semi-conducteur, ou d'un autre matériau. Parmi les théories inventées par les physiciens, certaines ne valent que pour les métaux, d'autres fonctionnent pour les matériaux solides, d'autres seulement pour les électrolytes, etc. Le plus simple est de loin le modèle de Drude, qui explique pas trop mal la résistance des métaux malgré son côté extrêmement rudimentaire. Mais il n'est pas le seul et d'autres modèles bien plus complexes existent. Quel dommage qu'ils utilisent tous la physique quantique : nous ne pouvons donc pas en parler dans ce cours...

La mobilité : le lien entre champ électrique et vitesse des charges

À ce propos, rappelons que la densité de courant dans un conducteur est égale à :

$j=\rho _{e}\cdot v$, avec v la vitesse des charges et $\rho _{e}$ la densité de charge (la charge électrique par unité de volume).

En combinant avec la loi d'Ohm locale $j=\sigma \cdot E$, on trouve :

$\rho _{e}\cdot v=\sigma \cdot E$

On peut isoler la vitesse des électrons :

$v={\frac {\sigma }{\rho _{e}}}\cdot E$

On voit que la vitesse des charges est proportionnelle au champ électrique. Le coefficient de proportionnalité est appelé la mobilité des porteurs de charge et est noté $\mu$. L'équation précédente est reformulée comme suit en utilisant la mobilité :

$v=\mu \cdot E$, avec $\mu ={\frac {\sigma }{\rho _{e}}}$.

On utilise alors l'équation $E={\frac {F}{q}}$, qui dit que le champ électrique est proportionnel à la force électrique qui met en mouvement les charges électriques :

$v={\frac {\mu }{q}}\cdot F$

On a donc :

$v\propto F$

On voit que la vitesse des électrons est proportionnelle à la force à laquelle ils sont soumis. Ce qui est étrange. Les lois de Newton nous disent en effet que la force est proportionnelle à l'accélération, pas la vitesse. Il y a donc anguille sous roche. Mais ce phénomène où une force est proportionnelle à la vitesse n'est cependant pas rare en physique. En réalité, c'est signe qu'il y a des forces de frottements qui sont impliquées.

On a un exemple de ce type avec la chute des corps. Dans le vide, l'accélération d'un corps est proportionnelle à la force appliquée. Mais dans l’atmosphère, les corps subissent des forces de frottement qui font que la vitesse de chute sature, elle cesse d'augmenter au-delà d'un certain stade. Et la vitesse atteinte, la vitesse terminale, est proportionnelle à la force. D'autres situations avec des frottements font elles aussi intervenir une relation entre une vitesse et une force. La résistance est donc le résultat d'une sorte de force de frottement : les électrons sont gênés dans leur passage par les atomes du matériau.

Le modèle classique général

Quand on soumet un électron libre à une tension, à un champ électrique, il accélère. Ce champ électrique va lui faire subir une force égale à :

$F=q\cdot E$

Cette force lui donnera une accélération égale à :

$a={\frac {F}{m}}={\frac {q\cdot E}{m}}$

Ce qui lui donne une vitesse de :

$v=a\cdot t={\frac {q\cdot E}{m}}\cdot t$

On remarque que l'électron voit sa vitesse augmenter sans cesse, ce qui ne donne pas une intensité constante. C'est ce qui se passe dans les super-conducteurs, dans lesquelles la résistance est nulle. Les charges accélèrent tant que le champ électrique est constant. Le seul moyen d'éviter cela est d'ajouter une force de frottement ${\vec {F_{f}}}$, qui ralentit l'électron, qui est l'origine de la résistance. Le comportement de l'électron est alors défini par l'équation suivante, un simple bilan des forces :

$m_{e}\cdot a=q\cdot E-F_{f}$

La force de frottement est proportionnelle à la vitesse du fluide, dans le cas hydraulique. Par analogie, la force de freinage est proportionnelle à la vitesse des charges : $F_{f}=\theta \cdot v$.

$m_{e}\cdot a=q\cdot E-\theta \cdot v$

À l'équilibre, on suppose que la vitesse de l'électron est stable, sans quoi le courant serait sans cesse croissant avec le temps. On a alors : $a=0$, ce qui permet de simplifier fortement l'équation précédente.

$q\cdot E=\theta \cdot v$

Quelques manipulations nous donnent l'équation suivante. Celle-ci nous dit que le champ électrique et la vitesse des charges sont bien proportionnels.

$v={\frac {q}{\theta }}\cdot E$

On trouve donc une mobilité et une conductivité constantes, égales à :

$\mu ={\frac {q}{\theta }}$ et $\sigma =\rho _{e}\cdot {\frac {q}{\theta }}=n\cdot {\frac {q^{2}}{\theta }}$, avec $\rho _{e}=n\cdot q$.

Ce modèle pointe deux sources à la résistance : le nombre de porteurs de charges du matériau et le coefficient de friction. Plus le nombre de porteurs de charges d'un matériau est grand, plus sa conductivité sera importante. La différence entre isolants et conducteurs se situe surtout au niveau du nombre de porteurs de charges : les conducteurs le sont parce qu'ils ont un grand nombre de porteurs de charges, alors que les isolants le sont parce qu'ils n'en ont pas. Pour les semi-conducteurs, la situation est intermédiaire : le nombre de porteurs de charges est très faible en temps normal, mais augmente fortement avec la température, l’éclairement, ou d'autres paramètres physiques. Par exemple, chauffer des semi-conducteurs arrache des électrons aux atomes, les transformant en électrons libres. De ce fait, leur conductivité augmente avec la température, ou autre. Mais il faut aussi signaler que la température ou d'autres paramètres physiques peuvent influencer la mobilité des porteurs de charges, comme nous allons le voir dans la section suivante.

Le modèle de Drude des métaux

Mouvement des électrons dans un conducteur avec une résistance non-nulle.

L'analogie suivante permet de mieux comprendre le mouvement des charges dans un conducteur. La boule représente une charge électrique : les deux bougent en se cognant sur les plots, qui correspondent ici aux atomes. La pente du schéma correspond à la tension : c'est elle qui met en mouvement les charges/la boule.

L'intérieur d'un métal, et d'un solide de manière générale, est assez compliqué à décrire en équations. Pour simplifier la modélisation, le modèle de Drude part du principe que les porteurs de charge des métaux sont des électrons, les atomes et ions étant immobiles. Ces électrons sont dits libres, ce qui veut dire que l'on néglige les interactions des électrons avec les atomes du solide : on part du principe que ces interactions, bien qu'existantes, ne sont pas suffisamment fortes pour être prises en compte. De plus, les électrons sont indépendants dans le sens où l'on néglige aussi les interactions entre électrons, qui sont censés se repousser du fait de leur charge.

Dans le modèle de Drude, la force de freinage de l'électron est causée par les collisions des électrons avec les atomes qui se trouvent sur leur trajectoire. Lors d'une collision, l'électron perd son énergie cinétique, qui est transmise intégralement à l'atome choqué. Un électron va parcourir une certaine distance entre deux collisions, la distance moyenne étant appelée le libre parcours moyen. De même, le temps moyen entre deux collisions $\tau$ est appelé le temps de relaxation. Le mouvement d'un électron dans le métal est illustré dans le schéma de droite.

Entre deux collisions, l'électron est accéléré par le champ électrique, par la tension aux bornes du bout de métal. Au vu des hypothèses, la vitesse moyenne de l’électron est de :

$<v>=a\cdot \tau ={\frac {q\cdot \tau }{m}}\cdot E$

On voit que la vitesse de l’électron est bien proportionnelle au champ électrique. La mobilité déduite du modèle de Drude vaut donc :

$\mu ={\frac {q\cdot \tau }{m}}$

La conductivité qui en découle est la suivante :

$\sigma ={\frac {\rho _{e}\cdot q\cdot \tau }{m}}={\frac {n\cdot q^{2}\cdot \tau }{m}}$

Relation entre temps de libre parcours moyen d'un électron dans un solide et son énergie cinétique.

Le modèle de Drude a cependant de nombreux défauts, qui font qu'il ne s'agit que d'une approximation assez grossière. Déjà, le libre parcours moyen mesuré expérimentalement ne colle pas au modèle. Les valeurs expérimentales donnent, une fois injectées dans le modèle de Drude, des résistances 100 à 1000 fois trop élevées comparé à la réalité. De plus, le libre parcours moyen semble varier en fonction de l'énergie des électrons, chose que le modèle de Drude ne prend pas en compte. De plus, le modèle de Drude ne permet pas d'expliquer un grand nombre de phénomènes. Par exemple, il ne permet pas vraiment d'expliquer la semi-conductivité, pas plus qu'il ne permet d'expliquer la variation de la résistance avec la température. À ce propos, parlons un peu plus en détail de cette dépendance température-résistance.

L'influence de la température

Résistance électrique selon la température pour les matériaux conducteurs les plus communs.

Pour la plupart des conducteurs, la résistivité ne dépend pas de la tension ou du courant. Elle ne dépend que du matériau conducteur, mais aussi de la température ou d'autres propriétés physiques. L'influence de la température est intéressante à étudier, car elle commande la résistance des matériaux d'une manière assez importante. Déjà, la variation thermique de la résistance dépend aussi du matériau. Notamment, l'influence de la température dépend selon que l'on parle d'un conducteur, d'un semi-conducteur, d'un supraconducteur ou d'un isolant. L'effet de la température est résumé, dans les grandes lignes, par la loi de Matthiessen, qui dit : la résistance des conducteurs augmente avec la température, alors que celle des isolants diminue. Les semi-conducteurs se comportent dans une certaine mesure comme des isolants. Pour résumer :

• Les supraconducteurs ont une résistance nulle, jusqu'à une certaine température où ils deviennent simplement conducteurs.
• La résistance des métaux/conducteurs augmente linéairement avec la température, sauf pour les basses températures, où elle ne descend pas en-dessous d'une valeur minimale.
• La résistance des semi-conducteurs diminue avec la température, mais ne descend pas en dessous d'une valeur minimale.
• La résistance des isolants diminue avec la température, quelle que soit la température.

Résistance d'un (supra)-conducteur.

Résistivité d'un conducteur métallique.

Résistance d'un isolant ou d'un semi-conducteur.

Pour les conducteurs, la relation entre résistance et température est grosso modo affine.

$R=R_{0}\cdot \left[1+\alpha \cdot \left(T-T_{0}\right)\right]$

Pour les semi-conducteurs intrinsèques, il est possible de démontrer que la résistance et la température suivent la loi suivante :

$R=A\cdot e^{\frac {B}{T}}$

Le sens du courant

Ce schéma illustre un générateur de tension. On voit qu'une borne possède une charge positive gardée plus ou moins constante, l'autre ayant une charge négative.

D'ordinaire, les charges se déplacent dans un fil électrique, ce qui fait que le mouvement des charges est guidé, contraint par le fil. Supposons que l'on mette un excès de charges positives à un bout du fil et un excès de charges négatives à l'autre bout. Cette situation peut vous sembler étrange, mais c'est ainsi que fonctionnent les piles, batteries ou autres générateurs de tension/courant. Elles possèdent deux bornes sur lesquelles on connecte des fils électriques : une borne positive (chargée en charges positives) et une borne négative (chargée en charges négatives). Entre ces deux bornes, il existe une tension qui dépend du déséquilibre en charges entre les deux bornes. Imaginons qu'on connecte les deux bornes avec un fil : dans quel sens vont se déplacer les charges dans le fil ?

Cette question a posé pas mal de problèmes aux premiers savants qui se sont penchés sur le sujet. En théorie, les charges positives ou négatives vont du bout où elles sont en excès vers celui où elles sont en déficit. Mais on ne sait pas si ce sont les charges positives qui vont se déplacer ou les charges négatives. Cela laisse trois possibilités :

• seules les charges positives se déplacent, ce qui fait que le courant va de la borne positive vers la borne négative ;
• seules les charges négatives se déplacent, ce qui fait que le courant va de la borne négative vers la borne positive ;
• les charges positives et négatives se déplacent toutes les deux, ce qui fait que le courant réel va dans les deux sens.

Le sens conventionnel du courant

Avant de savoir quel était le sens réel du courant, les scientifiques pensaient que les charges qui se déplaçaient dans les métaux étaient des charges positives. C'était avant que l'on découvre l'électron et le fait que les métaux en sont très riches. En conséquence, ils ont pris pour convention que le courant va de la borne positive vers la borne négative. Vu qu'il s'agit d'une convention assez arbitraire, ce sens a reçu le titre de sens conventionnel du courant.

Sens possibles des courants.

Sens conventionnel du courant.

Le sens réel du courant

En réalité, le sens réel du courant dépend du matériau et n'est pas le même selon qu'on parle des électrolytes, des semi-conducteurs ou des métaux. Dans les métaux, les charges en mouvement sont négatives : elles vont donc de la borne négative vers la borne positive. Dans les électrolytes, les ions peuvent être chargés aussi bien négativement que positivement. Les ions positifs vont donc se déplacer dans le sens conventionnel, alors que les ions négatifs vont bouger dans l'autre sens. Ces deux sont relativement indépendants et se déplacent en sens inverse.

Déplacement réel des électrons dans un métal.

Direction des courants dans un conducteurs contenant des charges positives et négatives.

Les dipôles : générateurs et récepteurs

Tout circuit électrique contient des composants électriques assez variés. Les plus courants possèdent deux bornes, deux broches métalliques sur lesquelles on peut brancher un fil (ou autre conducteur). Ils sont appelés des dipôles électriques. On peut les classer en deux types, selon qu'ils fabriquent de l'électricité ou qu'ils en consomment.

• Les récepteurs sont des composants qui se laissent traverser par le courant engendré par le générateur. La quasi-totalité utilisent l'énergie transportée par le courant pour faire quelque chose d'utile. Prenons par exemple une lampe : elle transforme l'énergie du courant en lumière. Même chose pour un moteur, qui utilise le courant pour faire tourner quelque chose. Et ainsi de suite. À côté, on trouve des récepteurs qui transforment toute l'énergie qu'ils utilisent en chaleur.
• À l'inverse, un générateur sert de source d'énergie et permet à un courant de circuler dans un circuit bien conçu. Pour donner des exemples de générateurs, on pourrait citer les piles, batteries ou autres générateurs de tension/courant. Un générateur peut soit créer une tension, soit un courant, ce qui distingue les générateurs de tension des générateurs de courants.

Récepteurs

Récepteur	Transformation de l'énergie
Résistance thermique ou fil chauffant	Énergie électrique -> chaleur/énergie thermique
Piles rechargeables et batteries (en cours de chargement)	Énergie électrique -> énergie chimique
Moteur électrique	Énergie électrique -> énergie cinétique (mouvement)

Générateurs

Générateur	Transformation de l'énergie
Piles et batteries (en cours de fonctionnement)	Énergie chimique -> énergie électrique
Dynamos et alternateurs (inverse des moteurs)	Énergie cinétique (mouvement) -> énergie électrique
Cellules photovoltaïques	Énergie lumineuse -> énergie électrique

La caractéristique courant-tension

Caractéristique tension-intensité d'un récepteur quelconque, qui n'est pas affine ou linéaire.

Pour les composants simples, on peut faire la différence entre récepteurs et générateurs en se basant sur la relation entre tension et intensité à leurs bornes. Pour chaque composant, on peut établir un graphique avec l'intensité en abscisse et la tension en ordonnée. Ce graphique est appelé la caractéristique tension-intensité du composant. Celle-ci permet de savoir si un composant est un récepteur ou un générateur, et bien d'autres choses. De plus, elle permet de classer les composants en composants actifs/passifs, linéaires/non-linéaires, symétriques/asymétriques. Voici ci-dessous quelques exemples de caractéristiques tension-courant, pour divers composants que nous étudierons dans les prochains chapitres. On peut voir que toutes ne se ressemblent pas. Nous les avons classées selon deux critères : récepteurs/générateurs sur les lignes, et droite/pas droite sur les colonnes.

	Relation affine/linéaire	Relation non-affine
Récepteurs	Resistance.	Diode Zener.
Générateurs	Batterie.	Cellule photoélectrique.

Dipôles actifs et passifs

On peut classer les récepteurs selon plusieurs critères, le premier étant leur caractère passif ou actif.

• Les récepteurs actifs peuvent amplifier la puissance du courant qui les traverse, ce qui signifie qu'ils peuvent en augmenter la tension ou l'intensité. Ils peuvent donc ajouter de l'énergie au courant qui les traverse, bien que ce ne soit pas systématique.
• À l'inverse, les récepteurs passifs ne le peuvent pas et vont même consommer une partie de la puissance du courant pour fonctionner. Bizarrement, ces récepteurs passifs sont de loin les plus utilisés dans les circuits électriques actuels.

Les dipôles passifs usuels

Relations entre grandeurs électriques pour chaque récepteur passif.

Les récepteurs passifs sont chacun décrit par une équation reliant deux grandeurs électriques parmi les suivantes : tension, intensité, charge électrique et flux magnétique. Quatre équations sont possibles, ce qui donne les quatre composants de base que sont la résistance, la bobine, le condensateur et le memristor. Dans ce qui va suivre, nous allons nous concentrer sur plusieurs composants de base : la résistance, la bobine et le condensateur. Les équations de ces composants sont les suivantes :

Composant	Equation
Résistance	$U=R\times I$
Bobine	$U=L\times {\frac {dI}{dt}}$
Condensateur	$I=C\times {\frac {dU}{dt}}$

Nous verrons ces composants plus en détail dans les chapitres qui vont suivre.

Relation avec la caractéristique U-I

Quadrants du graphique U-I. Attention : les abscisses et ordonnées sont inversées, avec le courant en ordonnées et la tension en abscisse !

Le caractère passif ou actif d'un récepteur se voit sur sa caractéristique courant-tension. En effet, on peut subdiviser le graphique en quatre, en coupant au niveau des abscisses et ordonnées. Ces quarts représentent :

• soit une tension et une intensité positive (haut à droite) ;
• soit une tension et une intensité négative (bas à gauche) ;
• soit une tension positive et une intensité négative (haut à gauche) ;
• soit une tension négative et une intensité positive (bas à droite).

Si on fait le produit $U\cdot I$, on s’aperçoit que deux quadrants correspondent à une puissance positive, et les deux autres à une puissance négative. Quand un composant est dans un quadrant à puissance positive, il consomme de la puissance pour fonctionner : c'est un dipôle passif, ou encore un récepteur. S'il est dans les deux autres quadrants, c'est un dipôle actif, ou encore un générateur. Ainsi, les composants dont la caractéristique reste dans les quadrants haut+droit et bas-gauche sont des récepteurs purs. Ceux qui restent dans les quadrants bas-droite et haut-gauche sont des générateurs. Il existe des composants qui peuvent être dans les quatre quadrants, mais ils sont une minorité, alors que les autres ne traversent que deux quadrants seulement.

Dipôles linéaires et non-linéaires

Si vous regardez la caractéristique d'une résistance ou d'une batterie, vous remarquerez qu'elle est une droite. Dans ce cas, le composant est appelé un dipôle linéaire. Selon que la droite passe par l'origine, on distingue :

• Les dipôles ohmiques, aussi appelés résistances, pour lesquelles la droite passe par l'origine et où : $U=R\cdot I$. Ces dipôles ohmiques sont fabriqués avec des conducteurs, ce qui leur permet de respecter la loi d'Ohm, au moins approximativement.
• Les dipôles linéaires non-ohmiques, pour lesquels la droite ne passe pas par l'origine et où : $U=R\cdot I+U_{0}$. C'est le cas pour les batteries ou certains générateurs. Même si la droite ne passe pas par l'origine, le composant est quand même dit linéaire, bien que la fonction U = f(I) ne l'est pas ! Il s'agit d'un abus de langage qui est malheureusement assez commun.

Les dipôles linéaires sont à opposer aux dipôles non-linéaires, pour lesquels la caractéristique U-I est une courbe. Généralement, ils sont fabriqués avec des semi-conducteurs, ce qui explique que la loi d'Ohm ne s'applique pas pour eux. Mais il faut noter qu'ils se comportent comme une résistance pour des tensions ou des courants assez faibles. En clair, il y a une portion de leur caractéristique qui est approximativement une droite. Tel est le cas pour certains transistors ou certaines diodes, qui se comportent comme des résistances tant que la tension ou le courant est faible.

Résistances statiques et dynamiques

Résistance statique et dynamique au point A. La courbe B représente la résistance statique, alors que la courbe C représente la résistance dynamique.

Pour les résistances, le rapport entre U et I est appelé la résistance, en lien avec la résistance d'un matériau (ou d'un composant, comme on le verra dans quelques chapitres). Il est possible de définir des ratios similaires pour les composants non-linéaires. Ceux-ci sont appelés la résistance statique et dynamique. Dans les deux cas, ces deux valeurs sont définies pour chaque point de la courbe U-I. Il faut donc prendre un point de la courbe pour définir les résistances statique et dynamique. Celles-ci sont notée $R_{s}$ et $R_{d}$ dans ce qui suit. Celles-ci sont définies par :

$R_{s}={\frac {U}{I}}$

$R_{d}={\frac {dU}{dI}}$

Les deux sont égaux pour les résistances, mais ne le sont pas pour les autres dipôles. Pour les dipôles linéaires non-ohmiques, on peut calculer les résistances statiques et dynamiques assez facilement. En dérivant la première expression, on peut trouver la résistance dynamique, qui est égale à $R$. Pour la résistance statique, il suffit de diviser par I. Cela donne :

$R_{d}=R$

$R_{s}=R+{\frac {U_{0}}{I}}$

Dipôles symétriques et asymétriques

Enfin, il faut parler du fait que certains dipôles ont un sens, alors que d'autres non. Certains dipôles n'ont pas de sens, ce qui fait qu'on peut les brancher dans le sens que l'on veut dans un circuit. Ces dipôles ont une particularité : leur caractéristique tension/intensité est symétrique par rapport à l'origine. Ce qui fait qu'ils portent le nom de dipôles symétriques.

Les dipôles qui ont un sens s’insèrent dans un circuit d'une certaine façon, mais ne fonctionnent pas quand on inverse leur sens. Ils ont une borne d'entrée et une borne de sortie, qui indiquent leur sens. Contrairement aux dipôles symétriques, leur caractéristique tension/intensité n'est pas symétrique par rapport à l'origine. Ils portent naturellement le nom de dipôles asymétriques.

Les circuits série et parallèles

Symboles des composants les plus communs.

Dans les applications pratiques et industrielles, le courant parcourt divers récepteurs, qui sont reliés entre eux par des fils conducteurs (souvent métalliques). Les appareils électriques en question peuvent être des lampes, des interrupteurs, des résistances, des condensateurs, des capteurs, des bobines, des amplificateurs, et bien d'autres choses encore. En reliant des récepteurs à un générateur, avec des fils électriques conducteurs (souvent métalliques), on obtient un circuit électrique. Les circuits électriques sont représentés/dessinés en suivant quelques règles assez strictes, qui servent de standards. Chaque composant est représenté par un symbole standardisé, les plus courants étant illustrés dans le schéma à droite. Les fils sont représentés par des traits droits.

Exemple de schéma électrique, présenté pour simple illustration.

Le minimum pour obtenir un circuit électrique

Source et charge d'un circuit électrique.

Tout circuit comprend au moins un générateur pour produire le courant électrique, pour l'alimenter en énergie. Il est possible d'utiliser plusieurs générateurs dans un circuit, mais les circuits les plus simples sont construits avec d'un côté un générateur et des récepteurs de l'autre. On distingue ainsi la source de tension ou de courant d'un côté et la charge de l’autre. La source peut être une pile, une batterie, un générateur de tension ou un générateur de courant. La charge peut très bien être une lampe, un moteur, ou tout autre circuit bien plus complexe. Dans la quasi-totalité des cas, la charge est composée de plusieurs récepteurs reliées entre eux par des fils électriques. Seuls les exemples pédagogiques utilisent un seul récepteur, et encore : seulement au tout début du cours.

Circuit électrique simple.

Prenons l'exemple de la figure à votre droite. On y voit un circuit très simple, composé d'une pile et d'une lampe, reliés par des conducteurs. Le schéma électrique de ce circuit est donné ci-dessous. La pile est ce qu'on appelle une source de tension, ce qui signifie qu'elle crée une tension dans le circuit entre ses deux extrémités (celle notée plus et celle notée moins). Cette tension met en mouvement les charges, qui vont se déplacer d'une extrémité à l’autre, à l'extérieur de la pile, dans les fils métalliques. Il va ainsi naitre un courant dans le circuit complet qui va alimenter la lampe et l'allumer. Si on remplace un morceau de fil par un autre milieu conducteur, comme un électrolyte, le circuit continue de marcher. La pile est donc le générateur du circuit, alors que la lampe est le récepteur.

Lampe alimentée par une pile.

Les court-circuits

Illustration d'un court-circuit.

Il faut absolument qu'un récepteur soit placé entre les bornes du générateur. Mais dans des circuits défectueux, il se peut que les bornes du générateur soient connectées directement, sans composant entre les deux. C'est une forme particulière de court-circuit. Dans le langage courant, un court-circuit est un mauvais signe, une source de dysfonctionnement, un problème assez grave. Eh bien l'intuition n'est pas mise en défaut dans ce cas précis. Tout le problème est que le courant a tendance à passer dans le chemin de plus faible résistance. Si les deux bornes sont reliées par un fil, tout le courant va passer dans le fil en court-circuit et pas du tout dans les autres chemins. En conséquence, le courant qui circule dans le fil va être très important, à cause de la faible résistance des fils. Cela peut faire chauffer le fil plus que raison, voire le faire fondre et causer un incendie.

Les conventions générateur et récepteur

Pour rappel, on suppose arbitrairement que le courant se déplace dans son sens conventionnel : de la borne + du générateur vers sa borne -. Les charges + quittent la borne positive, qui se vide de son excès. Pour que le générateur fournisse une tension ou un courant constant, il faut que l'excès de charges + soit régénéré. Pour cela, les charges + qui arrivent sur la borne - sont renvoyées sur la borne +. Évidemment, cela demande que de l'énergie leur soit fournies afin de se déplacer vers le potentiel haut. Cette énergie sert à vaincre la répulsion de la borne + sur les charges +, condition sine qua non pour déplacer les charges vers un potentiel plus haut. Si le courant se déplace dans l'autre sens, le sens de déplacement des charges est juste inversé, mais l'explication reste valide après ce petit changement.

Illustration des deux conventions possibles : convention générateur à gauche et au milieu (avec une notation européenne pour la première et américaine pour la seconde) et convention récepteurs à droite.

L'étude des circuits électriques demande le plus souvent de trouver la tension et l'intensité en chaque point d'un circuit. Pour cela, il faut non seulement en trouver les valeurs numériques, mais aussi en déterminer le sens. On a vu dans le chapitre sur la résistance que le sens donné au courant est un sens arbitraire, qui va de la borne + du générateur vers sa borne -, le fameux sens conventionnel du courant. Pour le sens de la tension, il y a deux possibilités : soit la tension va de la borne + vers la borne -, soit elle va dans l'autre sens. Ces deux solutions correspondent à un potentiel qui va du potentiel haut vers le potentiel bas, ou inversement du bas vers le haut. Le choix du sens de la tension est purement arbitraire, les deux choix ne changeant en rien la physique du circuit.

Le choix que nous allons utiliser dans ce cours est que la tension va du potentiel le plus bas vers le potentiel le plus haut. Ce choix porte le nom de convention récepteur. Dans les récepteurs, le courant se déplace du + vers le -, alors que la tension va dans l'autre sens. Donc, courant et tension vont dans des sens opposés dans le récepteur. Pour le générateur c'est l'inverse : les charges vont de la borne - vers la borne +, donc dans le sens de la tension : tension et courant vont dans le même sens dans un générateur. Pour résumer, courant et tension vont dans des sens opposés dans le récepteur, alors qu'ils vont dans le même pour un générateur. Il est aussi possible d'utiliser la convention inverse, appelée convention générateur. Dans celle-ci, courant et tension vont dans le même sens dans les récepteurs, et dans des sens inverses dans les générateurs.

Les circuits fermés et ouverts

Après avoir vu la distinction entre générateur et récepteurs, on peut voir comment ceux-ci sont connectés entre eux pour former un circuit électrique. Pour simplifier, on peut distinguer les circuits ouverts et fermés, ainsi que les circuits séries et parallèles. Ces concepts sont très importants et nous allons les aborder ici, pour simplifier les explications ultérieures.

Le circuit précédent est un circuit fermé : le courant peut le traverser pour passer d'une borne à l'autre du générateur. Il existe au moins un chemin qui permettre d'atteindre la borne positive et partant de la borne négative (et inversement). Un circuit qui n'est pas fermé est appelé un circuit ouvert. Dans de tels circuits, le courant ne peut pas passer et il n'existe pas de chemin entre les deux bornes positives et négatives du générateur. On peut voir ces derniers comme des circuits où se trouve une résistance infinie à l'endroit où le circuit est ouvert.

Les interrupteurs

Les circuits ouverts impliquent généralement des interrupteurs, dont le but est d'ouvrir ou de fermer un circuit selon les besoins. Plus précisément, un interrupteur peut se trouver dans deux états : fermé et ouvert. En état fermé, les deux extrémités de l’interrupteur sont connectées et le courant circule dans le circuit. Dans le cas contraire, les deux extrémités sont déconnectées et le courant ne passe plus.

Interrupteur ouvert.

Interrupteur fermé.

Schéma électrique du circuit étudié.

Circuit simple, avec un interrupteur

Un bon moyen de s'en rendre compte est d'ajouter un interrupteur au circuit précédent. Il va de soi que l'interrupteur permet d'éteindre la lampe ou de l'allumer, selon son état. Si on ferme l'interrupteur, le circuit est fermé et le courant circule dans le circuit : la lampe s'allume. Si on ouvre l'interrupteur, le circuit est ouvert et le courant ne passe pas : la lampe ne s'allume pas quelle que soit sa position dans le circuit. Et je ne fais pas cette précision par hasard : la lampe est éteinte peu importe qu'elle soit placée avant ou après l'interrupteur. Le circuit sera bien ouvert dans les deux cas.

Circuit ouvert - répartition des charges et des tensions

Je le répète, mais la lampe ne s'annule pas peu importe sa position dans un circuit ouvert. Ce comportement peut paraître contre-intuitif, mais il a en fait une explication très simple. Le fait est que les charges de la borne + ou - vont se répartir dans le morceau de fil conducteur, jusqu'à bloquer au niveau de l'interrupteur ouvert, d'où elles ne pourront plus progresser. La répartition des charges dans le fil sera homogène, ce qui fait que la charge du fil en tout point sera constante et égale à celle de la borne + : il n'y a pas de tension dans le fil qui relie la borne à l'interrupteur. Mettons qu'on ouvre le circuit en deux points A et B, un fil reliant le point A à la borne + et un autre la borne - au point B. Dans ce cas, il n'y a pas de tension entre le point A et la borne +, pas plus qu'il n'y en a entre le point B et la borne -.

Les circuits série et parallèle

On pourrait aussi rajouter une seconde lampe au circuit, ou un second interrupteur. Partons du principe que l'on souhaite ajouter un autre interrupteur. On peut alors procéder de deux manières différentes. Soit on place le second interrupteur à la suite de celui déjà présent, soit on le place en parallèle. Les deux circuits obtenus sont illustrés ci-dessous. Pour mieux appréhender la différence entre ces deux circuits, on peut regarder ce qui se passe quand on ferme un seul interrupteur et qu'on laisse l'autre ouvert. Dans le premier circuit, le courant ne pourra pas aller d'une borne à l'autre et le circuit sera donc ouvert : la lampe ne s'allume pas. Dans le second parallèle, le courant pourra passer par l'autre branche, par l'autre interrupteur : le circuit est fermé et la lampe s'allume. La raison à cela est simple et tient dans le nombre de chemins qui relient les bornes du générateur. Dans le premier cas, il n'y a qu'un seul chemin qui permet d'aller de la borne positive du générateur à la borne négative. Dans l'autre cas, il y a deux chemins pour passer de la borne positive vers la borne négative.

Répartition du courant dans des mailles séparées, dans un circuit parallèle.

On voit bien qu'un circuit contient des chemins qui relient les deux bornes du générateur. Chaque chemin sera parcouru par un courant, du moins s'il n'y a pas de court-circuit. Il existe d'autres chemins du même genre, qui reviennent au point de départ sans repasser deux fois par le même fil ou le même composant. Ces chemins partent d'un point du circuit et y reviennent sans repasser deux fois par le même fil ou le même composant. Chaque chemin de ce type est appelé une maille.

Les circuits les plus simples n'ont qu'une seule maille, mais les circuits plus compliqués en ont plusieurs pour aller d'une borne à l'autre. Le premier cas est ce qu'on appelle un circuit série, alors que le second est un circuit parallèle. Un circuit série ne contient qu'une seule maille, alors qu'un circuit parallèle en a plusieurs. La différence entre les deux se manifeste surtout en termes de courant électrique. Dans un circuit série, il n'y a qu'un seul chemin par lequel peut passer le courant, ce qui fait que l'intensité est la même dans tout le circuit. On verra plus tard que ce n'est pas le cas dans les circuits parallèles : le courant doit se diviser pour se répartir dans des mailles séparées.

Possibilités avec deux et trois récepteurs

Dans le cas où il n'y a que deux récepteurs, les deux possibilités sont illustrées ci-dessous : soit on place les deux l'un après l'autre (circuit série), soit l'un à côté de l'autre (en parallèle). Il n'y a qu'une seule maille dans ce cas, et deux dans l'autre.

Placements possibles de deux récepteurs : cas série et parallèle.

Pour trois récepteurs, il y a en tout quatre possibilités.

• Soit les trois récepteurs sont placés en série, l'un à la suite de l'autre.
• Soit ils sont placés en parallèles, chacun dans sa branche séparée.
• Soit deux récepteurs sont placés en série et le troisième en placé en parallèle des deux autres.
• Soit deux récepteurs sont mis en parallèle et le troisième est placé en série des deux autres.

Placements possibles de trois récepteurs : cas série et parallèle, cas série-parallèle et parallèle-série.

Ampèremètres et voltmètres

On a vu dans le premier chapitre que la tension et l'intensité se mesurent avec des appareils appelés respectivement voltmètres et ampèremètres. Il faut noter que certains appareils permettent à la fois de faire ampèremètre et voltmètre : on les appelle des multimètres.

Symbole d'un ampèremètre.

Symbole d'un voltmètre.

Comment mesurer un courant et une tension avec un multimètre.

La différence entre ampèremètre et voltmètre est que les deux se placent différemment : là où l’ampèremètre se place en série, juste avant ou après le composant à étudier, le voltmètre se place en parallèle des bornes du récepteur. Même chose pour les multimètres, qui doivent se mettre soit en parallèle, soit en série, selon la grandeur à mesurer.

Les lois des circuits électriques

Les lois de Kirchhoff sont des lois qui permettent de déterminer les intensités et les tensions en tout point d'un circuit. Elles sont au nombre de deux : la loi des mailles concerne les tension et la loi des nœuds concerne les courants. Ce sont des reformulations de deux lois physiques élémentaires dans le cadre des circuits, plus précisément de la conservation de l'énergie et de la charge. Pour comprendre ces lois, nous avons besoin de poser quelques points de vocabulaire :

• Un nœud est un endroit dans un circuit où plusieurs courants se rejoignent et/ou se séparent. Il n'existe pas de nœuds dans les circuits série, mais on en trouve dans les circuits parallèles, aux endroits où deux mailles se séparent.
• Une branche relie deux nœuds entre eux directement, sans nœuds intermédiaires. Les branches peuvent contenir un récepteur ou n'être que de simples fils.
• Une maille est, pour rappel, un chemin qui part d'un point du circuit et y revient sans repasser deux fois par le même fil ou le même récepteur/générateur.

La loi des mailles

La loi des mailles permet de déterminer les tensions aux bornes de chaque composant, dans une certaine mesure. Cette loi dit simplement que la somme des tensions sur une maille est nulle. Il s'agit d'une reformulation d'une propriété de la tension vue dans le premier chapitre. On sait que si on déplace une charge sur ce chemin fermé et si on la ramène à sa position initiale, son énergie ne changera pas entre avant et après le déplacement. Dit autrement, la différence d'énergie entre le départ de la charge et son arrivée sera nulle. La tension étant proportionnelle à cette différence d'énergie, elle doit donc être nulle.

Maintenant, nous devons faire quelques remarques sur la manière d'ajouter les tensions dans une maille. Pour ce faire, on part donc d'un point du circuit et on parcours la maille composant par composant. On ajoute chaque tension au fur et à mesure du parcours, jusqu'à retourner au point de départ. Le théorème dit que la somme des tensions obtenue est nulle. Précisons qu'il faut tenir compte du sens des tensions. Avec la convention récepteur, la tension du générateur est à soustraire, alors que celles des récepteurs sont comptées positivement. Dit autrement, la somme des tensions aux bornes des générateurs est égale à la somme des tensions aux bornes des récepteurs.

Exemple avec un circuit série (une seule maille)

Circuit série avec un générateur et un récepteur.

Pour donner un exemple, prenons le circuit de droite, qui contient un générateur et un récepteur. Le générateur est une batterie et est représenté par le symbole de gauche. Le récepteur est représenté par le symbole de droite (c'est une résistance, mais ce n'est pas important). Ce circuit ne contient que deux tensions : celle aux bornes du générateur et celle aux bornes du récepteur. Les deux tensions sont notées $U_{g}$ pour la tension du générateur et $U_{r}$ pour le récepteur. Vu qu'il n'y a qu'une seule maille, l'analyse est particulièrement simple. Le théorème dit que la somme des tensions est nulle. Dit autrement :

$-U_{g}+U_{r}=0$

On peut reformuler cette équation comme ceci :

$U_{g}=U_{r}$

Par exemple, si le générateur est une pile de 5 Volts et le récepteur une lampe, la tension aux bornes de la lampe sera de 5 Volts.

Second exemple avec un circuit série

Loi des mailles avec deux récepteurs.

Maintenant, prenons un second circuit, illustré par le schéma de droite. Il contient un générateur et deux récepteurs en série. Le générateur est toujours une batterie et est représenté par le symbole de gauche. Les récepteurs sont tous deux représentés par des rectangles. Ce circuit contient trois tensions : celle aux bornes du générateur et deux autres aux bornes des récepteurs. Ces tensions sont notées $U$ pour la tension du générateur, $U_{1}$ et $U_{2}$ pour les récepteurs. Vu qu'il n'y a qu'une seule maille, l'analyse est particulièrement simple. On part donc d'un point du circuit et on ajoute chaque tension au fur et à mesure. Rappelons qu'il faut tenir compte du sens des tensions : la tension du générateur est à soustraire, alors que celles des récepteurs sont comptées positivement. Le théorème dit que la somme des tensions est nulle. Dit autrement :

$-U+U_{1}+U_{2}=0$

On peut reformuler cette équation comme ceci :

$U=U_{1}+U_{2}$

Prenons le cas où le générateur est une pile, et les deux récepteurs des lampes. On suppose que la tension aux bornes de la pile est 5 Volts. On suppose aussi que les deux lampes sont identiques. Dans ce cas, la tension aux bornes de chaque lampe sera de 2.5 Volts. La tensions sera de 5 Volts pour les deux lampes, et se répartira également entre les deux lampes : cela fait bien 2.5 Volts pour chaque lampe.

Deux lampes en série.

Exemple avec un circuit parallèle (plusieurs mailles)

On a vu dans le chapitre sur la tension que la tension entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. Si plusieurs chemins ont les mêmes points d'arrivée et de départ, alors la tension entre ces deux points est la même sur tous les chemins. Il ne s'agit que d'un corollaire de la loi des mailles, ou tout du moins d'une reformulation. Une illustration de ce principe est donnée dans le schéma ci-dessous. La tension entre A et B ne dépend pas du chemin suivi, peu importe que celui-ci passe par la première lampe ou la seconde. Donc, les tensions aux bornes des deux lampes sont égales. On peut aussi déduire ce résultat à partir de la loi des mailles assez simplement. Ce circuit contient deux mailles, la première passant par la première lampe et la seconde par l'autre lampe. Ces mailles sont identiques aux mailles séries étudiées plus haut, ce qui fait qu'on peut réutiliser ce qu'on sait de celles-ci. On sait donc que la tension aux bornes de chaque lampe est égale à la tension de la pile. Chose différente de ce qu'on observe avec le circuit série avec deux lampes !

Lampes en parallèles

Une autre illustration est donnée dans le schéma ci-dessous. Le circuit représenté contient plusieurs composants, à savoir des résistances, mais cela n'a pas d'importance pour le moment). On voit qu'il existe trois chemins entre les points A et B : un à gauche, celui du milieu et celui de droite. Dans ce cas, les trois chemins ont une même tension entre leurs extrémités : les trois tensions V1, V2 et V3 sont égales.

Loi des tensions de Kirchhoff (équation)

La loi des nœuds

La loi des nœuds est une reformulation de la conservation de la charge dans un circuit, sous certaines conditions. Cette loi tire son nom du fait qu'elle s'applique au niveau des nœuds du circuit. La loi des nœuds dit que la somme des intensités qui convergent vers un nœud est égale à la somme des intensités qui en divergent.

$\sum \left(i_{sortants}\right)=\sum \left(i_{entrants}\right)$

Exemple d'application

Exemple d'application de la loi des nœuds.

Le circuit à votre droite va servir d'exemple d'illustration. Le nœud étudié est tout simplement le point situé au milieu de l'image. On voit que deux courants convergent sur ce nœud : le courant d'intensité $i_{1}$ et le courant d'intensité $i_{2}$. Deux courants sortent du nœud, en divergent : le courant d'intensité $i_{3}$ et celui d'intensité $i_{4}$. La somme des intensités qui convergent vers le nœud est tout simplement : $i_{1}+i_{2}$. La somme des intensités sortante est tout simplement $i_{3}+i_{4}$. Ces deux valeurs sont égales, ce qui donne : $i_{1}+i_{2}=i_{3}+i_{4}$. Un autre exemple, avec deux courants convergents et deux divergents, sont donnés dans l'image située ci-dessus.

Origine physique

Pour que la loi des nœuds soit valable, il faut qu'aucun composant du circuit ne puisse stocker des charges. En clair, cette loi ne vaut qu'en régime stationnaire. Si cette condition est respectée, la conservation de la charge se traduit par une conservation des courants, par une conservation de leur intensité. Il n'y a pas de pertes d'intensité suite à la scission d'un courant en plusieurs sous-courants. Et cela vaut aussi si le courant se scinde en plus de deux courants : si un courant se scinde en plusieurs sous-courants, la somme des sous-courants donne le courant initial (du point de vue des intensités). Même chose quand plusieurs courants convergents se regroupent en un seul courant : le courant final a une intensité égale à la somme des intensités convergentes. Par exemple, si un courant d'intensité $I_{1}$ se scinde en deux courants d'intensité $I_{2}$ et $I_{3}$, la loi des nœuds dit simplement que $I1=I_{2}+I_{3}$. Idem quand deux courants d'intensité $I_{2}$ et $I_{3}$ se regroupent en un courant d'intensité $I_{1}$.

Les résistors

Le résistor, appelé aussi résistance, est de loin le composant le plus simple à étudier. Deux symboles différents sont utilisés pour représenter une résistance fixe dans les schémas électriques. Ils sont donnés ci-dessous. Il faut noter que par usage de la convention récepteur, le courant et la tension aux bornes d'une résistance ont des sens opposés.

Symbole américain d'une résistance R.

Symbole européen d'une résistance R.

Application de la convention récepteur pour les résistances.

Résistance et conductance d'un résistor

Caractéristique inverse (courant-tension) d'une résistance.

Une résistance est un composant de base qui respecte la loi d'Ohm : la tension et l'intensité aux bornes d'une résistance sont toujours proportionnelles. Cette relation vaut aussi quand tension et courants sont alternatifs.

$U\propto I$

Le coefficient de proportionnalité entre tension et intensité est appelé la résistance.

$R={\frac {U}{I}}$

On peut aussi définir la conductance d'un résistor, qui n'est autre que l'inverse de la résistance.

$G={\frac {1}{R}}={\frac {I}{U}}$

Résistor alimenté par une tension ou un courant

Pour mieux comprendre leur fonctionnement, nous allons étudier deux cas : celui où une résistance est alimentée par une source de tension, et celui où elle est alimentée par une source de courant. Les deux cas sont représentés par les schémas ci-dessous. Dans le premier cas, la tension aux bornes de la résistance est fixée une fois pour toute par la tension du générateur. Dans ce cas, le courant qui traverse la résistance sera égale à la tension du générateur divisée par la résistance. Ce dispositif permet de fixer le courant qui parcourt le circuit. L'autre cas est celui où le générateur est un générateur de courant. Dans ce cas, le courant qui passe à travers la résistance est fixée par le générateur. La tension aux bornes de la résistance sera égale au produit de la résistance par le courant. Cela permet de fixer la tension aux bornes de la résistance.

Loi d'Ohm avec une source de tension.

Loi d'Ohm avec une source de courant.

Les types de résistances

Les résistances fixes

Les résistances les plus utilisées sont les résistances fixes. Leur utilité principale est d'augmenter la résistance à un endroit d'un circuit électrique. Deux utilisations sont possibles pour de telles résistances.

• Les résistances classiques visent à limiter le courant qui passe dans un circuit. Certains composants sont en effet très sensibles au courant qui les traverse et sont conçus pour fonctionner dans un intervalle d'intensité très précis. Une trop forte intensité peut les endommager irrémédiablement. Pour éviter cela, on peut les relier à une résistance, qui limitera le courant qui leur arrive.
• D'autres résistances fixes, les résistances de puissance, sont conçues pour dégager une grande quantité de chaleur. On les utilise par exemple dans les sèche-cheveux, certains grille-pains, ou dans d'autres appareils chauffants de petite taille.

Les résistances variables

Relation tension-intensité pour une varistance.

À côté des résistances fixes, on trouve les résistances variables, des résistances dont on peut faire varier la résistance électrique. Il en existe divers types : potentiomètres, résistance variable, varistance, etc.

• Les potentiomètres sont des résistances que l'on peut régler avec une petite roue, ou tout autre dispositif mécanique. Le plus souvent, le réglage de la résistance s'effectue par une petite roue que l'on doit tourner pour ajouter de la résistance. Pour l'exemple, ils sont utilisés pour les boutons de volume d'une chaîne HIFI ou d'un autoradio.
• Les thermistors ont une résistance qui varie fortement avec la température. Ils sont surtout utilisés dans les capteurs de température, comme les thermomètres. Il en existe deux grands types, qui se distinguent par le fait que la résistance augmente ou diminue avec la température. On parle de thermistors à coefficient de température négatif et positif. Pour les thermistors à coefficient de température négatif, la résistance diminue quand la température augmente. Pour les thermistors à coefficient de température positif, c'est l'inverse : la résistance augmente avec la température.
• Les photorésistances ont une résistance qui varie selon leur éclairement : ils ont une plus grande résistance dans l'ombre qu'exposés à la lumière. Ils sont très utilisés dans les capteurs photovoltaïques, pour mesurer l'ensoleillement.
• Enfin, le dernier type de résistance variable, la varistance, n'est pas tout à fait une résistance. Il s'agit plus d'un composant dont la relation entre tension et intensité n'est pas tout à fait linéaire. La varistance se comporte comme une résistance linéaire pour les basses tensions et les basses intensités, mais voit sa résistance augmenter pour des valeurs plus importantes. La courbe tension-intensité d'une varistance est donnée à votre droite.

Symboles des résistances

	Symbole américain	Symbole européen	Photographie
Résistance fixe
Résistance variable
Potentiomètre
Photorésistance
Varistance

Le code couleur d'une résistance

Illustration d'une résistance.

Sur votre droite, vous avez une illustration d'une résistance. Comme vous le voyez, la résistance est entourée par des cercles colorés, ici un jaune, un violet, un marron et un bleu clair. Toutes les résistances sont coloriées ainsi et ces couleurs ne sont pas choisies au hasard : ils indiquent quelle est la valeur de la résistance. Ils permettent de savoir si la résistance est une résistance de 20 Ohms, de 400 Ohms, ou autre. Cette valeur est indiquée par des cercles. Reste à comprendre comment interpréter ces cercles de couleur.. Le mode d'emploi de ces cercles est ce qu'on appelle le code couleur d'une résistance, et celui-ci est standardisé.

La valeur de la résistance

Resistor-Codes

Les trois premiers cercles donnent la valeur de la résistance, avec un petit détail pour le troisième cercle. Les deux premiers cercles codent un nombre à deux chiffres : un chiffre par cercle. Le troisième cercle dit s'il faut multiplier le nombre précédent par 1, 10, 100, 1000, etc. Le coefficient de multiplication est une puissance de 10, dont l'exposant est égal au chiffre indiqué par le troisième cercle. Chaque couleur correspond à un chiffre, ou à un coefficient multiplicateur, suivant le code suivant :

• Noir : 0
• Marron : 1
• Rouge : 2
• Orange : 3
• Jaune : 4
• Vert : 5
• Bleu : 6
• Violet : 7
• Gris : 8
• Blanc : 9
• Or : 0.1
• Argent : 0.01

La marge d'erreur

Si la valeur de la résistance se calcule à partir des trois premiers cercles, le quatrième est un peu à part. Le quatrième cercle indique si la valeur donnée par les trois autres cercles est précise à 1, 5, ou 10%. En effet, le processus de fabrication d'une résistance n'est pas parfait et les résistances d'un même lot n'ont pas exactement la même conductance. Il y a toujours de faibles variations entre résistances d'un même lot, qui restent cependant de l'ordre de quelques pourcents de la valeur de base. Le quatrième cercle donne justement la marge d'erreur de la résistance, la valeur maximale de ces déviations. On reconnaît le quatrième cercle assez simplement : c'est celui qui est à part, éloigné des trois autres.

Les générateurs

Un générateur sert de source d'énergie et permet à un courant de circuler dans un circuit bien conçu. Pour donner des exemples de générateurs, on pourrait citer les piles, batteries ou autres générateurs de tension/courant. Un générateur peut soit créer une tension, soit un courant. On distingue alors deux types de générateurs : les générateurs de tension et les générateurs de courant. Les premiers génèrent une tension à leurs bornes, alors que les seconds génèrent un courant. Dans les schémas du cours, nous représenterons les générateurs de courant et de tension par les symboles donnés ci-dessous. Vous remarquerez que les batteries ont leurs propres symboles.

Symboles des générateurs de tension/courant.

Générateurs de tension	Génération de tension idéal.	Génération de tension réel.	Génération de tension contrôlé.
Générateurs de courant	Générateur de courant idéal.	Générateur de courant réel.	Générateur de courant contrôlé.
Batteries	Batterie.	Batterie - 2.

Force et champ électromoteurs

Tous les générateurs fonctionnent sur le même principe : ils possèdent une borne sur laquelle on trouve un excès de charges positives (ou un déficit en charges négatives), et un autre bout où les charges positives sont en déficit (les charges négatives sont en excès). En conséquence, elles ont soit une charge positive (celle avec un déficit de charges négative), soit une charge négative (l'autre). Ce qui fait qu'elles sont appelées respectivement borne négative et positive. Cette différence de charges permet de créer une tension ou un courant dans les conducteurs connectés sur les broches.

Il va de soit que les charges ne se séparent pas spontanément avec d'un côté les charges positives sur la borne + et les négatives sur la borne -. Pour cela, il faut qu'une force pousse les charges à se déplacer vers leur borne attitrée, à se ségréger dans les bornes adéquates. Cette force, qui est du fait du générateur, est appelée la force électromotrice. Cette force est causée par un champ électromoteur ${\vec {E_{em}}}$ tel que :

${\vec {F_{em}}}=q\cdot {\vec {E_{em}}}$

Lorsque le générateur est en charge, cette force va forcer les charges à se séparer dans leurs bornes respectives. Mais cette accumulation de charges va rapidement finir par cesser, sans quoi les bornes se chargeraient indéfiniment. La raison à cela est que les charges de la borne + sont attirées par la borne - et réciproquement. En conséquence, les charges sont censées se rapprocher et les bornes devraient se vider progressivement de leur charge. Cette attraction est à l'origine d'un champ et d'une force électrique :

${\vec {F_{elec}}}=q\cdot {\vec {E_{elec}}}$

Il arrivera à un moment où la force électromotrice et la force d'attraction entre les bornes vont se compenser. On a donc :

${\vec {F_{em}}}+{\vec {F_{elec}}}=q\cdot \left({\vec {E_{em}}}+{\vec {E_{elec}}}\right)=0$

La tension aux bornes du générateur (et précisément sa tension à vide) se calcule à partir du champ, comme on l'a vu dans le premier chapitre.

$U=\int _{+}^{-}{\vec {E_{em}}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{Q}}\cdot \int _{+}^{-}{\vec {F_{em}}}\cdot {\vec {dl}}$

Par abus de langage, cette tension a vide est souvent appelée la force électromotrice, mais nous ne ferons pas cette erreur dans ce cours. Nous parlerons de tension électromotrice ou de tension à vide, pour éviter tout problème.

La caractéristique courant-tension d'un générateur

Caractéristique courant-tension d'un générateur.

Il existe une relation entre tension aux bornes du générateur et courant qu'il est capable de fournir. En théorie, un générateur de tension doit fournir exactement la tension demandée, quel que soit le courant à fournir. Par exemple, si on branche une résistance aux bornes d'un générateur, le courant que doit fournir le générateur est égal à $I=G\cdot U_{gen}$. Un générateur parfait fournira toujours la même tension, quelle que soit la valeur de la résistance. Même chose pour un générateur de courant, qui doit fournir toute tension à ses bornes pour maintenir le courant demandé. Mais dans la réalité, aucun générateur ne peut se permettre cela. Cela demanderait des générateurs qui fournissent une puissance non-bornée, alors que les générateurs réels sont limités par une puissance maximale, au-delà de laquelle ils ne peuvent pas aller.

Les générateurs linéaires

Pour un générateur linéaire, la relation entre tension et courant à ses bornes est une droite. Une telle relation est illustrée par le graphique à votre droite. Que nous dit ce graphique ?

• Premièrement, on voit que si le générateur ne fournit aucun courant, il y a une tension à ses bornes. Cela correspond au cas où le générateur n'est pas connecté à un circuit. Il n'y a pas de conducteur qui permette aux charges de la borne + de rejoindre la borne - : pas de récepteur ou de court-circuit. Il y a une tension aux bornes du générateur quand celui-ci n'est connecté à rien : on l'appelle la tension à vide du générateur.
• Ensuite, on voit que le générateur peut produire un courant maximal, quand la tension à ses bornes est nulle. Cela correspond à un générateur en court-circuit, où les deux bornes sont reliées directement. Ce courant est appelée le courant de court-circuit et se note $I_{cc}$.
• Les cas intermédiaires correspondent à un générateur relié à un circuit contenant des récepteurs, sans court-circuits. On voit que la relation entre tension et courant est "linéaire", similaire à celle d'une résistance. Cela vient du fait que le générateur contient naturellement des matériaux conducteurs, que les charges traversent. En conséquence, le générateur possède une résistance interne assez petite, mais qu'il vaut mieux prendre en compte dans certains calculs.

Cette courbe peut se traduire en équation, ce qui donne :

$U_{gen}=U_{vide}-r\cdot I$

Une autre forme de cette équation est la suivante :

$I=I_{cc}-{\frac {U_{gen}}{r}}$

Nous verrons que ces deux équations sont équivalentes dans la section suivante, quand nous parlerons des générateurs de Thévenin et de Norton. On peut cependant préciser, quitte à l'admettre pour le moment, que l’équivalence de ces deux équations implique la relation suivante :

$I_{cc}={\frac {U_{vide}}{r}}$

La puissance dissipée par un générateur linéaire

On peut calculer la puissance dissipée par un générateur à partir de cette équation.

$P=U_{gen}\cdot I=\left(U_{vide}-r\cdot I\right)\cdot I=U_{vide}\cdot I-r\cdot I^{2}=P(I)$

On voit que cette formule contient trois puissances différentes:

• Le terme $U_{vide}\cdot I$ est la puissance totale produite par le générateur.
• Le terme $U_{gen}\cdot I$ est la puissance absorbée par les récepteurs, la puissance utile.
• Le terme $-r\cdot I^{2}$ correspond à la puissance perdue par effet Joule dans la résistance interne.

La puissance utile maximale

Il est possible de calculer la puissance maximale que l'on peut extraire d'un générateur linéaire. Vu que la tension à vide est une constante, au même titre que la résistance à vide, il nous faut chercher quelle valeur du courant permet d'obtenir la puissance maximale. Pour cela, nous allons chercher quelle valeur du courant annule la dérivée de la puissance, ce qui donnera la valeur maximale de la puissance. Commençons par calculer la dérivé de l'expression précédente :

${\frac {dP}{dI}}={\frac {d}{dI}}(U_{vide}\cdot I)-{\frac {d}{dI}}(r\cdot I^{2})$

On applique alors la formule ${\frac {d(k\cdot f(t))}{dt}}=k\cdot {\frac {df(t)}{dt}}$ :

${\frac {dP}{dI}}=U_{vide}\cdot {\frac {d}{dI}}I-r\cdot {\frac {d}{dI}}(I^{2})$

Le calcul des dérivées donne :

${\frac {dP}{dI}}=U_{vide}-2\cdot I\cdot r$

Pour simplifier les calculs, nous allons diviser le tout par r :

${\frac {1}{r}}{\frac {dP}{dI}}={\frac {U_{vide}}{r}}-2\cdot I$

Par définition, ${\frac {U_{vide}}{r}}=I_{cc}$, ce qui donne :

${\frac {1}{r}}{\frac {dP}{dI}}=I_{cc}-2\cdot I$

Si la dérivée de la puissance vaut zéro, on a alors :

$0=I_{cc}-2\cdot I$

Quelques manipulations algébriques triviales nous disent que la puissance utile atteint un maximum pour un courant I tel que :

$I={\frac {I_{cc}}{2}}$

et une tension :

$U_{gen}={\frac {U_{vide}}{2}}$

La puissance utile maximale est alors de :

$P_{max}={\frac {{U_{vide}}^{2}}{4\cdot r}}$

Le rendement d'un générateur linéaire

Ces trois puissances permettent de calculer le rendement du générateur, à savoir son efficacité, sa capacité à limiter les pertes. Le rendement est quantifié par le pourcentage de puissance réellement utile par rapport à la puissance totale, à savoir le rapport suivant :

$\eta ={\frac {P_{utile}}{P_{totale}}}={\frac {U_{gen}\cdot I}{U_{vide}\cdot I}}={\frac {U_{gen}}{U_{vide}}}$

On peut alors injecter l'équation $U_{gen}=U_{vide}-r\cdot I$ dans l'équation $\eta ={\frac {U_{gen}}{U_{vide}}}$.

$\eta ={\frac {U_{vide}-r\cdot I}{U_{vide}}}=1-{\frac {r}{U_{vide}}}\cdot I=1-{\frac {I}{I_{cc}}}$

Cette équation montre que le rendement diminue avec l'intensité fournie par le générateur. Ce qui se comprend facilement : plus l'intensité est grande, plus les pertes par effet Joule dans la résistance interne seront importantes.

On peut calculer le rendement maximal d'un générateur à partir des équations précédentes. On a vu plus haut que la puissance maximale est obtenue pour un courant égal à $I={\frac {I_{cc}}{2}}$. En injectant dans l'équation $\eta =1-{\frac {I}{I_{cc}}}$, on trouve :

$\eta _{max}=50\%$

Les générateurs de Thévenin et Norton

Le graphique précédent est compatible avec deux modèles de générateurs. Un générateur réel peut être vu comme un générateur de tension/courant associé à une résistance interne, qui est placée soit en parallèle, soit en série du générateur. Deux possibilités sont compatibles avec l'équation précédente :

• Un générateur de tension en série avec la résistance interne : on parle de générateur de Thévenin.
• Un générateur de courant en parallèle avec la résistance interne : on parle de générateur de Norton.

Ces deux modélisations sont équivalentes, comme on le verra plus loin : tout générateur peut être modélisé par un générateur de Thévenin ou par un générateur de Norton sans que cela change la physique.

Générateur de Thévenin.

Générateur de Norton.

Voici les notations utilisées dans ce qui suit :

• $U_{gen}$ la tension aux bornes du générateur ;
• $U_{vide}$ la tension à vide du générateur ;
• $I$ le courant fournit par le générateur ;
• $I_{cc}$ le courant de court-circuit du générateur ;
• $r$ la résistance interne du générateur ;
• $re$ une résistance externe, connectée au générateur.

Les générateurs de Thévenin

Le générateur de Thévenin nous permet de calculer simplement le courant de court-circuit. Pour cela, il suffit de relier les deux bornes avec un court-circuit. Le circuit obtenu est alors un circuit série avec un générateur en série avec une résistance. On peut calculer le courant qui traverse la résistance avec la formule $U=R\cdot I$, qui donne immédiatement le courant de court-circuit. On voit que le courant de court-circuit n'est autre que le rapport entre tension à vide et résistance interne. Ce qui est assez évident : en court-circuit, le courant ne traverse que la résistance interne, alimentée par la tension à vide..

$I_{cc}={\frac {U_{vide}}{r}}$

Générateur de Thévenin avec une résistance/charge branchée sur les bornes.

Maintenant, ajoutons un récepteur linéaire, une résistance de préférence. D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du récepteur n'est autre que la tension fournie par le générateur. Le calcul de la tension aux bornes du récepteur donne :

$U_{vide}=U_{gen}+r\cdot I$

Ce qui se reformule comme suit :

$U_{gen}=U_{vide}-r\cdot I$

On voit bien que dans le cas où $I=0$, on retrouve la tension à vide. De même, le courant de court-circuit est celui qui annule la tension aux bornes ($U_{vide}=r\cdot I_{cc}$).

Les générateurs de Norton

Le générateur de Norton est composé d'un générateur de courant parfait placé en parallèle avec une résistance. Le courant débité par le générateur de courant est égal au courant de court-circuit $I_{cc}$ et la résistance est égale à la résistance interne $r$ . On voit que ce circuit permet de calculer la tension à vide $U_{vide}$ assez simplement. Pour cela, prenons le circuit de Norton, sans y toucher. Le courant produit par le générateur parfait va circuler dans la résistance. La tension aux bornes de cette résistance est égale à $U=R\cdot I$. L'analyse du schéma nous dit que cette tension est présente aux bornes de la résistance $r$ , et donc aux bornes du générateur, quand aucune charge externe n'est connectée. Il s'agit donc de la tension à vide. On a alors la formule suivante, avec :

$U_{vide}=r\cdot I_{cc}$

Maintenant, ajoutons une résistance externe entre les bornes du générateur. La loi des nœuds donne :

$I_{cc}=I_{r}+I$

où $I_{r}$ est le courant dans la résistance interne et $I$ celui dans la résistance externe.

D'après la loi d'oHm, l'intensité $I_{r}$ dans la résistance interne est ${\frac {U_{gen}}{r}}$, ce qui donne :

$I_{cc}={\frac {U_{gen}}{r}}+I$

$I=I_{cc}-{\frac {U_{gen}}{r}}$

L'équivalence des deux modèles

Équivalence des générateurs de Thevenin et Norton.

Les deux modèles de générateurs sont équivalents. La preuve est qu'il est possible de passer de l'équation du générateur de Thévenin à celle d'un générateur de Norton, et réciproquement. Voici la démonstration complète :

$U_{vide}-r\cdot I=U_{gen}$

On divise par r :

${\frac {U_{vide}}{r}}-I={\frac {U_{gen}}{r}}$

Le terme ${\frac {U_{vide}}{r}}$ est, par définition, le courant de court-circuit $I_{cc}$. Le remplacement donne ceci :

$I_{cc}-I={\frac {U_{gen}}{r}}$

On isole I :

$I=I_{cc}-{\frac {U_{gen}}{r}}$

Passer de l'un à l'autre est assez simple, vu que la résistance interne est la même dans les deux modèles. Le courant de court-circuit peut se calculer avec la résistance interne et la tension à vide et réciproquement. Il suffit d'appliquer la formule vue plus haut :

$I_{cc}={\frac {U_{vide}}{r}}$

Associations de générateurs

Supposons que vous souhaitiez obtenir un générateur de 15 Volts, alors que vous n'en avez pas sous la main. Tout ce que vous avez est un paquet de piles de 1.5 Volts. Intuitivement, on se doute que l'on pourra utiliser une dizaine de piles de 1.5 Volts pour obtenir les 15 Volts demandés. Mais comment faire ? Faut-il placer les piles en série ou en parallèle ? Ou alors faut-il procéder autrement ? La solution à ce problème va nous demander d'étudier ce qui se passe quand on place plusieurs générateurs en série ou en parallèle. Nous allons étudier la tension générée par ces associations de générateurs.

Générateurs en série

Si l'on place plusieurs générateurs en série, les tensions vont s'additionner. Dit autrement, la tension finale sera égale à la somme des tensions des générateurs. Ainsi, on peut obtenir une tension de 15 Volts en plaçant en série une dizaine de piles de 1.5 Volts. Un bon moyen de démontrer cette relation est de prendre plusieurs générateurs et de les mettre en série, avec une résistance. La loi des mailles nous dit que la somme de la tension aux bornes de la charge (la résistance) et des tensions des générateurs est nulle. Avec une petite manipulation algébrique simple, on retrouve le résultat précédent.

Générateurs en parallèle

Si placer plusieurs générateur en série fait que les tensions s'additionnent, on peut se demander ce qui se passe quand on met plusieurs générateurs en parallèle. Dans ce cas, la loi des mailles nous dit que la tension produite est égale à la tension d'un seul générateur (en supposant qu'ils sont identiques). Pas de changement par rapport à un seul générateur pour la tension. Cependant, on peut appliquer la loi des nœuds sur le circuit, en étudiant le courant qui passe à travers une charge/résistance. Dans ce cas, on trouve que le courant total est la somme du courant produit par chaque générateur.

Les associations de résistors

Dans les chapitres précédents, nous avons parlé des résistances et générateurs, qui n'ont plus de secrets pour nous. Les circuits les plus simples sont composés intégralement de résistances et de générateurs, d'où le nom de circuits résistifs qui leur est parfois donné. L'analyse de ces circuits se repose sur seulement trois équations : la loi des mailles, la loi des nœuds et la loi d'Ohm. Elle permet de calculer les tensions et courants en tout point du circuit. L'analyse de ces circuits dépend fortement du nombre de générateurs, et on peut faire la différence entre les circuits résistifs avec un seul générateur et ceux qui en ont plusieurs. Il se trouve que l'analyse des circuits avec plusieurs générateurs peut se rapporter à l'analyse de circuits avec un seul générateur (nous détaillerons cela dans le chapitre prochain). En conséquence, il est important d'étudier les circuits à un seul générateur, de savoir comment les analyser, ce qui est le but de ce chapitre. Dans le chapitre suivant, nous verrons comment analyser des circuits avec plusieurs générateurs. Précisons cependant que nous n’allons étudier le fonctionnement de ces circuits que dans le cas où le générateur fournit un courant ou une tension continus., le cas des tensions ou courants alternatifs étant laissé à plus tard.

Résistance équivalente.

Dans un circuit résistif à un seul générateur, on peut calculer le courant fournit par un générateur de tension avec l'aide d'un outil mathématique très simple : la résistance équivalente. Derrière ce terme barbare se cache quelque chose de simple : dans la plupart des calculs, il est possible de remplacer le réseau de résistances par une résistance unique, sans changer le comportement du circuit. Cette résistance unique est appelée la résistance équivalente. Celle-ci n'est autre que la tension aux bornes du réseau de résistances $U_{0}$, divisée par le courant $I$ qui traverse les résistances.

${\frac {U_{0}}{I}}=R_{eq}$

Dans ce chapitre, nous allons calculer la résistance équivalente de plusieurs circuits résistifs communs. Nous allons d'abord étudier des circuits où deux résistances sont placées en série ou en parallèle d'un générateur. Ces deux montages sont souvent appelés des diviseurs de tension et de courant, comme nous le verrons à l'instant. Nous allons d'abord étudier le cas simple où deux résistances sont placées en série, avant d'étudier celui où les résistances sont en parallèle. La raison en est que le cas série est le plus simple à étudier, le cas parallèle étant mathématiquement moins simple.

Résistances en série

Résistances en parallèle

Résistances en série

Diviseur de tension.

Lorsque l'on place deux résistances en série avec une source de tension, on obtient un montage appelé diviseur de tension. Ce terme deviendra plus clair quand vous aurez compris le fonctionnement de ce circuit. L'étude de ce circuit est assez simple, vu qu'il s'agit d'un circuit série. L'application de la loi des nœuds nous dit que le courant est constant dans tout le circuit, vu qu'il s'agit d'un circuit série. Son application n'est donc pas très intéressante. Mais tel n'est pas le cas pour la loi des mailles.

Résistance équivalente

Résistance équivalente d'une association série de deux résistances.

Dans ce qui va suivre, nous allons calculer la résistance équivalente d'une association série de résistances.

Pour cela, nous allons commencer par utiliser la loi des mailles, qui nous dit que la somme des tensions aux bornes des résistances et du générateur est nulle. En utilisant les notations du schéma à votre droite, on obtient :

$-U_{0}+U_{1}+U_{2}=0$

Ce qui se reformule comme suit :

$U_{0}=U_{1}+U_{2}$

On peut alors appliquer la loi d'Ohm pour chaque résistance, ce qui permet de reformuler les tensions $U_{1}$ et $U_{2}$ :

$U_{0}=I\cdot R_{1}+I\cdot R_{2}$

On factorise le courant I :

$U_{0}=I\cdot \left(R_{1}+R_{2}\right)$

On voit que cette formule est similaire à la loi d'Ohm, mais appliquée aux deux résistances, non à une résistance individuelle. On peut alors diviser la tension par le courant, pour obtenir la résistance équivalente :

${\frac {U_{0}}{I}}=R_{1}+R_{2}$

Celle-ci nous dit simplement que la résistance de deux résistances en série est égale à la somme des résistances. En somme, ce circuit est équivalent à une résistance $R_{1}+R_{2}$, placée en série avec le générateur. Par équivalent, on veut dire que le calcul du courant ou des tensions aux bornes des deux résistances donnera le même résultat. Le résultat précédent nous donne la valeur de la résistance équivalente de deux résistances en série : c'est leur somme.

On peut généraliser le résultat précédent pour un circuit avec plusieurs résistances en série, la démonstration étant similaire à celle pour deux résistances. Pour résumer, la résistance équivalente de plusieurs résistances en série est égale à la somme des résistances.

$R_{eq}=\sum _{i}R_{i}$

Tension aux bornes d'une résistance

Maintenant, essayons de calculer la tension aux bornes d'une résistance, par exemple aux bornes de la résistance $R_{1}$. Pour cela, il nous suffit d'appliquer la loi d'Ohm :

$U_{1}=R_{1}\cdot I$

Le courant $I$ se calcule en appliquant la loi d'Ohm avec la résistance équivalente : $I={\frac {U_{0}}{R_{eq}}}$. En faisant le remplacement, on a :

$U_{1}=R_{1}\cdot {\frac {U_{0}}{R_{eq}}}$

En réarrangeant les termes, on trouve :

$U_{1}=U_{0}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{eq}}}$

Cette formule est assez générale et se généralise pour un nombre arbitraire de résistances en série. On peut la reformuler comme suit :

${\frac {U_{R}}{U_{gen}}}={\frac {R}{R_{eq}}}$

Elle nous dit que la tension aux bornes d'une résistance est proportionnelle à la tension du générateur. Le coefficient de proportionnalité est le rapport entre la résistance étudiée et la résistance équivalente. On comprend alors pourquoi ce montage est appelé diviseur de tension : il permet de diviser la tension du générateur par la valeur de notre choix : il suffit de bien choisir les résistances pour obtenir le diviseur voulu.

Dans le cas précis où l'on n'a que deux résistances, on trouve :

$U_{1}=U_{0}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}$

Résistances en parallèle

Diviseur de courant.

Après avoir étudié le montage avec des résistances en série, nous allons voir ce qui se passe quand on utilise des résistances en parallèle. Le montage obtenu ne fonctionne pas comme un diviseur de tension, mais comme un diviseur de courant, comme nous allons le voir. Cette fois-ci, l'usage de la loi des mailles donne des résultats différents : chaque résistance formant une maille avec le générateur, on voit rapidement que la tension aux bornes du générateur est reproduite aux bornes de chaque résistance.

$U_{0}=U_{1}=U_{2}$

Résistance équivalente

Résistance équivalente d'une association parallèle de deux résistances.

Comme pour le circuit précédent, on peut calculer une résistance équivalente à ce circuit. On peut utiliser les résistances pour faire cette démonstration, mais les équations se formulent plus simplement en utilisant les conductances. On obtient alors le résultat suivant : dans un circuit parallèle, la conductance équivalente est égale à la somme des conductances. La résistance équivalente est égale à l'inverse de cette conductance équivalente ${\frac {1}{G_{eq}}}$.

${\frac {I}{U}}=G_{eq}=\sum _{i}G_{i}$

$R_{eq}={\frac {1}{G_{eq}}}={\frac {1}{\sum _{i}G_{i}}}$

Loi des nœuds avec deux résistances en parallèle.

Nous allons démontrer ces relations dans le cas de deux résistances en parallèle, mais sachez que la démonstration que nous allons faire se généralise aisément à plus de deux résistances.

Commençons par appliquer la loi des nœuds, qui dit que le courant qui traverse le circuit est la somme des courants qui traversent chaque résistance. On a alors :

$I=I_{1}+I_{2}$

On peut calculer le courant qui traverse chaque résistance, en appliquant la loi d'Ohm.

$I_{1}=U\cdot G_{1}$

$I_{2}=U\cdot G_{2}$

En injectant combinant les trois équations précédentes, on trouve :

$I=U\cdot G_{1}+U\cdot G_{2}=U\cdot \left(G_{1}+G_{2}\right)$

En divisant par U, on trouve la conductance équivalente :

$G_{eq}={\frac {I}{U}}=G_{1}+G_{2}$

La résistance équivalente est égale à ${\frac {1}{G_{eq}}}$. Dans notre exemple, cela donne :

$R_{eq}={\frac {1}{G_{eq}}}={\frac {1}{G_{1}+G_{2}}}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}$

Cette équation peut encore se simplifier :

$R_{eq}={\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}}}={\frac {1}{{\frac {R_{2}}{R_{1}R_{2}}}+{\frac {R_{1}}{R_{1}R_{2}}}}}={\frac {1}{\frac {R_{2}+R_{1}}{R_{1}R_{2}}}}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}$

Diviseur de courant

Répartition du courant dans deux résistances en parallèle.

On peut comprendre assez facilement pourquoi ce circuit s'appelle un diviseur de courant. Pour cela, on peut comparer le courant sortant du générateur avec le courant passant dans une résistance. Prenons par exemple la résistance $R_{1}$ et calculons le courant qui la traverse.

$I_{1}=U\cdot G_{1}$

Calculons maintenant le courant total :

$I=U\cdot G_{eq}$

Le rapport entre les deux vaut :

${\frac {I_{1}}{I}}={\frac {U\cdot G_{1}}{U\cdot G_{eq}}}={\frac {G_{1}}{G_{eq}}}$

On voit que le courant qui traverse une résistance est proportionnel au courant sortant du générateur, le coefficient étant le rapport entre conductance et conductance équivalente. Le courant a été divisé par ce rapport, ce qui fait que ce circuit divise bien le courant d'entrée par une valeur donnée, calibrée par le choix des conductances. Intuitivement, on comprend que c'est une conséquence de la loi des nœuds : le courant générateur se divise entre les deux résistances, en proportion de la valeur des conductances.

La formule précédente peut se reformuler comme suit :

$I_{1}=I\cdot {\frac {G_{1}}{G_{eq}}}$

Les circuits linéaires et leurs lois

Les lois de Kirchhoff permettent de démontrer d'autres lois très utiles pour analyser les circuits électriques. Parmi celles-ci, nous allons surtout étudier les lois qui valent pour ce qu'on appelle les circuits linéaires, aussi appelés circuits résistifs. Pour simplifier, un circuit linéaire ne contient que des générateurs parfaits et des résistances. La définition plus formelle est qu'un circuit linéaire ne contient que des dipôles dits linéaires. Ceux-ci sont des composants pour lesquels la relation entre tension et intensité à leurs bornes est affine (et non pas linéaire). Pour le moment, les composants linéaires que nous connaissons se limitent aux résistances et aux générateurs parfaits combinés à des résistances (générateurs réels vus précédemment).

Le principe de superposition

Le principe de superposition est de loin le plus simple à comprendre et à appliquer. Celui-ci s'applique pour les circuits linéaires, qui comprennent plusieurs générateurs. On pourrait croire que leur étude est très compliquée, mais le théorème de superposition simplifie grandement les calculs.

Ce principe permet de calculer les tensions, courants et potentiels en un point avec une méthode très simple : il suffit de faire la somme des résultats obtenus en ne prenant en compte qu'un seul générateur. Pour un circuit avec N générateurs, on doit donc calculer N tensions différentes, avant d'en faire la somme. Chaque tension se calcul en ne gardant qu'un seul générateur, différent pour chaque tension. Les générateurs à ne pas prendre en compte sont simplement remplacés par un fil.

Un premier exemple d'application

Illustration du principe de superposition.

Prenons par exemple un circuit avec deux générateurs, comme le circuit à votre droite, noté (a). Celui-ci contient deux générateurs, reliés aux bornes de deux résistances en série. On connaît la tension aux bornes des générateurs, ainsi que les valeurs des deux résistances. On souhaite connaître le potentiel au milieu du circuit, entre les deux résistances, que nous noterons $P$. Le théorème de superposition nous dit de calculer le potentiel deux fois : une première fois en ne prenant en compte que le premier générateur, et la seconde en ne gardant que le second. Ces deux étapes sont illustrées par les deux circuits notés(b) et (c).

La première étape est illustrée par le circuit noté (b). Seul le second générateur est conservé, l'autre étant remplacé par un court-circuit. On peut alors calculer la tension P en appliquant un diviseur de tension.

$P_{2}=V_{2}\cdot {\frac {R_{1}}{R_{1}+R_{2}}}=-2,77V$

La seconde étape est illustrée par le circuit noté (c). Seul le premier générateur est conservé, l'autre étant remplacé par un court-circuit. On peut encore une fois calculer la tension P en appliquant un diviseur de tension.

$P_{1}=V_{1}\cdot {\frac {R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}=8,88V$

On peut alors calculer la valeur du potentiel total en faisant la somme des deux potentiels précédents. On obtient :

$P=P_{2}+P_{1}=8,88V-2,77V=6,11V$

Un cas particulier : la loi de Pouillet

Quand un circuit ne contient qu'une seule maille, le principe de superposition permet de simplifier le circuit en réduisant drastiquement le nombre de générateurs et de résistances. Précisément, on peut fusionner tous les générateurs en un seul, dont la tension est la somme de celles des générateurs d'origine. Même chose pour les résistances, que l'on peut fusionner en une seule résistance, dont la valeur est la somme des résistances d'origine. Il s'agit d'une application des lois concernant les générateurs en série et les résistances en série. On peut alors utiliser ce résultat pour calculer le courant qui circule dans la maille, en divisant la tension fusionnée par la résistance équivalente.

Le théorème de Millman

Le théorème de Millman est une reformulation de la loi des nœuds, écrite avec des potentiels et des résistances. Prenons un nœud sur lequel convergent/divergent plusieurs branches. La loi des nœuds dit que la somme des courants de chaque branche reliée au nœud est nulle :

$0=I_{0}+I_{1}+I_{2}+\cdot \cdot \cdot +I_{n}$

Supposons que dans chaque branche numéro $i$, on trouve une résistance $R_{i}$. Il doit y avoir une tension $U_{i}$ aux bornes de la branche. D'après la loi d'Ohm, on a :

$0={\frac {U_{0}}{R_{0}}}+{\frac {U_{1}}{R_{1}}}+{\frac {U_{2}}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {U_{n}}{R_{n}}}$

Chaque tension est la différence entre le potentiel au niveau du nœud $V_{M}$ et les potentiels aux autres extrémités des branches $V_{i}$. On a donc :

$0={\frac {V_{0}-V_{M}}{R_{0}}}+{\frac {V_{1}-V_{M}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}-V_{M}}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {V_{n}-V_{M}}{R_{n}}}$

Développons :

$0={\frac {V_{0}}{R_{0}}}-{\frac {V_{M}}{R_{0}}}+{\frac {V_{1}}{R_{1}}}-{\frac {V_{M}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}}{R_{2}}}-{\frac {V_{M}}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {V_{n}}{R_{n}}}-{\frac {V_{M}}{R_{n}}}$

${\frac {V_{0}}{R_{0}}}+{\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {V_{n}}{R_{n}}}={\frac {V_{M}}{R_{0}}}+{\frac {V_{M}}{R_{1}}}+{\frac {V_{M}}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {V_{M}}{R_{n}}}$

${\frac {V_{0}}{R_{0}}}+{\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {V_{n}}{R_{n}}}=V_{M}\cdot \left({\frac {1}{R_{0}}}+{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {1}{R_{n}}}\right)$

On peut alors calculer le potentiel au niveau du nœud :

$V_{M}={\frac {{\frac {V_{0}}{R_{0}}}+{\frac {V_{1}}{R_{1}}}+{\frac {V_{2}}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {V_{n}}{R_{n}}}}{{\frac {1}{R_{0}}}+{\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}+\cdot \cdot \cdot +{\frac {1}{R_{n}}}}}$

Loi de Millman proprement dite

Image du théorème de Millman

Cela permet de calculer les tensions et courants dans les circuits similaires à celui présenté à votre droite. Il comprend plusieurs branches, chacune avec un générateur et une résistance (un récepteur linéaire, en toute généralité). Le courant qui passe dans une branche $M$ est égal à la somme de tous les autres courants.

$I_{M}=\sum _{i}{\frac {E_{i}}{R_{i}}}$

La tension s'obtient à partir du courant en multipliant par la résistance équivalente des autres branches (ou en divisant par la conductance équivalente).

$U_{M}=\sum _{i}{\frac {E_{i}}{R_{i}}}\cdot R_{eq}={\frac {\sum _{i}{\frac {E_{i}}{R_{i}}}}{G_{eq}}}$

Vu que ces branches sont en parallèle, on a : ${\frac {1}{R_{eq}}}=\sum _{i}{\frac {1}{R_{i}}}$, ou encore $G_{eq}=\sum _{i}G_{i}$, ce qui donne :

$U_{M}=\sum _{i}{\frac {E_{i}}{R_{i}}}\cdot \sum _{i}G_{i}={\frac {\sum _{i}{\frac {E_{i}}{R_{i}}}}{\sum _{i}{\frac {1}{R_{i}}}}}$

Exemple

Millman Illustration exemple

Prenons le circuit à votre droite. La loi de Millman permet de calculer la tension entre les points a et b. L'application de la loi de Millman donne :

$V_{ab}={\frac {{\dfrac {V_{1}}{R_{1}}}+{\dfrac {V_{2}}{R_{2}}}+{\dfrac {V_{3}}{R_{3}}}}{{\dfrac {1}{R_{1}}}+{\dfrac {1}{R_{2}}}+{\dfrac {1}{R_{3}}}}}$ $={\frac {{\dfrac {10}{5}}+{\dfrac {0}{8}}+{\dfrac {-12}{3}}}{{\dfrac {1}{5}}+{\dfrac {1}{8}}+{\dfrac {1}{3}}}}=-3V$

Les théorèmes de Thévenin et Norton

Les théorèmes de Thévenin et de Norton, que nous allons voir dans ce qui suit, sont souvent appelés les théorèmes des générateurs. La raison est qu'ils permettent de remplacer un (morceau de) circuit linéaire par un dipôle équivalent à un générateur linéaire. Plus précisément, ils permettent de remplacer un circuit linéaire, ou une partie de circuit linéaire, par un générateur couplé avec une résistance. Cela n'est évidemment possible que si le circuit est localisé entre deux points d'un circuit, à savoir si ce (morceau de) circuit possède deux bornes.

Le théorème de Thévenin

Exemple d'application du théorème de Thévenin. On voit que le circuit de gauche, vu entre deux points, est équivalent au circuit de droite composé d'un générateur en série avec une résistance. On peut remplacer le circuit de droite par celui de gauche, et réciproquement, sans changer la physique ou les calculs lors de l'étude du circuit.

Le théorème de Thévenin dit qu'un (morceau de) circuit linéaire est équivalent à un générateur de tension en série avec une résistance. La tension produite par le générateur est appelé la tension de Thévenin et la résistance associée est appelée la résistance de Thévenin. La tension du générateur se calcule en prenant le circuit ouvert, alors que la résistance se calcule en remplaçant les générateurs par leur résistance interne.

Pour en donner un exemple, étudions le circuit ci-dessous, noté (a) dans le schéma. Celui-ci est composé de quatre résistances et d'un générateur, avec une charge entre les points A et B.

• Première étape : calculer la tension de Thévenin. Pour cela, on prend le circuit ouvert : on ne met rien entre les points A et B. On calcule alors la tension entre A et B : celle-ci est la tension de Thévenin. Cette étape est illustrée au schéma noté (b). Dans l'exemple étudié, un simple diviseur de tension suffit. Le calcul donne :

$U_{Thevenin}=U_{gen}\cdot {\frac {R3+R2}{R2+R3+R4}}=15V\cdot {\frac {1k\Omega +1k\Omega }{1k\Omega +1k\Omega +2k\Omega }}=7,5V$

• Seconde étape : calculer la résistance de Thévenin. Pour cela, on remplace les générateurs par leur résistance interne et on calcule la résistance équivalente du circuit. Cette étape est illustrée au schéma noté (c). On voit que R1 est en série avec un circuit composé de R4 en parallèle avec R2 et R3 (qui sont en série). Pour commencer, R2 et R3 sont en série, ce qui fait que leurs résistances s'additionnent. Puis, on doit calculer la résistance équivalente à R4 en parallèle avec R3 + R2, ce qui donne :

$R_{temp}={\frac {R4\cdot (R3+R2)}{R4+R3+R2}}=1k\Omega$

Reste à calculer la résistance équivalente totale qui est égale à la résistance précédente mise en série avec R1. l'addition donne :

$R_{eq}=2k\Omega$

• Une fois cela fait, on peut remplacer le circuit par un générateur qui produit la tension calculée à la première étape, mis en série avec la résistance calculée à la seconde étape.

Exemple d'application du théorème de Thévenin.

Le théorème de Norton

Exemple d'application du théorème de Norton. On voit que le circuit de gauche, vu entre deux points, est équivalent au circuit de droite composé d'un générateur en parallèle avec une résistance. On peut remplacer le circuit de droite par celui de gauche, et réciproquement, sans changer la physique ou les calculs lors de l'étude du circuit.

Le théorème de Norton dit qu'un (morceau de) circuit linéaire est équivalent à un générateur de courant en parallèle avec une résistance. Le courant produit par le générateur est appelé le courant de Norton et la résistance associée est appelée la résistance de Norton. Le courant se calcule en court-circuitant le circuit étudié, à savoir en reliant les deux bornes du (morceau de ) circuit. Par contre, la résistance se calcule en remplaçant les générateurs par leur résistance interne et en calculant la résistance équivalente du circuit obtenu.

Exemple d'application du théorème de Norton.

Pour mieux comprendre, voici un exemple d'application.

Nous allons étudier le circuit numéroté (a), illustré dans le schéma ci-contre, à gauche.

• Première étape : calculer le courant de Norton. Pour cela, on court-circuite le circuit complet, en mettant un fil entre A et B. Il reste alors à calculer le courant qui circule dans ce fil, qui n'est autre que le courant de Norton. Dans l'exemple ci-dessous, le court-circuit donne le circuit numéro (b). On obtient alors un circuit proche du diviseur de courant, et les calculs donnent :

$I_{Norton}=1,82A$

• Seconde étape : remplacer les générateurs par des fils et calculer la résistance équivalente entre A et B. Le circuit obtenu en remplaçant les générateurs est illustré à gauche : c'est le numéro (c). Les calculs donnent une résistance équivalente égale à 3,66 Ohms.

$R_{Norton}=3,66\Omega$

• Enfin, on peut remplacer le circuit complet par un générateur qui produit le courant calculé à la première étape, en parallèle avec la résistance calculée à la seconde étape.

Conversion entre Thévenin et Norton

On a vu dans le chapitre sur les générateurs qu'il est possible de passer d'un générateur de Thévenin à un générateur de Norton assez facilement. Rappelons simplement les faits suivants :

• Les deux résistances, de Norton et de Thévenin, sont identiques. En effet, elles se calculent de la même manière : ce sont toutes deux la résistance équivalente entre les points A et B, une fois les générateurs remplacés par leur résistance interne.
• Le courant de Norton et la tension de Thévenin sont reliés entre eux par l'équation suivante, où $R_{Eq}$ est la résistance équivalente mentionnée précédemment.

$I_{cc}={\frac {U_{vide}}{R_{Eq}}}$

Le théorème de Kennelly et les transformations étoile-mesh

La transformation étoile-mesh permet de passer d'un ensemble de résistances « en étoile » vers un ensemble « en mesh». Les deux configurations sont illustrées ci-dessous. Dans la configuration en étoile, plusieurs résistances sont reliées à un point central commun. Une extrémité de chaque résistance est connectée au point central, l'autre extrémité est "libre". L'ensemble des extrémités libres forme un polygone. Dans la configuration en mesh, chaque résistance relie deux sommets du polygone.

Transformation étoile-mesh.

Le passage de la configuration en étoile vers la configuration en mesh utilise l'équation suivante. Elle donne la valeur de la résistance entre deux points A et B du polygone, qui est notée $R_{ab}$. Pour cela, elle a besoin de la somme de toutes les résistances de l'étoile, notée $\sum R_{i}$, de la valeur de la résistance qui connecte A au centre ($R_{a}$) et la valeur de la résistance qui connecte B au centre ($R_{b}$). On a alors :

$R_{ab}={\frac {R_{a}\cdot R_{b}}{\sum R_{i}}}$

La transformation inverse, d'un mesh vers une étoile, n'est pas possible dans que l'on impose des contraintes additionnelles. Cela signifie qu'il n'y a pas de formule générale qui permette de faire les calculs. La raison est que la transformation d'une étoile vers un mesh augmente le nombre de résistance, alors que la transformation inverse le réduit. Autant calculer un grand nombre de résistances à partir d'un plus petit nombre ne pose pas de problème, autant calculer un petit nombre de résistances à partir de plus de résistances est bien moins facile.

On peut deviner facilement que la transformation étoile-mesh fait passer de $N$ résistances à $N(N+1) \over 2$ résistances.

Un cas particulier : le théorème de Kennelly

L'application du théorème précédent dans le cas à trois résistances s'appelle le théorème de Kennelly. Il permet de passer d'un ensemble de résistances « en étoile » vers un ensemble « en triangle ». Dans la configuration en étoile, trois résistances sont reliées à un point central commun. Dans la configuration en triangle, elles sont reliées de manière à former un triangle. Les deux configurations sont illustrées ci-dessous. Le théorème de Kennelly est aussi appelé la transformation étoile-triangle. Précisons que dans ce cas particulier, on peut faire la conversion dans les deux sens : de l'étoile vers le mesh, mais aussi du mesh vers l'étoile. C'est possible parce que, dans les deux cas, le nombre de résistances est conservé : il y a trois résistances dans les deux configurations. Pour comprendre comment passer de l'une à l'autre, nous allons utiliser les deux circuits ci-dessous, avec les résistances numérotées.

Théorème de Kennelly.

Le passage de la configuration en triangle vers la configuration en étoile utilise les trois équations suivantes :

$R_{1}={\frac {R_{b}\cdot R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

$R_{2}={\frac {R_{a}\cdot R_{c}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

$R_{3}={\frac {R_{a}\cdot R_{b}}{R_{a}+R_{b}+R_{c}}}$

Le passage de la configuration en étoile vers la configuration en triangle utilise les trois équations suivantes :

$R_{a}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}+R_{2}\cdot R_{3}+R_{3}\cdot R_{1}}{R_{1}}}$

$R_{b}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}+R_{2}\cdot R_{3}+R_{3}\cdot R_{1}}{R_{2}}}$

$R_{c}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}+R_{2}\cdot R_{3}+R_{3}\cdot R_{1}}{R_{3}}}$

Ce théorème est utile pour simplifier certains circuits assez complexes. Deux exemples d'utilisation de ce théorème sont illustrés ci-dessous. On voit, dans ces deux exemples, que le théorème de Kennelly permet de passer d'un circuit assez complexe à un circuit plus simple à interpréter.

Exemple d'utilisation du théorème de Kennelly.

Exemple d'utilisation du théorème de Kennelly.

Les quadripôles électriques

Quadripôle.

Courants et tension aux bornes d'un quadripôle.

Certains circuits reçoivent une tension ou un courant sur leur entrée, qui doit donc contenir deux bornes, deux broches. Même constatation pour la sortie, qui fournit une tension, et possède elle aussi deux broches. Ceux-ci sont appelés des quadripôles et ne sont rien de plus que des composants avec quatre broches, dont deux entrées et deux sorties. Ils sont à comparer aux dipôles, vus dans les chapitres précédents, qui n'ont que deux broches. Dans ce chapitre, nous allons étudier ces quadripôles en détail.

Les relations en résistance et conductance

Décrire un quadripôle revient à donner les liens entre les tensions et les courants sur ses entrée et sortie. Il existe des relations entre les courants qui traversent un quadripôle et les tensions à ses bornes. Ces relations sont cependant plus complexes que de simples rapports, chaque tension dépendant de deux courants : le courant d'entrée et celui de sortie. On peut définir ainsi plusieurs relations, appelées relations en résistance, en conductance et hybrides. Les premières, celles en résistance, donnent les tensions à partir des courants. Les relations en conductance font l'inverse : elles donnent les courants en fonction des tensions. Les relations hybrides font une espèce d'intermédiaire entre les deux précédentes.

Les relations en résistance

Les relations qui définissent la tension d'entrée $U_{e}$ et la tension de sortie $U_{s}$ sont les suivantes :

$U_{e}=z_{11}\cdot I_{e}+z_{12}\cdot I_{s}$

$U_{s}=z_{21}\cdot I_{e}+z_{22}\cdot I_{s}$

Paramètres des relations en résistance d'un quadripôle linéaire.

Les coefficients de proportionnalités entre tensions et courants ne sont pas exactement des résistances, ce qui fait qu'ils portent des noms spécifiques.

• $z_{11}$ est appelé la résistance d'entrée à vide du quadripôle ;
• $z_{22}$ est appelé la résistance de sortie à vide du quadripôle ;
• $z_{12}$ est appelé la résistance de transfert inverse du quadripôle .
• $z_{21}$ est appelé la résistance de transfert du quadripôle.

Chacun a une interprétation physique précise, qu'il est intéressant de connaître. Commençons par la résistance d'entrée à vide, dont le nom trahit son origine. Il s'agit d'une résistance qui se mesure quand on ne branche rien sur la sortie du quadripôle, qui est en circuit ouvert. Dans ce cas, on peut calculer le rapport entre tension et courant d'entrée, qui n'est autre que la résistance d'entrée à vide.

$(I_{s}=0)\implies z_{11}={\frac {U_{e}}{I_{e}}}$

Résistance de sortie à vide d'un quadripôle.

Il en est de même pour la résistance de sortie à vide, qui est la résistance mesurée sur la sortie quand on ne branche rien sur l'entrée.

$(I_{e}=0)\implies z_{22}={\frac {U_{s}}{I_{s}}}$

La résistance de transfert correspond à la relation entre tension de sortie et courant d'entrée, sous réserve que le courant de sortie soit nul.

$(I_{s}=0)\implies z_{21}={\frac {U_{s}}{I_{e}}}$

La résistance de transfert inverse est le rapport entre tension d'entrée et courant de sortie, sous réserve que le courant d'entrée soit nul.

$(I_{e}=0)\implies z_{12}={\frac {U_{e}}{I_{s}}}$

Précisons rapidement que, pour un quadripôle composé uniquement de composants linéaires, les paramètres $z_{12}$ et $z_{21}$ sont égaux.

Les relations en conductance

Les équations précédentes peuvent être reformulées de manière à définir les courants d'entrée et de sortie en fonction des tensions.

$I_{e}=y_{11}\cdot U_{e}+y_{12}\cdot U_{s}$

$I_{s}=y_{21}\cdot U_{e}+y_{22}\cdot U_{s}$

Les résistances $z_{11}$, $z_{12}$, $z_{21}$ et $z_{22}$ sont alors remplacées par des conductances. Les conductances $y_{11}$, $y_{12}$, $y_{21}$ et $y_{22}$ obtenues sont appelées de la même manière que les résistances associées : conductance d'entrée à vide, de sortie à vide, de transfert, de transfert inverse.

On peut noter que la conductance d'entrée n'est autre que l'inverse de la résistance d'entrée à vide. Même chose pour celle de sortie. Leur interprétation physique est la même que pour les résistances d'entrée/de sortie à vide : ce sont les conductances mesurées sur l'entrée ou la sortie quand l'autre port n'est branché à rien.

$y_{11}={\frac {1}{z_{11}}}$

$y_{22}={\frac {1}{z_{22}}}$

Les relations hybrides

Relations hybrides d'un quadripôle linéaire.

Enfin, la dernière manière de représenter un quadripôle utilise un jeu de paramètres hybrides, prend en entrée le courant d'entrée et la tension de sortie, et calcule les deux autres paramètres.

$U_{e}=h_{11}\cdot I_{e}+h_{12}\cdot U_{s}$

$I_{s}=h_{21}\cdot I_{e}+h_{22}\cdot U_{s}$

Les noms donnés aux paramètres $h_{11}$, $h_{12}$, $h_{12}$ et $h_{21}$ sont :

• $h_{11}$ : résistance d'entrée ;
• $h_{12}$ : gain inverse en tension ;
• $h_{21}$ : gain en courant de transfert ;
• $h_{22}$ : conductance de sortie.

Ce jeu de paramètres sera très utile pour analyser le fonctionnement des transistors, dans quelques chapitres.

Les circuits équivalents

Les relations précédentes permettent de donner un modèle équivalent du quadripôle, à savoir un circuit qui fonctionne de la même manière, du point de vue des tensions et courants.

Le circuit équivalent d'un quadripôle quelconque

Les relations en résistance donnent un circuit équivalent assez simple. Celui-ci comprend deux résistances, une pour la résistance d'entrée et l'autre pour celle de sortie. Il comprend aussi deux générateurs de tension, le premier dont la valeur est le produit $z_{12}\cdot I_{s}$ et le second dont la valeur est de $z_{21}\cdot I_{e}$. Les relations en conductance donnent un circuit avec deux conductances et deux générateurs de courant. Enfin, les relations hybrides permettent aussi de construire un circuit équivalent. Les trois circuits équivalents sont illustrés ci-dessous.

Relations en impédance.
Relations en conductance.
Relations hybrides.

Le circuit équivalent d'un quadripôle linéaire

Dans le cas des circuits linéaires, la résistance de transfert et la résistance de transfert inverse sont égales. Si l'on prend en compte ce fait, on voit qu'une résistance disparaît du circuit équivalent. Finalement, seules trois résistances subsistent. On peut alors les organiser de deux manières différentes, mais équivalentes, qui sont illustrées ci-dessous. On peut passer d'un circuit équivalent à l'autre en utilisant le théorème de Kennely.

Circuit équivalent d'un quadripôle.

Quadripôles en série et en parallèle

Dans les chapitres précédents, nous avons vu qu'il est possible de mettre des dipôles en série ou en parallèle. Nous avons d'ailleurs vu les exemples avec les résistances et les générateurs en série/parallèle. Il est possible de faire la même chose avec les quadripôles, mais le fait qu'ils possèdent quatre broches complique un petit peu la situation. Cette fois-ci, il y a cinq possibilités, et non plus deux (série et parallèle). Le cas le plus simple est celui qui consiste à placer deux quadripôles en cascade, l'entrée de l'un étant connecté sur la sortie de l'autre. Mais il en existe quatre autres, toutes étant illustrées ci-dessous.

Quadripôles en cascade.
Quadripôles en série	Quadripôle en parallèle
Quadripôles en série-parallèle	Quadripôle en parallèle-série

Le condensateur

Symbole d'un condensateur parfait et conventions de charges et de tension..

Un condensateur est composé de deux plaques de conducteurs appelées armatures et séparées par un isolant électrique. Formellement, il sert de réservoir à électrons : on peut le remplir d’électrons ou le vider en mettant une tension sur ses entrées. Les charges sont stockées dans les armatures, l'isolant empêchant tout courant entre les armatures, toute fuite. Les charges positives s'accumulent sur une armature, alors que les charges négatives s'accumulent sur l'autre. De plus, la charge sur une armature est l'exact égal de l'autre, en valeur absolue. Pour résumer :

$Q_{armature^{+}}=-Q_{armature^{-}}$

Condensateur, répartition des charges sur les armatures.

Cette explication nous permet de mieux comprendre le comportement d'un condensateur en courant continu, quand il est intégralement chargé. Celui-ci est équivalent à un interrupteur ouvert. En effet, l'isolant du condensateur empêche le courant de traverser le condensateur. SI le condensateur est totalement chargé, la tension à ses bornes est simplement égale à la tension du générateur qui l'alimente. Par contre, le comportement du condensateur est différent quand il se charge ou se décharge.

La capacité d'un condensateur

Relation entre charge et tension aux bornes d'un condensateur.

La quantité de charges stockées dans un condensateur est proportionnelle à la tension, le coefficient de proportionnalité étant appelée la capacité du condensateur, notée $C$. Elle est définie par la relation suivante, avec :

• Q la charge stockée sur les armatures ;
• U la tension aux bornes du condensateur ;
• C la capacité électrique du condensateur.

$Q=C\cdot U$

L'inverse de la capacité d'un condensateur est appelée l'élastance. Elle se note S.

$S={\frac {U}{Q}}$

La relation intensité-tension d'un condensateur

Repartons de l'équation :

$Q=C\cdot U$

En la dérivant par la variable temps, on obtient l'équation suivante :

${\frac {dQ}{dt}}={\frac {d\left(C\cdot U\right)}{dt}}$

Le terme de gauche n'est autre que l'intensité aux bornes du condensateur :

$I={\frac {d\left(C\cdot U\right)}{dt}}$

La capacité du condensateur étant une constante, on a :

$I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$

On peut noter que cette équation permet de retrouver le comportement en régime permanent (quand les tension et courant aux bornes du condensateur ne varient pas). En régime permanent, la tension aux bornes du condensateur est constante, stable, de même que le courant qui le traverse. Dans ce cas, on retrouve un courant d'intensité nulle. En clair, il peut exister une tension aux bornes du condensateur, mais aucun courant ne peut passer à travers le condensateur. Ce qui est le comportement d’un interrupteur ouvert, d'un morceau d'isolant.

L'énergie stockée dans un condensateur

Un condensateur stocke des charges, ce qui implique qu'il stocke de l'énergie. Ajouter des charges dans un condensateur demande en effet de déplacer celles-ci dans les armatures, ce qui utilise de l'énergie. Pour cela, il faut placer une tension à ses bornes, ce qui entraînera les charges vers le potentiel le plus bas, à savoir dans l'armature. Le déplacement des charges n'est autre qu'un courant, dont l'intensité est connue. Et qui dit tension et intensité dit puissance, puissance qui est ici utilisée pour ajouter les charges à l'armature. En clair, l'énergie stockée dans un condensateur n'est autre que l'énergie qu'il a fallu fournir pour charger les armatures avec la charge Q.

Contrairement à ce que l'intuition nous dit, l'énergie stockée dans un condensateur n'est pas proportionnelle au nombre de charges. Cela est du au fait qu'ajouter une charge demande plus d'énergie que l'ajout de la précédente. On peut comprendre cela assez intuitivement en partant d'un condensateur vide, sans charges sur les armatures. L'ajout de la première charge est celui qui demande le moins d'énergie : il n'y a aucune force de résistance qui empêche la charge d'aller dans l'armature, si ce n'est la résistance des fils. Mais lors de l'ajout de la seconde charge, il faudra vaincre la répulsion électrique de la première charge, ce qui demandera d'utiliser un peu plus d'énergie. Même chose lors de l'ajout de la troisième charge, qui demandera de dépenser de quoi vaincre la répulsion des deux premières charges, et ainsi de suite. Ce faisant, l'ajout d'une nouvelle charge dans le condensateur demande un surplus d'énergie, pour vaincre la répulsion des charges déjà en place. Plus il y a de charges sur les armatures, plus ce surplus d'énergie sera important.

Pour calculer l'énergie stockée dans un condensateur, nous allons partir de la définition de la puissance $P$ :

${\frac {dE}{dt}}=P$

On applique alors la relation $P=U\cdot I$ :

${\frac {dE}{dt}}=U\cdot I$

On applique alors la relation $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour l'intensité :

${\frac {dE}{dt}}=C\cdot U\cdot {\frac {dU}{dt}}$

On multiplie par $dt$ :

$dE=C\cdot U\cdot dU$

En intégrant, on trouve :

$\int dE=C\cdot \int \left(U\cdot dU\right)$

Ce qui donne le résultat final :

$E={\frac {1}{2}}\cdot C\cdot U^{2}$

Les types de condensateurs

Les condensateurs peuvent être placés dans plusieurs catégories, suivant la forme de leurs armatures.

• Dans les condensateurs plans, ces armatures sont deux plaques plates de métal séparées par un isolant.
• Dans un condensateur cylindrique, les deux armatures ont une forme cylindrique.
• Enfin, dans un condensateur sphérique, les armatures sont des sphères de métal.

Suivant le type de condensateur utilisé, la capacité peut se calculer plus ou moins facilement. Le tableau ci-dessous récapitule les formules de capacité pour chaque type de condensateur. Dans ces formules, le terme $\varepsilon$ est un paramètre appelé la permittivité.

Type de condensateur	Capacité	Illustration
Condensateur plan	$C=\varepsilon \cdot {\frac {A}{d}}$
Condensateur cylindrique	$C=2\pi \varepsilon {\frac {l}{\ln \!\left({\frac {R_{2}}{R_{1}}}\right)}}$
Condensateur sphérique	$C=4\pi \varepsilon {\frac {1}{{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}}}$

La bobine

Bobine parfaite - symbole.

La bobine est un fil de conducteur enroulé sur lui-même, ayant une forme plus ou moins cylindrique. Le fil, souvent en cuivre, est parfois enroulé autour d'un cylindre métallique magnétique. Les bobines sont parfois appelées des inductances ou des selfs. Cette explication nous permet de mieux comprendre le comportement d'une bobine en courant continu : elle est équivalente à un interrupteur fermé, à un morceau de fil. Par contre, le comportement de la bobine est différent quand elle est parcourue par un courant qui varie dans le temps. Dans ce cas, la bobine va s'opposer aux variations brusques du courant et va en quelque sorte lisser celui-ci, en atténuer les variations. Pour résumer, une bobine s'oppose aux variations du courant et tend à lisser celui-ci. Une fois que le courant est stabilisé, la bobine se comporte comme un simple fil.

Image d'une bobine simple.

L'inductance d'une bobine

Champ magnétique produit par un fil conducteur.

Champ magnétique produit par une bobine.

Quand du courant traverse un fil conducteur, il engendre un champ magnétique autour de lui. Ce champ est décrit par un paramètre, appelé le flux magnétique $\Phi$. Ce dernier est de plus proportionnel au courant. Le coefficient de proportionnalité porte le nom d'inductance et se mesure en Henry.

$\Phi =L\cdot I$

Elle se calcule avec la formule théorique qui suit, avec les paramètres suivants :

• $N$ le nombre de spires, de tours formés par le fil de conducteur.
• $S$ la section du cylindre formé par les spires de fil conducteur.
• $l$ la longueur du cylindre formé par les spires de fil conducteur.
• $\mu$ est la perméabilité magnétique du matériau localisé dans le cylindre formé par les spires.

$L={\frac {\mu \cdot N^{2}\cdot S}{l}}$

La relation tension-intensité d'une bobine

Lorsque le courant est constant, ce champ magnétique n'a pas le moindre effet sur le circuit électrique. Mais quand le champ magnétique dans un fil varie, il entraîne l'apparition d'une tension à ses bornes. Pour résumer, une variation du courant engendre une variation du flux magnétique, qui entraîne l'apparition d'une tension. Pour un fil "normal", la tension n'est pas générée dans le fil, mais à ces alentours, dans le champ magnétique. Mais il existe un moyen pour que cette tension se manifeste dans le fil qui lui a donné naissance : enrouler le fil sur lui-même. Ainsi, chaque spire (chaque tour que fait le fil sur lui-même) engendrera une tension dans les spires contiguës. On obtient ainsi un composant électrique qui génère une tension à ses bornes quand le courant qui le traverse varie : une inductance.

La relation entre variation du flux magnétique et tension est résumée par l'équation de Lenz, que voici :

$U={\frac {d\Phi }{dt}}$

En appliquant la définition de l'inductance, on a :

$U={\frac {d(L\cdot I)}{dt}}$

En supposant que l'inductance est une constante, on a :

$U=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$

Cette équation nous dit que la tension engendrée est proportionnelle à la variation du courant. On voit bien que l'inductance $L$ est l'équivalent pour une bobine de la capacité d'un condensateur ou de la résistance pour un résistor.

On peut noter que cette équation permet de retrouver le comportement en régime permanent (quand les tensions et courants aux bornes de la bobine ne varient pas). En régime permanent, le courant qui traverse la bobine est constant, stable, de même que la tension à ses bornes. La dérivée s'annule dans l'équation, ce qui fait qu'on retrouve une tension nulle. En clair, il peut exister un courant stable qui traverse la bobine, mais la tension est nulle à ses bornes. Ce qui est le comportement d'un interrupteur fermé, d'un fil conducteur.

L'énergie stockée dans une bobine

Comme les condensateurs, la bobine peut stocker de l'énergie électrique, sous forme magnétique. Pour la calculer, repartons de l'équation qui définit la puissance électrique :

$dE=U\cdot I\cdot dt$

Remplaçons la tension en appliquant la formule $U=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$ :

$dE=I\cdot L\cdot {\frac {dI}{dt}}\cdot dt$

$dE=L\cdot I\cdot dI$

En intégrant, on obtient :

$\int dE=L\cdot \int \left(I\cdot dI\right)$

Quelques simplifications nous donnent alors l'énergie stockée par une bobine :

$E={\frac {1}{2}}\cdot L\cdot I^{2}$

Bobines et condensateurs en série/parallèle

Dans ce chapitre, nous allons étudier ce qui se passe quand on place deux condensateurs en série ou en parallèle. Nous ferons ensuite de même, mais avec les bobines.

Associations de condensateurs

Comme les résistances, les condensateurs peuvent aussi être associés en série ou en parallèle. Et là encore, on peut calculer une grandeur identique à la résistance équivalente, si ce n'est que les résistances sont remplacées par des capacités : la capacité équivalente. Ce concept est très simple pour qui se souvient de la définition de la capacité ($Q=C\cdot U$). La capacité équivalente d'un ensemble de condensateurs se définit par la quantité de charges stockées dans le circuit, divisée par la tension aux bornes du générateur : $Q_{tot}=C_{eq}\cdot U_{gen}$.

Condensateurs en série.

Condensateurs en parallèle.

Condensateurs en parallèle

Le calcul de la capacité équivalente est très simple pour des condensateurs en parallèle. D'après la loi des mailles, la tension au bornes de chaque condensateur est égale à la tension du générateur. Chaque condensateur stocke donc une charge égale à :

$Q_{1}=C_{1}\cdot U$

$Q_{2}=C_{2}\cdot U$

La charge totale stockée dans le circuit est donc de :

$Q=Q_{1}+Q_{2}$

En faisant le remplacement avec les équations précédentes, on a :

$Q=C_{1}\cdot U+C_{2}\cdot U=\left(C_{1}+C_{2}\right)\cdot U$

En divisant par $U$, on trouve la capacité équivalente :

${\frac {Q}{U}}=C_{1}+C_{2}=C_{eq}$

La capacité équivalente de condensateurs en parallèle est donc la somme de leurs capacités. Et le raisonnement se généralise facilement pour plus de deux condensateurs en parallèle. Dit autrement :

$C_{eq}=\sum _{i}C_{i}$

Condensateurs en série

Maintenant, prenons deux condensateurs et plaçons-les en série.

• Les capacités des deux condensateurs sont respectivement $C_{1}$ et $C_{2}$.
• Les tensions aux bornes de chaque condensateur sont notées $U_{1}$ et $U_{2}$, celle du générateur étant notée $U$.
• Les charges de ces condensateurs sont notées respectivement $Q_{1}$ et $Q_{2}$.

D'après la loi des mailles, on a :

$U=U_{1}+U_{2}$

Vu qu'ils sont en série, ces condensateurs sont alimentés par un courant identique. En conséquence, la charge qu'ils ont accumulé est la même pour tous les condensateurs. On applique alors la formule $U={\frac {Q}{C}}$ :

$U={\frac {Q}{C_{1}}}+{\frac {Q}{C_{2}}}$

On divise par $Q$ pour obtenir l'inverse de la capacité équivalente :

${\frac {U}{Q}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}$

On voit que la situation est similaire à celle pour des résistances  : l'inverse de la capacité équivalente est égale à la somme des inverses des capacités. Et cela vaut aussi avec plus de deux condensateurs.

${\frac {1}{C_{eq}}}=\sum _{i}{\frac {1}{C_{i}}}$

Associations de bobines

Comme les résistances et les condensateurs, les bobines peuvent être associés en série ou en parallèle. Et là encore, on peut calculer une grandeur identique à la résistance/capacité équivalente, mais pour les bobines : l'inductance équivalente. Celle-ci vaut, par définition :

$U=L_{eq}\cdot {\frac {dI_{tot}}{dt}}$

Bobines en série.

Bobines en parallèle.

Bobines en série

Prenons l'exemple de deux bobines en série, les raisonnements suivants pouvant être adaptés pour plus de deux bobines. Si on alimente ces bobines avec une source de tension $U$, la loi des mailles nous donne :

$U=U_{L1}+U_{L2}$

On applique alors la formule $U=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, en prenant garde au fait que l'intensité est la même dans tout le circuit :

$U=L_{1}\cdot {\frac {dI}{dt}}+L_{2}\cdot {\frac {dI}{dt}}=\left(L_{1}+L_{2}\right)\cdot {\frac {dI}{dt}}$

On voit que l'inductance équivalente est égale à la somme des inductances.

Bobines en parallèle

Maintenant, passons au cas de deux bobines en parallèle. D'après la loi des nœuds, on sait que :

$I=I_{1}+I_{2}$

Dérivons des deux côtés :

${\frac {dI}{dt}}={\frac {dI_{1}}{dt}}+{\frac {dI_{2}}{dt}}$

Avec la formule $U=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, on peut trouver : les formules suivantes : ${\frac {U_{L1}}{L_{1}}}={\frac {dI_{1}}{dt}}$ et ${\frac {U_{L2}}{L_{2}}}={\frac {dI_{2}}{dt}}$. En faisant le remplacement, on trouve :

${\frac {dI}{dt}}={\frac {U_{L1}}{L_{1}}}+{\frac {U_{L2}}{L_{2}}}$

D'après la loi des mailles, la tension aux bornes de chaque bobine est égale à la tension du générateur : $U=U_{L1}=U_{L2}$. En faisant le remplacement, on a :

${\frac {dI}{dt}}={\frac {U}{L_{1}}}+{\frac {U}{L_{2}}}$

Divisons maintenant par U :

${\frac {1}{U}}{\frac {dI}{dt}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}$

Le terme de gauche n'est autre que l'inverse de l'inductance équivalente :

${\frac {1}{L_{eq}}}={\frac {1}{L_{1}}}+{\frac {1}{L_{2}}}$

On voit qu'en parallèle, l'inverse de l'inductance équivalente est égale à la somme des inverses des inductances de chaque bobine.

Les circuits RL, RC, LC et RLC

Dans ce chapitre, nous poursuivons dans la lignée du chapitre précédent, où nous avons vu des circuits construits avec deux composants parmi les résistances, condensateurs et bobines. Mais dans ce chapitre, nous allons voir des circuits construits avec deux composants différents, là où le chapitre précédent étudiait des circuits avec deux composants identiques. Ces circuits sont connus sous les noms de circuits RC, RL, LC et RLC (avec trois composants, pour ce dernier). Le nom de ces circuits donne les composants du circuit : R symbolise une résistance, L une bobine et C un condensateur.

L'étude de ces circuits en régime continu n'a pas grand intérêt, vu que le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et les bobines comme des fils électriques (interrupteurs fermés). L'intérêt de ces circuits est d'étudier comment ils se comportent quand on les soumet à un échelon de tension, autrement dit lorsqu'on fait brusquement passer la tension à leur borne de 0 à une valeur U. Même chose pour les échelons de courant. Le circuit va alors mettre un certain temps avant d'atteindre un nouvel équilibre : on dit qu'il est en régime transitoire. Durant ce régime transitoire, les condensateurs et bobines ne se comportent plus comme des interrupteurs. Ce n'est qu’après un certain temps que le circuit atteint un nouvel équilibre et qu'on peut l'analyser comme s'il était en régime permanent, dans un état d'équilibre stable. Dans ce qui va suivre, nous allons analyser certains circuits assez connus, dont le régime transitoire est assez intéressant.

Les circuits RC

Le circuit RC est composé d'une résistance, d'un condensateur et d'un générateur. Le générateur est le plus souvent à un courant continu, mais on peut aussi étudier le cas où il est à courant alternatif. Il existe deux versions du circuit RC : celui où la résistance et le condensateur sont placés en série, et celui où ils sont placés en parallèle. Les deux cas sont illustrés ci-dessous et nous allons les étudier en commençant par le circuit série.

Circuit RC série.

Circuit RC parallèle.

Le circuit RC parallèle n'est pas intéressant à étudier avec des tensions ou courants continus. D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension de la source/générateur. La variation de cette tension étant nulle, celui-ci se charge très rapidement et aucun courant ne passe plus dans le condensateur. Tout le courant passe dans la résistance, ce qui rend ce circuit inutile. Le seul circuit RC à avoir le moindre intérêt est de loin le circuit RC série.

Notations utilisées dans la suite de la section.

Condensateur parfait - convention de charge.

Condensateur parfait - convention de décharge.

La charge d'un condensateur

Maille du circuit RC série.

Dans cette section, nous allons étudier ce circuit et regarder ce qui se passe quand on soumet le montage à une tension continue. Le condensateur peut alors se remplir de charges ou se vider. Nous allons d'abord étudier le cas de la charge d'un condensateur, avant de passer à sa décharge. Nous laissons le cas d'une tension ou d'un courant de charge alternatif pour les chapitres ultérieurs, ceux-ci demandant des outils mathématiques assez complexes.

Dans ce qui va suivre, le circuit RC est soudainement connecté à une tension constante $U$. On commence l'étude du circuit au moment où la tension apparaît, en supposant que le condensateur est initialement vide.

Les équations

Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

$i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)$

On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :

$U=u_{c}(t)+u_{r}(t)$

On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :

$U=u_{c}(t)+R\cdot i_{r}(t)$

Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :

$U=u_{c}(t)+R\cdot i_{c}(t)$

On applique alors la loi $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour calculer le courant $i_{c}(t)$.

$U=u_{c}(t)+RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}$

Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :

${\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}-{\frac {U}{RC}}=0$

Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est obligatoirement de la forme suivante :

$u_{c}(t)=A\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+B$

Trouver les constantes $A$ et $B$ demande peu de réflexion.

• Après un temps infini, le premier terme sera nul (il tend vers zéro quand t tend vers l'infini). En conséquence, on aura : $u_{c}(t)=B$. Or, après un temps infini, la tension aux bornes du condensateur est celle d'un condensateur totalement chargé : ce n'est autre que la tension du générateur $U$.
• Quand t=0, on a simplement $u_{c}(t)=0$. Dans ce cas, on a : $0=A\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+B=A+B$. Donc, $A=-B$, ce qui donne : $A=-U$.

L'équation devient donc :

$u_{c}(t)=U-U\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}$

$u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

Quelques développements supplémentaires nous disent que $\tau =R\cdot C$, ce qui donne :

$u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)$

L'évolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en charge.

Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension augmente progressivement. On voit aussi que la croissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers la tension $U$, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini).

Une chose importante est que le produit $\tau =RC$ est une valeur qui gouverne la croissance de la tension. Dans le détail, il s'agit d'une valeur appelée la constante de temps du circuit RC. En effet, le produit RC a la dimension d'un temps. Les équations à base d'unités le montrent assez bien :

$R\cdot C={\frac {U}{I}}\cdot {\frac {Q}{U}}={\frac {Q}{I}}=T$

La figure de droite montre que le condensateur est rempli :

• à 63% au bout d'un temps égal à $\tau$ ;
• à 86.5% au bout d'un temps égal à $2\cdot \tau$ ;
• à 95% au bout d'un temps égal à $3\cdot \tau$ ;
• à 98.2% au bout d'un temps égal à $4\cdot \tau$ ;
• à 99.3% au bout d'un temps égal à $5\cdot \tau$.

Les valeurs de 63, 95 et 99% sont de loin les plus importantes à retenir.

La décharge d'un condensateur

Après avoir vu la charge d'un condensateur, voyons sa décharge. Celle-ci est similaire à la charge, à quelques différences près. Déjà, on peut décharger un condensateur sans avoir besoin d'un générateur dans le circuit : il suffit de connecter les deux bornes du condensateur entre elles, à travers une résistance. En faisant cela, les charges négatives sur l'armature paire vont rejoindre les charges positives sur l'autre armature. Elles vont alors s'annuler, donnant un condensateur totalement déchargé à la fin du processus. Dans ce qui va suivre, les deux bornes du condensateur sont soudainement connectées entre elles, avec une résistance intercalée entre les deux.

Les équations

Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

$i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)$

On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :

$u_{c}(t)=u_{r}(t)$

On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :

$u_{c}(t)=R\cdot i_{r}(t)$

Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :

$u_{c}(t)=R\cdot i_{c}(t)$

On applique alors la loi $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour calculer le courant $i_{c}(t)$.

$u_{c}(t)=RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}$

Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :

${\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}=0$

Sa solution est de la forme :

${\textstyle u_{c}(t)=K\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}}$

En se rappelant de la condition initiale $u_{c}(0)=U$, on trouve : $K=U$. On a alors :

${\textstyle u_{c}(t)=U\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}}$

L'évolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en cours de décharge.

Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension diminue progressivement. On voit aussi que la décroissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers zéro, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini). La figure de droite montre que le condensateur est déchargé :

• à 36.8% au bout d'un temps égal à $\tau$ ;
• à 13.5% au bout d'un temps égal à $2\cdot \tau$ ;
• à 5% au bout d'un temps égal à $3\cdot \tau$ ;
• à 1.8% au bout d'un temps égal à $4\cdot \tau$ ;
• à 0.7% au bout d'un temps égal à $5\cdot \tau$.

Les valeurs de 37, 5 et 1% sont de loin les plus importantes à retenir.

Circuit RL

Les circuits RL sont similaires aux circuits RC, si ce n'est que le condensateur est remplacé par une bobine. Ils sont composés d'une résistance placée en série ou en parallèle d'une bobine. Le circuit avec la bobine en parallèle de la résistance n'est pas intéressant en courant continu. La bobine n'étant pas autre chose qu'un fil électrique en courant continu, la résistance est simplement court-circuitée. Même chose pour le circuit série, une fois que le courant est stabilisé : il est équivalent avec une résistance connectée directement au générateur. Mais le circuit RL est intéressant à étudier quand le régime permanent (stable) n'est pas encore atteint.

Circuit RL série.

Circuit RL parallèle.

Circuit RL série

Circuit RL étudié lors de sa charge.

Étudions maintenant le circuit RL série

Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

$I=i_{l}(t)=i_{r}(t)$

On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit, ce qui fait que la loi des mailles donne :

$U=u_{l}(t)+u_{r}(t)$

On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm et celle aux bornes de la bobine par la loi $U_{l}=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$. On obtient l'équation différentielle suivante :

$L{\frac {dI}{dt}}+R\cdot I=U$

Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec $\tau ={\frac {L}{R}}$ :

$I={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)$

On voit que cette équation est identique à celle de la charge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.

Circuit RL parallèle

Dans le circuit RL parallèle, on a deux mailles : une qui passe par la résistance et une autre par la bobine. On a donc :

$u_{l}(t)-u_{r}(t)=0$

En utilisant les lois $U=R\cdot I$ et $U=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, on obtient :

$L\cdot {\frac {dI(t)}{dt}}-R\cdot I(t)=0$

Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec $\tau ={\frac {L}{R}}$ :

$I={\frac {U}{R}}\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}$

Cette équation est identique à celle de la décharge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.

Circuit LC

Les circuits LC combinent un condensateur et une bobine, qui sont placés soit en série soit en parallèle.

Circuit LC série.

Circuit LC parallèle.

Circuit LC série

Circuit LC.

Le circuit série est illustré dans la figure de gauche. D'après la loi des mailles, on a :

$U-(U_{L}+U_{C})=0$

En utilisant la formule $U_{L}=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, on a :

$U-L\cdot {\frac {dI}{dt}}-U_{C}=0$

D'après la loi des nœuds, le courant est le même dans tous les récepteurs, et est donc égal au courant qui circule dans le condensateur. On peut alors utiliser la formule $I=C\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}$ pour calculer le courant et sa dérivée, ce qui donne :

$U-LC\cdot {\frac {d^{2}U_{C}}{dt^{2}}}-U_{C}=0$

Illustration de la tension et du courant dans un circuit LC.

Les connaisseurs, qui ont eu une formation en physique, auront remarqué que l'équation est celle d'un oscillateur harmonique et savent ce qui va venir dans la suite. La solution de cette équation différentielle est, d'après les mathématiques, une fonction sinusoïdale :

$u_{c}=E\cdot A\cdot \cos {\left({\frac {t}{\sqrt {LC}}}+\varphi \right)}$

On voit que la tension aux bornes du condensateur est une tension alternative sinusoïdale. Il en est de même aux bornes de la bobine, à cause de la loi des mailles. La tension et le courant sont illustrés dans la figure de droite. La tension sinusoïdale a une fréquence et une période égales à :

$T=2\pi {\sqrt {LC}}$

$f={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}$

Illustration du courant dans un circuit LC.

Circuit RLC

Les circuits RLC combinent une résistance, un condensateur et une bobine, qui sont placées soit en série soit en parallèle. Il existe différentes possibilités pour le circuit RLC :

• soit les trois récepteurs sont en série ;
• soit les trois sont en parallèle ;
• soit deux récepteurs sont en série et l'autre en parallèle :
  • la résistance est en parallèle, la bobine et le condensateur en série ;
  • la bobine est en parallèle, la résistance et le condensateur en série ;
  • le condensateur est en parallèle, la bobine et la résistance en série.

Circuit RLC série.

Circuit RLC parallèle.

Circuit RLC série

Circuit RLC.

Le circuit série est illustré dans la figure de gauche. D'après la loi des mailles, on a :

$U-(U_{R}+U_{L}+U_{C})=0$

En utilisant les formules $U_{R}=R\cdot I$ et $U_{L}=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$, on a :

$U-L\cdot {\frac {dI}{dt}}-R\cdot I-U_{C}=0$

D'après la loi des nœuds, le courant est le même dans le tous les récepteurs, et est donc égal au courant qui circule dans le condensateur. On peut alors utiliser la formule $I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$ pour calculer le courant et sa dérivée, ce qui donne :

$LC\cdot {\frac {d^{2}U_{C}}{dt^{2}}}+RC\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}+U_{C}=U$

Si R = 0, le circuit se simplifie en un vulgaire circuit LC comme celui étudié précédemment. Par contre, si R n'est pas nulle, le terme $RC\cdot {\frac {dU_{C}}{dt}}$ agit comme une force de frottement qui amortit les oscillations. Les connaisseurs qui ont eu une formation en physique, auront remarqué que l'équation est celle d'un oscillateur harmonique amorti. De tels systèmes physiques ont une évolution similaire à celle donnée dans la figure ci-dessous. On voit que les oscillations sont progressivement atténuées et voient leur amplitude réduite progressivement.

Oscillations d'un circuit RLC.

Le continu et l'alternatif

Avant de poursuivre ce cours, nous devons parler de deux concepts fondamentaux, sans lesquels nous ne pourrions pas aller plus loin : les notions de courant continu et alternatif. Cette distinction entre continu et alternatif est très importante pour la suite, car les circuits électriques ne réagissent pas de la même manière quand on les alimente avec du continu ou de l'alternatif. Peut-être avez-vous déjà entendu ces deux termes, qui sont quand même assez connus et font partie de la culture générale usuelle.

Les différents types de courants

Vous croyez peut-être que le courant continu est un courant constant, alors qu'un courant variable ne l'est pas. Mais en réalité, ce n'est pas le cas : la distinction courant constant/variable n'est pas la même que la distinction courant continu/alternatif. Voyons cela plus en détail.

Courant stable et variable

Comme je viens de le dire, un courant constant reste stable dans le temps, là où un courant variable ne l'est pas. On peut aussi appliquer cette définition aux tensions : certains générateurs électriques produisent une tension continue, stable, qui ne varie pas dans le temps. Typiquement, une pile en fait partie : elle fournit un courant constant/continu de 1.5 Volts. De l'autre côté, il existe des générateurs qui produisent des courants variables. Par exemple, une prise électrique fournit du 230 Volts qui varie dans le temps. Une tension ou un courant variable porte parfois le nom de signal, terme surtout utilisé en électronique ou dans le domaine du traitement du signal. S'il y a peu à dire sur le courant continu, ce n'est pas le cas des courants variables.

Courant/tension continu.

Signal apériodique.

La quasi-totalité des courants variables utilisés dans les circuits électriques sont dit périodiques, ce qui signifie qu'ils se répètent à l'identique toutes les x secondes. Ils sont à opposer aux courants apériodiques, sans motif récurrent, qui ne sont pas utilisés de nos jours. Certains signaux périodiques sont couramment utilisés, au point que les électriciens et électroniciens leur ont donné un nom pour les désigner : on parle ainsi de signal carré, sinusoïdal, triangulaire, en dents de scie, etc. Vous remarquerez que le nom de ces signaux trahit la forme du motif qui se répète !

Exemples de courants périodiques fréquents

Courant périodique, signal carré.	Courant périodique, signal triangulaire.
Courant périodique, signal sinusoïdal.	Courant périodique, signal en dents de scie.

Courant continu et alternatif

Après avoir vu la distinction courant constant/variable, il est temps de voir quelle est la véritable signification du courant continu/alternatif. Un courant continu est un courant dont le sens ne varie pas : soit il reste toujours positif, soit il reste toujours négatif. Le sens en question est soit celui du courant, soit celui de la tension, soit les deux. À l'opposé, un courant alternatif est un courant périodique dont la valeur s'inverse lors d'un cycle : il commence son cycle dans des valeurs positives, avant de devenir négatif vers la fin du cycle (ou inversement). Lors d'un cycle, le courant alternatif va donc s'annuler plusieurs fois.

Lors d'un cycle, le courant/la tension s'annule pour un signal alternatif.

On peut donner une définition plus précise d'un courant alternatif : c'est un courant dont la valeur moyenne est nulle ! Il reste autant de temps dans le positif que dans le négatif, par exemple, ou alors ses valeurs positives de courant compensent celles négatives. De nombreux courants variables ont une valeur moyenne non-nulle. Ces courants peuvent être être vus comme la somme d'un courant continu auquel on ajoute un courant purement alternatif. Le courant continu est appelé la composante continue, et a une valeur égale à la valeur moyenne non-nulle de la tension.

Conclusion

Types de courants (en anglais).

Pour résumer, courants constants/variables et alternatif/continus sont deux choses différentes, mais souvent confondues. Dans ce cours, il ne sera pas rare que nous parlions de courant alternatif pour parler d'un courant variable et réciproquement. Cette confusion est cependant plus un abus de langage qu'autre chose. Par définition, un courant alternatif fait partie des courants variables, de même qu'un courant constant est un courant continu (l'inverse n'est pas vrai).

Courant	Constant	Variable/Périodique
Valeur moyenne nulle	Courant continu	Courant alternatif
Valeur moyenne non-nulle		Courant variable

Les propriétés des courants périodiques

Tous les courants périodiques possèdent un grand nombre de propriétés.

Période et fréquence d'un signal périodique

Les propriétés les plus importantes d'un signal périodique sont appelées période et fréquence.

• Le temps que met le courant/la tension pour effectuer un cycle est ce qu'on appelle la période.
• Le nombre de périodes par seconde est appelé la fréquence.

Fréquence et période.

Fréquence et période sont reliées par l'équation suivante, avec :

• $T$ la période ;
• $f$ la fréquence.

$f={\frac {1}{T}}$

La période se mesure en secondes, comme toute durée, ce qui fait que la fréquence se mesure avec une unité égale à l'inverse d'une seconde : le Hertz, noté Hz.

$1Hz={\frac {1}{1Seconde}}$

Il est d'usage d'utiliser un multiple de la fréquence, appelé la pulsation, définie par :

$\omega =2\pi \cdot f$

Les puissances d'un signal périodique

Illustration de la puissance instantanée, maximale et moyenne.

En régime périodique, le calcul de la puissance reste plus ou moins le même qu'un régime continu/constant. La formule $P=U\cdot I$ reste applicable, mais avec quelques réserves. Il est possible de l'appliquer avec la tension et l'intensité à un temps t : on calcule alors la puissance instantanée.

$P(t)=U(t)\cdot I(t)$

Il est aussi possible de calculer la puissance moyenne, aussi appelée puissance active, qui n'est autre que la puissance dissipée/produite lors d'une période. Voici sa formule :

$P_{moyenne}={\frac {1}{T}}\int _{T}P(t)={\frac {1}{T}}\int _{T}U(t)\cdot I(t)dt$

On peut aussi appliquer la formule $P=U\cdot I$ en utilisant les valeurs efficaces de la tension et de l'intensité, ce qui donne la puissance apparente.

$P_{app}=U_{eff}\cdot I_{eff}$

Les amplitudes d'un signal périodique

Si la valeur d'une tension constante ou d'un courant stable ne posent pas de problèmes de mesure, ce n'est pas le cas pour les courants périodiques. Avec ceux-ci, il est possible de définir plusieurs tensions/courants, qui ont chacun leur utilité. Premièrement, on sait que la tension et/ou le courant restent bornées, contenues entre une valeur minimale et une valeur maximale.

• La valeur maximale de la tension ou du courant est appelée l'amplitude maximale.
• Sa valeur la plus basse est appelée l'amplitude minimale.
• La différence entre amplitude minimale et maximale est appelée amplitude crête-crête.

À partir de ces informations on peut calculer l'amplitude moyenne avec l'équation suivante :

$<A>={\frac {1}{T}}\int _{T}A(t)dt$

La valeur efficace

Les valeurs précédentes sont relativement intuitives, ce qui n'est pas le cas de la dernière valeur que nous allons aborder : la valeur efficace. Elle a une interprétation physique assez simple. Il s'agit de l'amplitude que devrait avoir un courant continu pour dissiper la même puissance moyenne. Pour comprendre sa signification, nous allons prendre l'exemple d'une tension périodique $U(t)$, que l'on place aux bornes d'une résistance. Par définition de la tension efficace, la puissance moyenne sera égale à :

$P_{moyenne}={\frac {\left(U_{efficace}\right)^{2}}{R}}$

Pour déterminer la tension efficace, on peut utiliser la formule qui relie la tension instantanée avec la puissance moyenne.

$P_{moyenne}={\frac {1}{T}}\cdot \int _{T}{\frac {U(t)^{2}}{R}}dt={\frac {1}{T}}\cdot {\frac {1}{R}}\int _{T}U(t)^{2}dt$

Par identification entre les deux équations précédentes, on trouve :

$P_{moyenne}={\frac {1}{T}}\cdot {\frac {1}{R}}\int _{T}U(t)^{2}dt={\frac {\left(U_{efficace}\right)^{2}}{R}}$

Donc, on a :

${\frac {1}{T}}\cdot \int _{T}U(t)^{2}dt=\left(U_{efficace}\right)^{2}$

On peut reformuler cette équation comme suit :

$U_{eff}^{2}=<U(t)^{2}>$

Comme on le voit, la valeur efficace d'une tension est définie comme suit : le carré de la valeur efficace est égal à la moyenne du carré de la tension instantanée. La même définition peut être utilisée pour l'intensité d'un courant, pour une raison simple : la puissance est proportionnelle au carré de la tension, mais aussi au carré de l'intensité. Pour résumer, la valeur efficace se calcule comme suit :

$A_{eff}={\sqrt {<A^{2}>}}={\sqrt {{\frac {1}{T}}\int _{T}A(t)^{2}dt}}$

Voici sa valeur pour les signaux les plus communs :

Valeurs efficaces de signaux courants

Signal	Illustration	Amplitude
Sinusoïdal		${\frac {A_{max}}{\sqrt {2}}}$
Triangulaire		${\frac {A_{max}}{\sqrt {3}}}$
Carré		$A_{max}$

Le régime sinusoïdal

Illustration d'une grandeur sinusoïdale.

Le courant sinusoïdal est de loin celui qui est le plus utilisé à l'heure actuel. C’est notamment celui qui est utilisé pour alimenter nos appareils électriques : toutes les prises de courant d'une maison fournissent un courant alternatif sinusoïdal dont l'amplitude est de 230 Volts (enfin presque, nous verrons cela plus tard). Un courant sinusoïdal est représenté par une fonction de la forme :

• $A$ est l'amplitude maximale du courant.
• $f$ est la fréquence du signal, à savoir l'inverse de sa période $T$.
• $\omega$ est la pulsation, à savoir le produit $2\cdot \pi \cdot f$.
• $\phi$ est la phase, à savoir un décalage vers la gauche ou la droite de la courbe sinusoïdale.

$A(t)=A\cdot \sin {(2\pi f\cdot t+\phi )}=A\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

Signal sinusoïdal, avec l'amplitude A et la période T.

Signal sinusoïdal d'amplitude A, de période T et de phase $\phi$.

Les amplitudes maximales, moyennes et efficaces

Comme tout signal périodique, un signal sinusoïdal a une amplitude maximale, une amplitude crête-crête, une amplitude moyenne, une valeur efficace, etc... Le courant qui circule dans les prises électriques en France possède les propriétés suivantes :

• fréquence de 50 Hz ;
• tension efficace de 230 Volts ;
• tension maximale de 320 Volts ;
• tension crête-crête de 640 Volts.

Amplitudes d'un signal sinusoïdal.

Amplitudes de la tension du secteur.

Pour un signal sinusoïdal "pur", la valeur moyenne est nulle : le courant passe autant de temps dans le positif que dans le négatif, avec une symétrie parfaite des courbes négatives et positives. Sa valeur efficace est égale à :

$A_{eff}={\frac {A_{max}}{\sqrt {2}}}$

Démonstration

Pour démontrer ce résultat, nous devons partir de la définition de la tension efficace : $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot \int _{0}^{T}U(t)^{2}\cdot dt$ $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot \int _{0}^{T}U_{max}^{2}\cdot \sin {(\omega t)}^{2}\cdot dt$ $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot \int _{0}^{T}U_{max}^{2}\cdot \sin {\left({\frac {2\pi }{T}}\cdot t\right)}^{2}\cdot dt$ $U_{eff}^{2}={\frac {1}{T}}\cdot U_{max}^{2}\cdot \int _{0}^{T}\sin {\left({\frac {2\pi }{T}}\cdot t\right)}^{2}\cdot dt$ On effectue alors un changement de variable en remplaçant le temps par un angle dans le calcul du sinus. $U_{eff}^{2}={\frac {1}{2\pi }}\cdot U_{\mathrm {max} }^{2}\cdot \int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta \cdot d\theta$ Sachant que $\int _{0}^{2\pi }\sin ^{2}\theta \cdot \mathrm {d} \theta =\pi$, on obtient : $U_{eff}^{2}={\frac {U_{max}^{2}}{2}}$ $U={\sqrt {\frac {U_{max}^{2}}{2}}}={\frac {U_{max}}{\sqrt {2}}}$ Le calcul pour l'intensité donne exactement le même résultat. Vous pouvez vous en rendre compte dans la démonstration précédente, en remplaçant U par I.

Les phaseurs et vecteurs de Fresnel

Représentation complexe d'une sinusoïde.

Représentation complexe d'une tension et d'un courant sinusoïdaux.

Dans ce wikilivre, les grandeurs temporelles sinusoïdales sont exprimées en valeurs complexes. Rappelons que nous travaillons avec des courants sinusoïdaux de la forme $i(t)$ d'amplitude $I_{0}$, de valeur efficace $I$ et qui s'expriment en notation réelle selon l'expression :

$i(t)=I_{0}\cdot \cos(\omega t+\phi )$

Un tel courant peut aussi s'exprimer sous la forme d'un nombre complexe dont le module est $I_{0}$ et l'argument $\varphi$.

Précisément, on l'exprime sous forme complexe comme suit :

${\underline {I(t)}}=I_{0}\cdot e^{j(\omega t+\phi )}=I_{0}\cdot e^{j\phi }\cdot e^{j\omega t}={\underline {I}}\cdot e^{j\omega t}$

Le terme ${\underline {I}}=I_{0}\cdot e^{j\phi }$ est appelé amplitude complexe du courant. Toutes les grandeurs d'un problème donné ayant la même composante temporelle $\exp(j\omega t)$ (le temps s'écoule de la même façon pour toutes les grandeurs), on se contentera d'utiliser dans les calculs et les représentations les amplitudes complexes. Dans notre exemple, l'amplitude complexe ${\underline {I}}$ contient l'amplitude $I_{0}$ (que l'on peut exprimer en fonction de la valeur efficace $I$) et le déphasage $\varphi$ du courant, et s'exprime selon la relation :

${\underline {I}}=I_{0}\cdot e^{(j\varphi )}=I{\sqrt {2}}\cdot e^{(j\varphi )}$

La représentation de Fresnel

L'utilisation d'un diagramme de Fresnel permet de s'affranchir de l'utilisation des nombres complexes et des calculs délicats qui leur sont associés. En effet, les amplitudes complexes des grandeurs y sont représentées par des vecteurs du plan complexe. Dans ce wikilivre, les vecteurs sont reportés dans la représentation de Fresnel de la façon suivante :

• le module du vecteur correspond à la valeur efficace de la grandeur ;
• l'angle correspond à la phase de la grandeur.

A titre d'exemple, nous avons reporté sur la Fig. 1 les représentations de Fresnel des grandeurs suivantes :

${\underline {I}}=I{\sqrt {2}}\exp j\varphi _{1}\qquad (4)$

et

${\underline {V}}=V{\sqrt {2}}\exp j\varphi _{2}\qquad (5)$

Fig. 1 : Représentation de Fresnel dans le plan complexe (a) et en utilisant une grandeur de référence (b). Ces deux représentations sont équivalentes.

Les grandeurs peuvent être reportées de deux façons équivalentes, selon les données et les inconnues du problème :

• Lorsque l'on s'intéresse aux phases des grandeurs, on peut choisir de reporter les grandeurs de manière absolue dans le plan complexe, comme indiqué sur la Fig. 1(a). Dans ce cas, l'axe des abscisses correspond à la partie réelle et l'axe des ordonnées à la partie imaginaire de l'amplitude complexe reportée (à ${\sqrt {2}}$ près puisque nous avons choisi de faire correspondre les modules aux valeurs efficaces).
• Lorsque l'on s'intéresse aux déphasages entre les grandeurs (ce sera souvent le cas dans ce cours), on peut choisir de reporter les grandeurs de manière relative, comme indiqué sur la Fig. 1(b). L'une des grandeurs est choisie en référence : ce choix peut être totalement arbitraire mais est en général dicté par le problème. Dans notre exemple, c'est le courant qui a été choisi comme référence. Remarquons que dans ce cas les axes des abscisses et des ordonnées ne correspondent plus à rien.

Dans ce wikilivre, nous choisissons comme positif le sens de rotation trigonométrique (anti-horaire ou sens inverse des aiguilles d'une montre). Dans notre exemple de la Fig. 1, nous pouvons remarquer que la tension est en avance sur le courant.

La puissance d'un courant sinusoïdal

On peut appliquer les formules de la puissance moyenne, apparente et instantanée en utilisant une tension et un courant alternatif. Pour rappel, ces équations sont les suivantes :

$P(t)=U(t)\cdot I(t)$

$P_{app}=U_{eff}\cdot I_{eff}$

$P_{moyenne}={\frac {1}{T}}\int _{T}P(t)={\frac {1}{T}}\int _{T}U(t)\cdot I(t)dt$

Mais pour faire ces calculs, nous avons besoin de préciser si la tension et le courant varient en même temps, ou si un décalage est présent entre les deux sinusoïdes. Le cas sans décalage correspond à la puissance dissipée par une résistance, comme nous le verrons plus tard dans ce cours. Si les sinusoïdes sont décalées, les calculs deviennent plus compliqués. Nous allons donc voir d'abord le cas où tension et intensité varient en même temps, avant de voir le cas général. Dans les deux cas, nous allons prendre le cas où la tension est purement sinusoïdale, sans terme de phase. Pour cela, il suffit de bien choisir le temps t=0 (l'origine des temps).

Cas où tension et intensité sont en phase, sans décalage.

Cas où tension et intensité, décalées l'une par rapport à l'autre, ne sont donc pas en phase. On voit que l'intensité est ici en retard sur la tension.

Cas où tension et intensité, décalées l'une par rapport à l'autre, ne sont donc pas en phase. On voit que l'intensité est ici en avance sur la tension.

Cas où tension et intensité sont en phase

Si tension et intensité sont en phase (sans décalage), on peut omettre le terme de phase dans les équations. Cette simplification ne change en rien la physique. Cela donne :

$U(t)=U_{max}\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

$I(t)=I_{max}\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

Les puissances qui correspondent sont :

$P(t)=U_{max}\cdot I_{max}\cdot \sin ^{2}{(\omega \cdot t)}$

$P_{app}={\frac {U_{max}}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {I_{max}}{\sqrt {2}}}={\frac {U_{max}\cdot I_{max}}{2}}$

Cas où tension et intensité ne sont pas en phase

Effet du facteur de puissance sur la puissance.

Si tension et intensité ne sont pas en phase (décalées dans le temps), on doit prendre en compte le terme de phase dans les équations. Pour simplifier les calculs, nous allons prendre le cas où la tension est purement sinusoïdale, sans terme de phase. Pour cela, il suffit de bien choisir le temps t=0 (l'origine des temps). Cela donne :

$U(t)=U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

$I(t)=I\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

Le calcul de la puissance instantanée donne :

$P(t)=U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}\cdot I\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

$P(t)=U\cdot I\cdot \sin {(\omega \cdot t)}\cdot \sin {(\omega \cdot t+\phi )}$

$P(t)={\frac {U\cdot I}{2}}\cdot \left[\sin {(\omega \cdot t)}+\sin {(2\omega \cdot t+\phi )}\right]$

Si on calcule la puissance moyenne, on trouve :

$P_{moy}={\frac {U\cdot I}{2}}\cdot {\frac {1}{T}}\int _{T}\left[\sin {(\omega \cdot t)}+\sin {(2\omega \cdot t+\phi )}\right]$

$P_{moy}={\frac {U\cdot I}{2}}\cdot \cos {(\phi )}=U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \cos {(\phi )}$

Dans le calcul de la puissance moyenne, le terme $\cos {(\phi )}$ est appelé le facteur de puissance. Vu sa définition, on voit qu'il peut varier entre -1 et 1. Selon sa valeur, la puissance moyenne sera plus ou moins importante. On voit que plus le facteur de puissance est grand (s'approche de 1), plus la puissance moyenne sera proche de sa valeur maximale. Le circuit ne gaspillera donc pas d'énergie et fonctionnera à son régime de croisière. La puissance maximale est atteinte quand le facteur de puissance vaut 1 : on est alors dans le cas où tension et intensité sont en phase. La valeur de la puissance moyenne est alors maximale, sa valeur n'est autre que la puissance apparente. Il faut noter que les deux puissances n'ont pas la même unité : la puissance moyenne se mesure évidemment en watts, alors que la puissance apparente est mesurée en voltampères (VA).

Il est aussi possible de définir une puissance réactive, qui quantifie la différence entre puissance apparente et moyenne. Elle se mesure en en voltampères réactifs (VAr, var, ou VAR). Plus la puissance réactive est importante, plus le circuit réduira sa puissance moyenne par rapport à sa puissance moyenne maximale (apparente). Elle est égale à :

$P_{rea}=U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \sin {(\phi )}={\frac {U_{max}\cdot I_{max}}{2}}\cdot \sin {(\phi )}$

L'intérêt de la puissance réactive est de relier la puissance moyenne avec la puissance apparente, suivant cette équation :

$P_{app}^{2}=P_{moy}^{2}+P_{rea}^{2}$

Relation entre puissance apparente, moyenne (réelle, active) et réactive.

Démonstration

Pour nous en rendre compte, partons de l'identité trigonométrique suivante : $1=\cos {(\phi )}^{2}+\sin {(\phi )}^{2}$ Multiplions par $U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}$ : $U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}=U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}\cdot \left(\cos {(\phi )}^{2}+\sin {(\phi )}^{2}\right)$ Développons : $U_{eff}^{2}\cdot I_{eff}^{2}=\left[U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \cos {(\phi )}\right]^{2}+\left[U_{eff}\cdot I_{eff}\cdot \sin {(\phi )}\right]^{2}$ On peut identifier le premier terme avec la puissance apparente, le second avec la puissance moyenne, et le troisième avec la puissance réactive, ce qui donne la formule à démontrer.

L'impédance : l'équivalent sinusoïdal de la résistance

La loi d'Ohm s'applique au passage d'un courant dans un conducteur, mais elle doit être modifiée pour prendre en compte les courants sinusoïdaux. Si la tension et le courant sont sinusoïdaux, il se peut qu'ils soient décalés, qu'ils ne soient pas en phase. Cela arrive quand le circuit étudié contient des condensateurs ou des bobines. Dans ce cas, le rapport U/I n'est pas une constante, mais oscille de manière sinusoïdale, à une fréquence qui dépend du décalage. Cet équivalent de la résistance en courant alternatif est appelé l'impédance et est noté Z. De même que la conductance est l'inverse de la résistance, l'inverse de l'impédance est une valeur souvent utilisée. Elle porte le nom d'admittance et se note Y.

Impédance en nombre complexe.

Si on utilise des phaseurs pour représenter la tension et le courant, leur division donne une impédance sous la forme d'un nombre complexe dont le module est égal à $U_{max} \over I_{max}$ et dont l'argument est égal à la différence de phase entre intensité et tension. Elle porte le nom d'impédance complexe et donne toutes les informations sur la sinusoïde que forme la résistance : son amplitude, sa phase, sa fréquence, et tutti quanti. Sa partie réelle est égale à la résistance normale (U/I instantané), vue dans les chapitres précédents, alors que sa partie imaginaire est appelée la réactance.

${\overline {Z}}={\frac {\overline {U}}{\overline {I}}}$

À partir de l'impédance complexe, on peut calculer une admittance complexe.

${\overline {Y}}={\frac {\overline {1}}{\overline {Z}}}={\frac {\overline {I}}{\overline {U}}}$

Impédance des récepteurs usuels

L’intérêt de l'impédance est qu'elle se généralise aux autres composants que la résistance. Elle peut être définie pour les condensateurs et les bobines sans trop de difficultés. Dans cette section, nous allons calculer l'impédance d'une résistance, d'un condensateur et d'une bobine. Pour cela, nous allons voir ce qui se passe quand on met une tension sinusoïdale aux bornes du composant. Nous allons ommetre la phase de la tension, en choisissant l'origine des temps convenablement. Rappelons l'équation de la tension en question :

$U(t)=U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

Impédance d'une résistance

L'équation de la résistance n'est autre que la loi d'Ohm $U=R\cdot I$, qui est toujours valable en régime alternatif. On a donc :

$I(t)={\frac {U}{R}}\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$

Intensité et tension sont en phase, ce qui fait que l'impédance est égale à la résistance : la réactance est nulle.

Impédance complexe d'une résistance.

Impédance d'un condensateur

Partons de l'équation fondamentale d'un condensateur :

$I(t)=C\cdot {\frac {dU}{dt}}$

Injectons la formule de la tension $U(t)=U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$ :

$I(t)=C\cdot {\frac {d\left[U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}\right]}{dt}}$

Vu que U est une constante, on a :

$I(t)=C\cdot U\cdot {\frac {d\sin {(\omega \cdot t)}}{dt}}$

La dérivée donne donc l'équation suivante.

$I(t)=C\cdot \omega \cdot U\cdot \cos {(\omega \cdot t)}$

On utilise la formule $\cos x=\sin x+{\frac {\pi }{2}}$.

$I(t)=C\cdot \omega \cdot U\cdot \sin {\left(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$

Tension et intensité aux bornes d'un condensateur.

Le terme $\sin {\left(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}\right)}$ nous dit qu'aux bornes du condensateur, l'intensité avance par rapport à la tension d'une phase de $\pi \over 2$, soit un quart de période. Le tout est illustré par la figure de droite.

On peut alors calculer l'impédance en divisant U par I :

${\frac {U(t)}{I(t)}}={\frac {U\cdot \sin {(\omega \cdot t)}}{C\cdot \omega \cdot U\cdot \sin {(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}})}}={\frac {1}{C\cdot \omega }}{\frac {\sin {(\omega \cdot t)}}{\sin {(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}})}}$

On peut alors remplacer la tension et l'intensité par leurs phaseurs. Intuitivement, on voit que le module de l'impédance est égal à $1 \over C\omega$ et que son argument est de $-{\frac {\pi }{2}}$. Dans le détail, on trouve :

$Z={\frac {1}{C\omega }}\cdot {\frac {e^{j(\omega \cdot t)}}{e^{j\left(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}\right)}}}={\frac {1}{C\omega }}\cdot {\frac {1}{e^{j{\frac {\pi }{2}}}}}$

$Z={\frac {1}{jC\omega }}$

En clair, un condensateur a une réactance de $-{\frac {1}{C\omega }}$ et pas de résistance.

Impédance complexe d'un condensateur.

Impédance d'un condensateur en fonction de la fréquence.

Cette équation nous dit que le condensateur a une impédance qui varie avec la fréquence. Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance sera faible, et inversement. On devine rapidement que le condensateur fonctionne comme un filtre dit passe-haut : il atténue fortement les signaux à basse fréquence (vu que l'impédance est alors élevée), alors que les signaux à haute fréquence sont transmis sans trop d'atténuation, du fait de la basse impédance.

Impédance d'une bobine

Partons de l'équation fondamentale d'une bobine :

$U(t)=L\cdot {\frac {dI}{dt}}$

Injectons la formule d'un courant sinusoïdal $I(t)=I\cdot \sin {(\omega \cdot t)}$ :

$U(t)=L\cdot {\frac {d\left[I\cdot \sin {(\omega \cdot t)}\right]}{dt}}$

Vu que I est une constante, on a :

$U(t)=L\cdot I\cdot {\frac {d\sin {(\omega \cdot t)}}{dt}}$

La dérivée du sinus n'est autre que la fonction cosinus.

$U(t)=L\cdot I\cdot \omega \cdot \cos {(\omega \cdot t)}$

On utilise la formule $\cos x=\sin x+{\frac {\pi }{2}}$.

$U(t)=L\cdot I\cdot \omega \cdot \sin {(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}})$

Tension et intensité aux bornes d'une bobine.

Cette équation nous dit qu'aux bornes d'une bobine, la tension avance par rapport à l'intensité d'une phase de $\pi \over 2$, soit un quart de période. Dit autrement, l'intensité retarde par rapport à la tension d'une phase de $\pi \over 2$, soit un quart de période. Le tout est illustré par la figure de droite.

On peut alors calculer l'impédance en divisant U par I :

${\frac {U(t)}{I(t)}}={\frac {L\omega \cdot I\cdot \sin {(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}})}{I\cdot \sin {(\omega \cdot t)}}}=L\omega \cdot {\frac {\sin {(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}})}{\sin {(\omega \cdot t)}}}$

On peut alors remplacer la tension et l'intensité par leurs phaseurs. Intuitivement, on voit que le module de l'impédance est égal à $L\omega$, et que son argument est de ${\frac {\pi }{2}}$. Dans le détail, on trouve :

$Z=L\omega \cdot {\frac {e^{j\left(\omega \cdot t+{\frac {\pi }{2}}\right)}}{e^{j(\omega \cdot t)}}}=L\omega \cdot e^{j{\frac {\pi }{2}}}$

$Z=jL\omega$

En clair, une bobine a une réactance de $L\omega$ et pas de résistance.

Impédance complexe d'une bobine.

Impédance d'une bobine en fonction de la fréquence.

Cette équation nous dit que la bobine a une impédance qui varie avec la fréquence. Plus la fréquence est élevée, plus l'impédance sera forte, et inversement. On devine rapidement que la bobine fonctionne comme un filtre dit passe-bas : elle atténue fortement les signaux à haute fréquence (vu que l'impédance est alors élevée), alors que les signaux à basse fréquence sont transmis sans trop d'atténuation, du fait de la basse impédance.

Associations d'impédances

Impédances en série.

Impédances en parallèle.

Il est possible de placer des impédances en parallèle ou en série, tout comme pour les résistances. C'était plus ou moins ce qu'on a fait quand on étudié les circuits RLC, RC, RL et LC. Et comme pour les résistances, on peut calculer une impédance équivalente pour plusieurs impédances en série ou en parallèle. Par exemple, on peut calculer l'impédance équivalente d'un circuit RLC ou d'un circuit RC. Le traitement est strictement équivalent à celui effectué pour les résistances. Les démonstrations sont notamment les mêmes et donnent les mêmes résultats, si ce n'est que les impédances remplacent les résistances. On ne les refera pas ici, et on se contentera de citer les deux résultats suivants :

• Pour des impédances en série, l'impédance équivalente est la somme des impédances.
• Pour des impédances en parallèle, l'admittance équivalente est la somme des admittances.

$Z=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}$

$Y=Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}\equiv {\frac {1}{Z}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{Z_{n}}}$

Associations de résistances/bobines/condensateurs

Pour les associations de résistances, condensateurs et bobines on retrouve les résultats vus dans le chapitre "Associations de composants de base". À savoir :

• La résistance équivalente est la somme des résistances : $R_{eq}=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}$
• L'inductance équivalente est la somme des inductances : $L_{eq}=L_{1}+L_{2}+\cdots +L_{n}$
• L'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités : ${\frac {1}{C_{eq}}}={\frac {1}{C_{1}}}+{\frac {1}{C_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{C_{n}}}$

Les démonstrations sont triviales : il suffit d'injecter les impédances $R$, $jL\omega$ et $1 \over jC\omega$ dans l'équation $Z=Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}$. Quelques simplifications algébriques triviales donnent alors les résultats précédents.

Circuits RC, RL, LC et RLC

On vient de voir que rien ne change pas rapport au cas continu pour les diviseurs de tension à base de résistances, condensateurs ou bobines. Par contre, il est intéressant d'étudier les associations d'impédances que sont les circuits RC, RL, LC et RLC. Dans cette section, nous allons utiliser les notations suivantes :

• $U$ est la tension du générateur.
• $U_{c}$ est la tension aux bornes du condensateur.
• $U_{l}$ est la tension aux bornes de la bobine.
• $U_{r}$ est la tension aux bornes de la résistance.
• $Z_{r}$ est l'impédance de la résistance.
• $Z_{l}$ est l'impédance de la bobine.
• $Z_{c}$ est l'impédance du condensateur.

Circuit RC série

Prenons le cas d'un circuit RC série. On part de l'équation vue plus haut, avec les impédances de la résistance et du condensateur :

$Z_{eq}=Z_{r}+Z_{c}$

$Z_{eq}=R+{\frac {1}{jC\omega }}$

Pour obtenir la tension aux bornes du condensateur et de la résistance, on peut utiliser le théorème du diviseur de tension, en remplaçant les résistances par les impédances, ce qui donne :

$U_{c}=U\cdot {\frac {Z_{c}}{Z_{eq}}}=U\cdot {\frac {\frac {1}{jC\omega }}{R+{\frac {1}{jC\omega }}}}=U\cdot {\frac {1}{1+jRC\omega }}$

$U_{r}=U\cdot {\frac {Z_{r}}{Z_{eq}}}=U\cdot {\frac {R}{R+{\frac {1}{jC\omega }}}}=U\cdot {\frac {jRC\omega }{1+jRC\omega }}$

Circuit RL série

Prenons ensuite le cas d'un circuit RL série. On part de l'équation vue plus haut, avec les impédances de la résistance et du condensateur :

$Z_{eq}=R+jL\omega$

Les tensions aux bornes de la bobine et de la résistance se calculent avec le théorème du diviseur de tension.

$U_{l}=U\cdot {\frac {Z_{l}}{Z_{eq}}}=U\cdot {\frac {jL\omega }{R+jL\omega }}$

$U_{r}=U\cdot {\frac {Z_{r}}{Z_{eq}}}=U\cdot {\frac {R}{R+jL\omega }}$

Circuit RLC série

Prenons enfin le cas d'un circuit RLC série, les autres circuits série étant assez similaires (il suffit de mettre à zéro la bonne impédance). On calcule l'impédance équivalente :

$Z_{eq}=R+jL\omega +{\frac {1}{jC\omega }}$

$Z_{eq}=R+j\left(L\omega -{\frac {1}{C\omega }}\right)$

$Z_{eq}=R+j\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{C\omega }}\right)$

Impédance complexe d'un circuit RLC série.

Impédance complexe d'un circuit RLC série - 2.

L’impédance complexe du circuit RLC est indiquée dans le graphique ci-dessous. On remarque facilement que l'impédance $Z_{eq}=R+j\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{C\omega }}\right)$ est minimale quand le terme $\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{C\omega }}\right)$ s'annule. Cela arrive pour une fréquence précise, qui se calcule comme suit.

Multiplions par $C\omega$ :

$LC\omega ^{2}-1=0$

$LC\omega ^{2}=1$

$\omega ^{2}={\frac {1}{LC}}$

$\omega ={\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

Vu que $\omega =2\pi f$, on a :

$f={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

Circuit RLC parallèle

Pour le circuit RLC parallèle, on doit procéder de la même manière que le cas série, sauf que l'on doit additionner les admittances :

$Y_{eq}={\frac {1}{R}}+jC\omega +{\frac {1}{jL\omega }}$

$Y_{eq}={\frac {1}{R}}+j\left(C\omega -{\frac {1}{L\omega }}\right)$

$Y_{eq}={\frac {1}{R}}+j\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{L\omega }}\right)$

L’impédance complexe du circuit RLC parallèle est indiquée dans le graphique ci-dessous. La transmittance du circuit RLC parallèle est l'inverse du circuit série. Elle ne filtre pas les basses et hautes fréquences, mais filtre les fréquences intermédiaires. On dit qu'il s'agit d'un filtre coupe-bande, sous-entendu qui coupe les fréquences comprises dans une bande de fréquences. On remarque facilement que l'admittance du circuit est minimale quand le terme $\left({\frac {LC\omega ^{2}-1}{L\omega }}\right)$ s'annule. On retrouve donc la fréquence d'impédance maximale :

$f={\frac {1}{2\pi }}\cdot {\sqrt {\frac {1}{LC}}}$

Impédance complexe d'un circuit RLC parallèle en fonction de la fréquence.

Les quadripôles en régime sinusoïdal

Si l'on envoie une tension sinusoïdale sur l'entrée d'un quadripôle, celui-ci va fournir une tension sinusoïdale de même fréquence à sa sortie (même chose pour un courant, mais nous utiliserons des tensions dans ce qui suit, pour simplifier les explications). Par contre, les deux signaux ne seront pas forcément en phase et n'ont pas la même amplitude. Décrire le comportement du filtre demande d'étudier deux paramètres :

• le déphasage entre entrée et sortie ;
• le rapport entre amplitude d'entrée et de sortie.

La transmittance

On peut calculer le rapport entre la tension d'entrée $U_{e}$ et la tension de sortie $U_{s}$. Celui-ci s'appelle la fonction de transfert, bien que le terme transmittance soit aussi très utilisé, et se note $T(\omega )$. La transmittance d'un quadripôle n'est évidemment pas la même selon la fréquence, ce qui traduit le fait que certaines fréquences sont atténuées et d'autres amplifiées. Voici sa formule de calcul.

$T(\omega )={\frac {U_{s}\cdot \sin {(\omega t+\phi _{s})}}{U_{e}\cdot \sin {(\omega t+\phi _{e})}}}={\frac {U_{s}}{U_{e}}}\cdot {\frac {\sin {(\omega t+\phi _{s})}}{\sin {(\omega t+\phi _{e})}}}$

Si on utilise des phaseurs pour les tensions d'entrée et de sortie, leur rapport est un nombre complexe, qui dépend de la fréquence du signal d'entrée/sortie. La transmittance ainsi calculée est appelée la transmittance complexe et se note ${\underline {T}}(\omega )$.

${\underline {T}}(\omega )={\frac {U_{s}(\omega )}{U_{e}(\omega )}}$

Vu qu'il s'agit d'un nombre complexe, la transmittance possède un module et un argument, dont les interprétations sont les suivantes :

• Le module $|{\underline {T}}|$ est le rapport entre amplitudes d'entrée et de sortie.
• L'argument $\arg {({\underline {T}})}$ est le déphasage entre signal de sortie et d'entrée.

$|{\underline {T}}|={\frac {|U_{s}|}{|U_{e}|}}={\frac {U_{s}({eff})}{U_{e}({eff})}}$

L'atténuation et l'amplification

Le module de la transmittance porte le nom d'atténuation ou d'amplification selon les cas. L'amplification/atténuation se définit comme le rapport des valeurs efficaces du signal de sortie et d'entrée. On peut aussi la voir comme le rapport entre les amplitudes maximales de la sortie et de l'entrée, ce qui est équivalent pour des signaux sinusoïdaux. Elle n'est évidemment pas la même selon la fréquence, ce qui traduit le fait que certaines fréquences sont atténuées et d'autres amplifiées.

$A(\omega )={\frac {U_{s}(\omega )}{U_{e}(\omega )}}$

Illustration de l'amplification d'un signal.

Le nom d'atténuation/amplification vient du fait que le quadripôle peut soit atténuer ou amplifier son entrée. Dans le premier cas, la tension de sortie est inférieure à la tension d'entrée : cette dernière est alors atténuée. Dans le deuxième cas, la tension de sortie est supérieure à celle d'entrée, ce qui fait que la tension d'entrée a été amplifiée. Tous les quadripôles ne peuvent pas amplifier un signal : seuls ceux alimentés par autre chose que le signal d'entrée le peuvent. Ceux-ci sont appelés des quadripôles actifs, là où les autres sont des quadripôles passifs. La différence entre les deux tient au fait que les quadripôles actifs contiennent des composants actifs (générateurs, autres), là où les autres sont composés exclusivement de récepteurs passifs (résistances, condensateurs, bobines, autres).

Le gain d'un quadripôle

Il est fréquent d'utiliser des diagrammes qui relient l'amplification/atténuation à la fréquence. Analyser ces diagrammes est cependant assez compliqué si l'on utilise une échelle linéaire. Par exemple, la courbe tracée par un simple condensateur ou une bobine donnent une courbe exponentielle. Pour éviter un tel écueil, il est d'usage d'utiliser une courbe logarithmique afin que l'amplification causée par les récepteurs non-linéaires (condensateur et bobine) donnent des droites. Pour cela, on calcule une fonction dérivée du logarithme de l'amplification : le gain. Celui-ci vaut :

$G(\omega )=20\cdot \log _{10}{(A(\omega ))}$

Les diagrammes de Bode

Si on trace le gain en fonction de la fréquence, on obtient un diagramme appelé diagramme de Bode. Son étude donne de nombreuses indications sur le filtre étudié. On peut remarquer que celui-ci utilise le gain et non l'amplification. La raison en est que les courbes usuelles donnent des droites, là où elles donneraient des courbes exponentielles sur la plupart des filtres. Voici un exemple de diagramme de Bode :

Diagramme de Bode d'un filtre.

Il est possible de fusionner les deux diagrammes de Bode en un seul, ce qui peut être fait de plusieurs manières.

La première méthode se base sur le fait que la phase est déterminée par la fréquence : à toute fréquence correspond une phase. Cette méthode consiste à donner le gain en fonction de la phase, et de tracer le tout sous la forme d'un diagramme semi-logarithmique (échelle logarithmique pour le gain, linéaire pour la phase). Le graphe obtenu est appelé diagramme de Black du circuit.

Une seconde méthode consiste à représenter la transmittance sur un graphe dans le plan complexe. Rappelons que la transmittance est un ensemble de nombres complexes (un par fréquence) dont le module est le gain et la phase est l'argument. Avec ces nombres complexes, on peut tracer une courbe sur le plan complexe, courbe dont chaque point correspond à la transmittance observée pour une fréquence bien précise. Le résultat est appelé le diagramme de Nyquist. La forme de ce diagramme de Nyquist donne des indications sur la stabilité du circuit considéré,

Exemple de diagramme de Nyquist.

Généralités sur le transformateur

Qu'est-ce qu'un transformateur ?

Un transformateur a pour but de modifier les amplitudes des grandeurs électriques alternatives : il transforme des signaux de tension et de courant de fréquence donnée en signaux de même fréquence mais de valeurs efficaces différentes.

L'une des particularités du transformateur est qu'il a un rendement très élevé, souvent proche de 100 % : dans les gros transformateurs, on a moins de 1 % de pertes. Pour simplifier, nous ne considérerons ici que le cas du transformateur monophasé, mais les principes physiques abordés s'appliquent aussi au cas du transformateur triphasé.

Pourquoi utiliser un transformateur ?

Le transformateur joue un rôle important dans le transport et la distribution de l'énergie électrique. En effet, si l'on s'intéresse aux pertes en ligne lors d'un transport de puissance électrique, et plus particulièrement aux pertes par effet Joule, ces-dernières sont, quel que soit le conducteur, d'autant plus importantes que le courant électrique est élevé. Or, à puissance transportée constante, l'utilisation d'une tension plus élevée implique un courant électrique plus faible puisque, d'une manière générale et quel que soit le nombre de phases utilisées, la puissance électrique $P_{elec}$ est proportionnelle au produit de la tension $V$ par le courant $I$ :

$P_{elec}\propto V\times I\qquad (6)$

De fait, afin de limiter au maximum les pertes en ligne, il faut transporter un courant aussi faible que possible : quand les distances deviennent importantes, le transport de l'énergie électrique ne peut se faire qu'à très haute tension. Il est donc nécessaire d'élever la tension fournie par les générateurs avant de la transporter, et pour cela d'utiliser des transformateurs.

D'un autre côté, les tensions élevées demandent une maîtrise plus importante. Pour des raisons de sécurité, tournant notamment autour de problèmes d'isolation des conducteurs, ou lorsqu'il n'est pas nécessaire de transporter l'énergie sur de longues distances, on n'a pas toujours recours à l'utilisation des hautes tensions. En particulier, il n'est pas envisageable de câbler les bâtiments avec des tensions très élevées : une fois le transport effectué, l'énergie électrique doit être distribuée sous la forme de basses tensions et l'on doit par conséquent avoir là aussi recours à un transformateur.

En résumé, le transformateur permet à l'énergie électrique d'être transportée à longue distance de façon économique et distribuée dans les industries et les habitations.

Constitution d'un transformateur monophasé

Comme nous pouvons le voir sur la Fig. 2, un transformateur monophasé est constitué :

• d'un circuit magnétique fermé ;
• de deux circuits électriques sans liaison entre eux, enroulés autour du circuit magnétique.

Fig. 2 : Schéma de principe d'un transformateur monophasé

Le circuit électrique lié au générateur est appelé le circuit primaire, celui qui est lié au récepteur est appelé le circuit secondaire.

Appelons $V_{1}$ la valeur efficace de ${\underline {V_{1}}}$ au primaire et $V_{2}$ la valeur efficace de ${\underline {V_{2}}}$ au secondaire alors :

• Si $V_{1}<V_{2}$, le transformateur est dit élévateur de tension ;
• Si $V_{1}>V_{2}$, le transformateur est dit abaisseur de tension ;
• Si $V_{1}=V_{2}$, le transformateur est un transformateur d'isolement ;

Remarque : Il existe une isolation galvanique entre le primaire et le secondaire : un défaut électrique au niveau du secondaire n'est pas détectable par un dispositif différentiel présent au primaire. Pour protéger l'utilisateur d'un transformateur, il faut placer une protection différentielle au secondaire.

Principe de fonctionnement

L'enroulement primaire est soumis à une tension sinusoïdale. Il est donc traversé par un courant sinusoïdal et donne naissance à travers le circuit magnétique à un flux sinusoïdal. Ce flux engendre alors une force électromotrice induite ${\underline {E_{1}}}$ dans l'enroulement primaire et ${\underline {E_{2}}}$ dans l'enroulement secondaire. Au niveau des bornes du secondaire apparaît alors une tension sinusoïdale dont la fréquence est la même que celle de la tension appliquée au primaire, mais dont l'amplitude est différente.

Fig. 3 : Principe de fonctionnement du transformateur. On utilise la convention récepteur pour le primaire (le sens positif de ${\underline {V_{1}}}$ est pris en opposition avec celui de ${\underline {I_{1}}}$) et générateur pour le secondaire (le sens positif de ${\underline {V_{2}}}$ est pris dans le même sens que celui de ${\underline {I_{2}}}$)

Le comportement du transformateur peut alors être appréhendé par le schéma reporté sur la Fig. 3.

Convention de signe

Les conventions de signe que nous utiliserons dans le cas du transformateur monophasé sont celles reportées sur la Fig. 3 :

• en ce qui concerne les forces électromotrices (f.é.m) ${\underline {E_{1}}}$ et ${\underline {E_{2}}}$, nous prenons comme convention le fait que des f.é.m positives tendent à faire circuler des courants positifs ;
• en ce qui concerne la tension d'entrée du primaire ${\underline {V_{1}}}$ et le courant ${\underline {I_{1}}}$, puisque l'enroulement primaire absorbe l'énergie du générateur, il se comporte comme un récepteur : ${\underline {V_{1}}}$ et ${\underline {I_{1}}}$ sont donc liés par la convention des récepteurs et leurs sens positifs sont pris en opposition ;
• en ce qui concerne la tension de sortie du secondaire ${\underline {V_{2}}}$ et le courant ${\underline {I_{2}}}$, puisque l'enroulement secondaire se comporte comme un générateur et fournit de l'énergie au récepteur, ils sont reliés par la convention des générateurs et le sens positif de ${\underline {V_{2}}}$ est pris dans le même sens que celui de ${\underline {I_{2}}}$.

Formule de Boucherot pour le transformateur

L'une des propriétés du transformateur est d'être une machine statique à flux forcé. En effet, au primaire, le générateur impose la tension ${\underline {V_{1}}}$ ainsi que la fréquence $f$. Le nombre de spires $N_{1}$ est quant à lui fixé. Par conséquent, le flux ${\underline {\phi }}$ voit sa valeur imposée en module et phase par le générateur. Les différentes grandeurs que nous venons de citer sont reliées par la formule de Boucherot :

$V_{1}=4,44\ N_{1}\ f\ {\phi _{max}}\qquad (7)$

où $V_{1}$ est la valeur efficace de la tension au primaire, $N_{1}$ le nombre de spires de l'enroulement primaire, $f$ la fréquence du flux et $\Phi _{max}$ la valeur maximale du flux magnétique.

Remarque : Le transformateur est une machine à flux forcé : alimenté par une tension efficace constante, il fournit au secondaire une tension sinusoïdale de valeur efficace constante.

Symboles électriques du transformateur

Dans un schéma électrique, le transformateur peut être représenté par l'un des deux symboles reportés dans les volets (a) et (b) de la Fig. 4.

Fig. 4 : Symboles électriques du transformateur monophasé.

Dans ce wikilivre, nous utiliserons le symbole reporté dans le volet (a) de la Fig. 4.

Le transformateur parfait (ou idéal)

Définition du transformateur parfait (ou idéal)

On appelle transformateur parfait, ou idéal, un transformateur vérifiant les conditions suivantes :

• Les pertes dans le fer, c'est-à-dire les pertes par hystérésis et les courants de Foucault sont nulles. Le noyau est infiniment perméable au champ magnétique et sa réluctance ${\mathcal {R}}$, grandeur décrivant la résistance d'un circuit magnétique à sa pénétration par un champ magnétique, est nulle.
• La résistance des enroulements primaires et secondaires est nulle.
• Il n'y a pas de pertes de flux magnétique : tout le flux présent dans le noyau sert à magnétiser l'enroulement secondaire.

Du point de vue des grandeurs électriques, cela veut dire que :

• Si le secondaire est à vide, et donc si ${\underline {I_{2}}}=0$, alors le courant qui traverse le primaire est nul, c'est-à-dire que ${\underline {I_{1}}}=0$ ;
• Le secondaire se comporte comme un générateur parfait, de résistance interne nulle, de sorte que la valeur efficace de la tension au secondaire $V_{2}$ est constante quand le courant au secondaire $I_{2}$ varie, en valeur efficace, de 0 à sa valeur nominale $I_{2n}$ ;
• Le rendement du transformateur est de $\eta =1=100\%$.

Expression des f.é.m dans le transformateur parfait

D'après la loi de Faraday, les forces électromotrices ${\underline {E_{1}}}$ et ${\underline {E_{2}}}$ dépendent de la variation du flux magnétique ${\underline {\phi }}$ selon la relation :

${\underline {E_{1}}}=-N_{1}{\frac {d{\underline {\phi }}}{dt}}\qquad (8)$

et

${\underline {E_{2}}}=-N_{2}{\frac {d{\underline {\phi }}}{dt}}\qquad (9)$

où $N_{1}$ et $N_{2}$ sont respectivement le nombre de spires des enroulements primaire et secondaire.

Equation de la tension dans le cas idéal

Dans le cas idéal, la tension au primaire vérifie la relation :

${\underline {V_{1}}}=-{\underline {E_{1}}}=N_{1}{\frac {d{\underline {\phi }}}{dt}}\qquad (10)$

et celle au secondaire vérifie :

${\underline {V_{2}}}={\underline {E_{2}}}=-N_{2}{\frac {d{\underline {\phi }}}{dt}}\qquad (11)$

De fait, à condition que $d{\underline {\phi }}/dt\neq 0$, on peut ramener ces deux expressions à :

${\frac {\underline {V_{2}}}{\underline {V_{1}}}}=-{\frac {N_{2}}{N_{1}}}=-m\qquad (12)$

où $m$ est appelé le rapport de transformation. Si l'on remplace les valeurs temporelles de la tension par des valeurs efficaces, la précédente équation se ramène, dans le cas idéal, à :

${\frac {V_{2}}{V_{1}}}=m\qquad (13)$

Remarque : le fait que l'on doive avoir $d{\underline {\phi }}/dt\neq 0$ implique que le transformateur ne peut fonctionner qu'en régime alternatif.

Equation d'intensité

Dans le cas général, le courant au primaire et celui au secondaire sont reliés à tout instant par la relation d'Hopkinson :

$N_{1}{\underline {I_{1}}}+N_{2}{\underline {I_{2}}}={\mathcal {R}}{\underline {\phi _{m}}}\qquad (14)$

où ${\underline {\phi _{m}}}$ est le flux mutuel (dans le cas idéal ${\underline {\phi _{m}}}={\underline {\phi }}$) et où ${\mathcal {R}}$ est la réluctance du circuit magnétique. Cette grandeur décrit l'opposition du noyau au passage du champ magnétique : elle est par conséquent liée à la notion de pertes dans le fer. Or, nous sommes dans le cas d'un transformateur idéal et, de fait, la réluctance du circuit noyau est nulle et la précédente équation s'écrit sous la forme :

$N_{1}{\underline {I_{1}}}+N_{2}{\underline {I_{2}}}=0\qquad (15)$

Ceci implique que :

${\frac {\underline {I_{2}}}{\underline {I_{1}}}}=-{\frac {N_{1}}{N_{2}}}=-{\frac {1}{m}}\qquad (16)$

Si, à présent, on remplace les grandeurs temporelles par des grandeurs efficaces, on aboutit à la relation, valable dans le cas idéal :

${\frac {I_{2}}{I_{1}}}=-{\frac {1}{m}}\qquad (17)$

Remarque : Le rapport de transformation des intensités est l'inverse de celui des tensions en valeur absolue.

Propriétés du transformateur parfait

Déphasages : diagramme de Fresnel

Nous reportons sur la Fig. 5 le diagramme vectoriel associé aux équations (12) et (16) en prenant comme grandeur de référence le flux magnétique. Ce diagramme de Fresnel représente donc les différentes grandeurs électriques dans le cas du transformateur idéal à travers leurs valeurs efficaces et leurs déphasages.

D'après les équations sus-citées, les grandeurs ${\underline {V_{1}}}$ et ${\underline {V_{2}}}$ sont alignées, et il en va de même pour les grandeurs ${\underline {I_{1}}}$ et ${\underline {I_{2}}}$.

Fig. 5 : Diagramme de Fresnel dans le cas d'un transformateur idéal.

Par conséquent, les déphasages $\varphi _{1}$ et $\varphi _{2}$ sont nécessairement les mêmes.

Lois de conservation

À partir des équations (13) et (17), nous pouvons écrire que :

$V_{2}\times I_{2}=mV_{1}\times {\frac {1}{m}}I_{1}=V_{1}\times I_{1}\qquad (18)$

et, de fait, si l'on appelle $S_{1}$ la puissance apparente absorbée au primaire et $S_{2}$ celle fournie au secondaire, alors :

$S_{1}=S_{2}\qquad (19)$

De plus, nous avons vu que le transformateur conserve le déphasage $\varphi$. Or, la puissance active $P$ s'exprime comme

$P=S\cos \varphi \qquad (20)$

tandis que la puissance réactive $Q$ vérifie :

$Q=S\sin \varphi \qquad (21)$

On remarque au passage que $P$, $Q$ et $S$ sont reliées par la relation :

$S={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}\qquad (22)$

Comme $S$ et $\varphi$ sont conservés, il en va de même pour $P$ et $Q$. Par conséquent, dans le cas du transformateur idéal :

$P_{1}=P_{2}\qquad (23)$

et

$Q_{1}=Q_{2}\qquad (24)$

Le transformateur idéal conserve les puissances active, réactive et apparente. Il conserve aussi le déphasage.

Les redresseurs

Les redresseurs sont des composants électriques qui convertissent un courant alternatif en courant continu. On en trouve dans la plupart des appareils électriques ou électroniques domestiques. En effet, la tension fournie par le secteur est une tension alternative de 230 Volts (valeur efficace), alors que la plupart des appareils domestiques fonctionnent avec du courant continu. Ceux-ci contiennent donc de quoi convertir la tension du secteur en tension continue. Par exemple, on en trouve dans l'alimentation d'un ordinateur, dans les box internet, dans les machines à laver, et bien d'autres. Dans ce chapitre, nous allons étudier le fonctionnement des redresseurs les plus simples et les plus communs et nous allons voir ce qu'il y a à l'intérieur.

Les types de redresseurs

Rappelons la différence entre alternatif et continu : une tension alternative change de signe, ce qui veut dire que ce dernier passe régulièrement du positif vers le négatif, alors qu'une tension continue reste en permanence dans le positif (ou le négatif) et ne change pas de signe. Pour convertir de l'alternatif en continu, il existe plusieurs méthodes, selon ce qu'on fait des tensions ayant le signe qu'on veut éliminer. Les redresseurs les plus simples se contentent de supprimer les tensions négatives (ou positives), alors que d'autres les transforment en tensions de signe contraire. On distingue ainsi :

• les redresseurs simple alternance qui annulent les tensions négatives (ou positives) ;
• les redresseurs double alternance qui transforment les tensions négatives en tension positives (ou inversement).

Il faut aussi prendre en compte le fait que certains donnent une tension continue positive, alors que d'autres en fournissent une négative. On a donc deux types de redresseurs :

• les redresseurs positifs redressent les tensions négatives ;
• les redresseurs négatifs redressent les tensions positives.

Les deux classifications précédentes peuvent se combiner, ce qui donne donc quatre possibilités, illustrées dans le tableau ci-dessous.

	Redresseur simple alternance	Redresseur double alternance
Redresseur positif	Redresseurs simple alternance positifs Ils annulent les tensions négatives.	Redresseurs double alternance positifs Ils transforment les tensions négatives en tensions positives.
Redresseur négatif	Redresseurs simple alternance négatifs Ils annulent les tensions positives.	Redresseurs double alternance négatifs Ils transforment les tensions positives en tensions négatives.

Redresseur simple alternance.
Redresseur simple alternance.
Redresseur double alternance.

Les redresseurs simple alternance

Symbole d'une diode.

Les redresseurs simple alternance les plus simples sont fabriquées à partir de composants appelés diodes. Celles-ci sont des composants passifs non-symétriques. Elles laissent passer le courant dans un sens, mais pas dans l'autre. La diode est dite bloquée quand elle ne laisse pas passer le courant, passante quand le courant passe. Pour vous donner un exemple, les deux circuits illustrés ci-dessous montrent ce qui se passe quand on branche une diode dans le sens passant, puis bloqué. Dans le premier cas, du courant va circuler dans le circuit. Dans le second, le circuit sera équivalent à un circuit ouvert. Pour distinguer le sens du courant, on donne un nom aux deux broches : anode et cathode. Le courant passe de l'anode vers la cathode.

Diode branchée dans le sens passant.

Diode branchée dans le sens bloqué.

Si l'on met la diode en série avec la tension alternative, la tension en sortie de la diode sera bien une tension continue, dont les tensions négatives (ou positives) sont supprimées.

Redresseur simple alternance, qui filtre les tensions/courants négatifs.

L'influence du sens de la diode

Les tensions mises à zéro dépendent du sens de branchement de la diode : les tensions négatives sont filtrées si la diode est en sens direct, alors que les tensions positives le sont si la diode est branchée en sens inverse. Pour l'illustrer, voici deux circuits identiques, si ce n'est que la diode n'est pas dans le même sens. Vous voyez que les tensions de sortie sont différentes. Vous noterez que le fait de placer la diode avant ou après la résistance demande d'inverser le sens de la diode.

Écrêteur négatif.	Écrêteur positif.

Les redresseurs double alternance

Pont à diode.

Les redresseurs double alternance sont plus complexes que les simples alternances. Le plus connu est de loin le pont à diode, aussi appelé pont de Graetz, un circuit fabriqué avec quatre diodes reliées comme illustré ci-contre.

Le fonctionnement du pont à diode

Pour comprendre comment fonctionne ce circuit, le mieux est d'étudier ce qui se passe selon que la tension d'entrée est positive ou négative.

• Quand la tension d'entrée est positive, les diodes indiquées en rouge et bleu dans le circuit ci-dessous seront passantes, alors que les autres seront bloquées. Ce faisant, la borne + de l'entrée sera connectée directement à la borne + de la sortie, et de même pour les bornes - : la tension d'entrée est simplement recopiée sur la sortie. Une tension d'entrée positive reste une tension positive.

Diodebridge2

• Quand la tension d'entrée est négative, les diodes indiquées en rouge et bleu dans le circuit ci-dessous seront passantes, alors que les autres seront bloquées. Ce faisant, la borne + de l'entrée sera connectée directement à la borne - de la sortie, et inversement : la tension d'entrée est alors inversée. Une tension négative est donc convertie en tension positive.

Diodebridge3

Finalement, on voit que la tension de sortie du montage est toujours positive. Voici résumé le fonctionnement de ce pont à diode :

Pont à diode : fonctionnement.

Le filtrage de la tension de sortie

Maintenant, regardons ce que se passe quand on ajoute un condensateur sur la sortie. Le condensateur est placé en parallèle avec la sortie, comme indiqué dans le schéma ci-dessous.

Pont à diode avec un condensateur en sortie.

Le condensateur a quelque tendance à lisser la tension de sortie. En effet, le condensateur se charge quand la tension augmente, mais se décharge quand elle diminue. Si la tension n'est pas modifiée lors de la montée, elle est cependant altérée lors de sa redescente. La décharge du condensateur augmente la tension lors de la pente descendante, ce qui réduit la vitesse de descente. Le résultat est illustré ci-dessous. Si on prend un condensateur suffisamment gros, avec une capacité importante, la tension de sortie est presque totalement lissée. On obtient alors une tension constante. Ce montage permet donc de transformer une tension alternative en tension constante.

Sortie d'un pont à diode filtrée par un condensateur.

Ce circuit est utilisé dans les alimentations de certains appareils électriques, couplé à un transformateur et un régulateur de tension. Le transformateur alimente le circuit en tension, tout en l'isolant du secteur. À sa suite, un pont à diode transforme la tension alternative en tension continue et un condensateur la filtre, ce qui donne une tension constante qui répond aux besoins du circuit. Un régulateur de tension adapte ensuite la tension constante à la valeur demandée par le circuit.

Circuit de l'alimentation d'un appareil électrique.

Le risque électrique

L'énergie électrique est largement utilisée, en particulier pour les applications domestiques et se trouve par conséquent à la portée de tout un chacun. Cependant, elle peut s'avérer extrêmement dangereuse. En effet, outre les risques de dégradation des installations suite à un défaut électrique il y a des risques de lésions, et même danger de mort, si un courant traverse le corps humain. Il est par conséquent indispensable de protéger non seulement les installations mais aussi les personnes contre les dangers électriques.

L'électrisation et l'électrocution

Avant d'aller plus loin, un petit peu de vocabulaire : il ne faut pas confondre l'électrisation avec l'électrocution. En effet, l'électrisation désigne l'ensemble des manifestations et lésions provoquées par le passage d'un courant électrique à travers le corps. Lorsque l'électrisation provoque le décès, et uniquement dans ce cas là, on parle d'électrocution.

Les effets sur le corps humain

La résistance électrique du corps humain n'est pas infinie : soumis à une tension, le corps va donc laisser passer un courant électrique, pouvant s'avérer dangereux pour lui. Même si cette résistance varie et dépend de plusieurs paramètres (qui sont la présence d'humidité, la transpiration, la tenue vestimentaire, la durée de contact, le courant traversant, etc.), on peut considérer que la résistance du corps humain est de l'ordre de 2 kΩ. Un simple calcul à partir de la loi d'Ohm permet alors d'évaluer le courant traversant une personne mise en contact avec une différence de potentiel de 230 V à un peu plus de 100 mA. Or, l'intensité d'un courant électrique est dangereuse à partir de 20 mA : si elles ne sont pas protégées correctement, les installations domestiques sont potentiellement mortelles !

Le courant électrique qui parcourt le corps humain peut engendrer trois risques graves :

• Le blocage musculaire celui-ci peut provoquer une projection de la personne ou bien sa tétanisation. En effet, le courant électrique maintient contractés les muscles traversés. De ce fait, la personne électrisée ne peut plus relâcher le contact. Au niveau de la cage thoracique, le phénomène peut entraîner un blocage respiratoire pouvant aller jusqu'à l'asphyxie.
• La fibrillation ventriculaire : l'action du courant désorganise complètement le rythme cardiaque et peut causer un arrêt cardiaque.
• Les effets thermiques : ceux-ci provoquent des lésions tissulaires plus ou moins graves, jusqu'à des brûlures profondes, en fonction de l'importance du courant. Des brûlures sur la peau et des brûlures internes sont possibles : on voit alors sur la peau des brûlures aux points d'entrée et de sortie du courant.

En outre, des traumatismes secondaires peuvent être recensés du fait d'une chute ou de mouvements involontaires consécutifs à l'électrisation. Des troubles auditifs, de la vue, ou des troubles nerveux peuvent aussi être induits.

Nous avons reporté sur la figure (securite_effets_alternatif à ajouter) les différents effets du courant alternatif en fonction de son intensité. Remarquons toutefois que si l'intensité du courant est un facteur important dans les risques électriques et ses conséquences, la durée pendant laquelle celui-ci traverse le corps humain, c'est-à-dire le temps de contact ou de passage, est tout aussi déterminante. En effet, il est par exemple potentiellement mortel d'établir un contact de 5 s avec une tension alternative de 50 V en milieu sec (et 25 V en milieu humide) ; par contre, on augmente les chances de survie de la personne en diminuant la durée de contact. Nous avons reporté dans le Tableau 1 différentes tensions de contact et, pour chacune d'entre elles, le temps de passage que ne doit pas dépasser le courant pour éviter tout risque.

Tension de contact (V)	Résistance électrique $R_{n}$ (Ω)	Courant traversant le corps (mA)	Temps de passage maximal $T_{n}$ (s)
50	1725	29	5
75	1625	46	0,6
100	1600	62	0,4
150	1555	97	0,28
230	1500	153	0,17
300	1480	203	0,12
400	1450	276	0,07
500	1430	350	0,04

Tableau 1 : Temps de passage maximum et tensions de contact.

Pour protéger l'utilisateur soumis à la tension de contact, le temps de passage du courant doit être inférieur à $T_{n}$ : on doit couper le courant dans un laps de temps déterminé.

Remarquons que les effets du courant alternatif sont plus importants que ceux du courant continu, en particulier parce que ces deux types de courant n'ont pas les mêmes effets sur les muscles. Attention toutefois à ne pas sous-estimer les effets du courant continu : en régime continu, dans un milieu sec, toute tension supérieure à 120 V est considérée comme dangereuse. En alternatif, toujours dans un milieu sec, la tension est considérée comme dangereuse à partir de 50 V. Comme le montre le tableau 1, sous une tension de 230 V, qui correspond à la tension d'utilisation domestique de l'énergie électrique, le contact avec un conducteur peut produire un courant de 153 mA dans le corps humain. Ce courant doit être coupé en moins de 170 millisecondes pour éviter tout risque : cela nous amène à la notion de protection des personnes dans le cadre d'une installation électrique.

Les accidents électriques par contact

Avant de discuter des différents dispositifs de protection des installations et des personnes, nous allons expliciter les différents types de contacts possibles entre la personne et l'énergie électrique. Pour comprendre les dangers de ces contacts, nous devons remarquer le fait que les installations électriques domestiques françaises sont faites selon le schéma de liaison à la terre TT, dont nous parlerons à la section (mettre lien), et dont le principe de base est de relier le neutre du générateur à la terre. Si une telle approche permet une protection efficace contre les surtensions, pour un coût relativement faible et sans entretien, il donne toutefois au courant électrique délivré par la phase la possibilité de revenir au générateur soit par le neutre, soit par la terre. En effet, le courant électrique revient toujours au générateur qui lui a donné naissance.

Nous classons les risques électriques par contact en deux ensembles :

• les contacts directs, dont l'origine est la plupart du temps imputable à une imprudence ou une maladresse de l'utilisateur ;
• les contacts indirects, la plupart du temps indépendante de la personne et liés à un défaut du matériel.

Les schémas de liaison à la terre (SLT) ou régimes de neutre

Les réseaux de distribution sont caractérisés essentiellement par la nature du courant, le nombre de conducteurs actifs, mais aussi par la liaison à la terre, et c'est ce dernier aspect que l'on appelle le régime de neutre ou encore schéma de liaison à la terre (SLT).

Le régime du neutre décrit la manière dont le neutre du générateur, en général la sortie d'un transformateur, est relié avec la terre ainsi que la situation des masses de l'installation par rapport à la terre. Il joue un rôle très important puisque, lors d'un défaut d'isolement ou de la mise accidentelle d'une phase à la terre, les valeurs prises par les courants de défaut, les tensions de contact et les surtensions sont étroitement liées à celui-ci.

Les schémas de liaison à la terre sont repérés par deux lettres :

• la première lettre rend compte de la situation du neutre par rapport à la terre du côté du fournisseur de l'énergie : on donne la lettre T lorsque le neutre est directement lié à la terre et la lettre I lorsque le neutre est isolé ou bien relié à la terre par l'intermédiaire d'une impédance ;
• la seconde lettre décrit la situation des masses de l'installation : on donne la lettre T lorsque celles ci sont reliées à la terre et la lettre N lorsque celles-ci sont reliées au neutre.

Il existe trois types de régimes de neutre : le SLT TT, le SLT TN et le SLT IT. Chaque schéma a ses avantages et ses inconvénients et par conséquent ses utilisations. Si le régime TN est préféré pour les installations industrielles, les locaux demandant une continuité de service tels que les blocs opératoires ou les centrales nucléaires nécessitent le schéma IT, qui ne provoque pas une coupure du circuit au premier défaut mais assure cependant la protection des personnes.

Dans les installations domestiques, on utilise le régime TT dont le schéma de principe est reporté sur la figure (fig:schema_tt à rajouter).

Ce régime de SLT a en effet l'avantage d'empêcher les surtensions, réduisant ainsi les risques d'incendie. De plus, il est simple à mettre en œuvre et à contrôler, et il ne demande pas d'entretien. Il permet la coupure au premier défaut, ce qui facilite la détection de celui-ci (mais qui s'avère un inconvénient dans le domaine industriel). En revanche, de par sa nature même, il induit des courants de fuite en cas de défaut, et c'est d'ailleurs la détection de ces courants qui permet l'ouverture du circuit. Or, si une protection différentielle de type 300 ou 500 mA telle que celle effectuée dans les disjoncteurs principaux que fournit EDF à ses abonnées suffit à protéger les installations, il faut ajouter dans le schéma TT un organe de protection des personnes : un dispositif différentiel sensible aux courants de 30 mA. En effet, nous pouvons aisément comprendre d'après ce que nous avons vu précédemment qu'un courant de 500 mA présente un danger colossal pour l'utilisateur.

Les dispositifs de protection

Une installation électrique doit être en mesure d'assurer la protection des conducteurs, des équipements, et des personnes. Différents organes de protection sont disponibles : nous abordons ici les cas du fusible, du disjoncteur et du dispositif différentiel.

Le fusible

Le fusible est un objet qui a pour rôle d'assurer la sécurité d'une installation en interrompant la circulation du courant électrique. Lorsque l'intensité qui traverse cet élément est supérieure à une valeur donnée, il ouvre le circuit en se détruisant par une fusion du filament conducteur qui le compose (d'où son nom de fusible). La section du filament est calculée en fonction de l'intensité maximale du courant à laisser passer. En effet, la section des câbles dépend de l'intensité du courant à transporter : plus un courant est important, plus le fil conducteur doit avoir une section élevée si l'on ne veut pas qu'il fonde. La norme NF C 15-100 donne les sections que doivent avoir les conducteurs en fonction du courant assigné.

Il existe essentiellement trois types de fusibles :

• les fusibles à usage général (gG) qui offrent une protection contre les surcharges et les court-circuits et qui sont couramment utilisés dans les applications domestiques ;
• les fusibles accompagnement moteur (aM) utilisés pour la protection des court-circuits uniquement en cas de forts courants de pointe (en présence de moteurs par exemple ou de primaires de transformateur) ; ils sont par exemple utilisés pour protéger les climatiseurs ;
• les fusibles à fusion ultra rapide qui permettent la protection des semi-conducteurs.

Remarquons que les fusibles ne sont pas adaptés pour la protection des personnes, que par ailleurs seul un dispositif différentiel adapté permet d'assurer.

Le disjoncteur

Le disjoncteur a pour vocation la protection des conducteurs et des équipements. C'est un dispositif capable d'établir, de supporter et d'interrompre des courants dans des conditions normales, mais aussi dans des conditions de surcharge et/ou de court-circuit. Sa différence avec un interrupteur est qu'il peut ouvrir un circuit traversé par un courant très grand (c'est-à-dire de l'ordre de 1000 A), ce qu'un interrupteur ne peut pas faire : il a un fort pouvoir de coupure.

Il remplace de plus en plus le fusible, en particulier parce qu'il ne se détruit pas lors de l'ouverture du circuit : c'est un dispositif réarmable.

Il existe plusieurs types de disjoncteurs :

• le disjoncteur magnétique, qui assure la protection contre les court-circuits ;
• le disjoncteur thermique, qui assure la protection contre les surcharges ;
• le disjoncteur magnéto-thermique, qui cumule les deux fonction et assure la protection contre les court-circuits et contre les surcharges. C'est ce type de disjoncteurs qui équipe nos tableaux électriques domestiques.

Nous donnons sur la Fig. 7 les symboles électriques correspondant aux différents éléments de protection ainsi que celui du disjoncteur magnéto-thermique.

Fig. 7 : Élément de protection magnétique (a), thermique (b) et disjoncteur muni d'un déclencheur sur surcharge (thermique) et court-circuit (magnétique) (c).

Remarque : Attention à ne pas confondre disjoncteur et disjoncteur différentiel ! Le disjoncteur est un dispositif assurant la fermeture et l'ouverture d'un circuit. Il n'est différentiel que lorsqu'il assure une fonction de protection particulière.

Le dispositif différentiel à courant résiduel (DDR)

Dans une installation monophasée ou triphasée (voir cours Systèmes triphasés équilibrés à ajouter), un dispositif différentiel à courant résiduel (DDR) est un appareil de protection des personnes dont la fonction est de comparer les intensités traversant les fils de phase et de neutre. En cas de différence, il coupe immédiatement le courant. En effet, si l'on prend l'exemple d'une installation monophasée domestique, le courant électrique qui arrive dans un récepteur par le fil de phase doit ressortir dans sa totalité par le fil de neutre. De fait, si le courant dans le conducteur de phase au départ d'un circuit électrique est différent de celui du conducteur neutre, c'est qu'il y a une fuite de courant  : un défaut électrique.

Le DDR peut être un interrupteur ou un disjoncteur. La différence entre ces deux dispositifs réside essentiellement dans leurs pouvoirs de coupure (noté PdC sur le dispositif) : un disjoncteur peut couper des courants bien plus élevés qu'un interrupteur. En effet, un interrupteur peut couper un courant équivalent à sa valeur nominale quand un disjoncteur peut couper des courants bien plus élevés que celle-ci : par exemple, un interrupteur différentiel de courant nominal 40 A ouvrira un circuit dans lequel circule environ 40 A mais pas beaucoup plus, tandis qu'un disjoncteur différentiel de même valeur nominale s'ouvrira sous des courants de 3000 A, voire de 6000 A. De fait, un interrupteur différentiel n'est pas capable de protéger d'un court-circuit, ce-dernier risquant de détruire ses contacts. Notons toutefois qu'un grand intérêt des interrupteurs différentiels est qu'il sont moins onéreux que les disjoncteurs différentiels (environ deux fois moins cher).

La différence d'intensité du courant à laquelle réagit un disjoncteur est appelée la sensibilité différentielle du disjoncteur, notée $I\Delta n$. Elle est obligatoirement de 30 mA sur les circuits terminaux domestiques, mais il peut y avoir d'autres sensibilités suivant les applications.

Nous avons reporté sur la figure (fig:dis_dif_nb à rajouter) le schéma d'un dispositif différentiel à courant résiduel dans le cas d'une installation monophasée. Nous pouvons voir que la phase et le neutre traversent un tore magnétique. Ils y induisent deux champs magnétiques de même direction mais de sens opposés. Lorsqu'il n'y a pas de défaut dans le circuit, le courant qui traverse le conducteur de phase est égal à celui qui traverse le fil relié au neutre du générateur et, par conséquent, les champs magnétiques présents dans le tore ont un même module, une même direction mais un sens opposé : ils s'annulent. Il n'y a donc pas de courant qui circule dans le relais sensible : la gâchette est maintenue dans une position fermée par l'aimant permanent, en dépit des efforts du ressort. Par contre, si les valeurs des courants de phase et de neutre sont différentes, les champs magnétiques créés dans le tore ne peuvent plus s'annuler : il apparaît alors au sein du tore un champ magnétique alternatif qui va engendrer à son tour un courant dans l'enroulement alimentant l'électro-aimant. Ce dernier induit alors un champ magnétique qui s'oppose à celui de l'aimant permanent, ce qui permet à la gâchette de se libérer de l'emprise de l'aimant. Celle-ci subit alors la force de rappel du ressort et bascule dans la position ouverte, provoquant ainsi la coupure du courant.

Nous avons reporté sur la Fig. 9 le symbole électrique du disjoncteur différentiel.

Fig. 9 : Symbole électrique du disjoncteur différentiel

Remarque: Un DDR ne permet pas de protéger contre le risque électrique par contact direct phase-neutre puisque ce circuit correspond au fonctionnement normal de l'installation.

Références

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