Électricité et magnétisme/Les équations de Maxwell

La divergence d'un champ vectoriel

Pour comprendre les équations fondamentales de l'électromagnétisme données par Maxwell, il faut comprendre la divergence et le rotationnel d'un champ vectoriel.

Pour comprendre sa divergence, il faut comprendre le flux d'un champ vectoriel à travers une surface.

Si on pense à un champ vectoriel comme au champ des vitesses d'un fluide, son flux à à travers une surface est le débit du fluide à travers cette surface. Le flux dépend évidemment de l'orientation de la surface :

Soit $dS$ un élément de surface suffisamment petit pour qu'on puisse supposer que le champ vectoriel $\mathbf {v}$ y est presque constant. Soit $\mathbf {\hat {n}}$ un vecteur de longueur unité perpendiculaire à $dS$. Le flux $d\phi$ de $\mathbf {v}$ à travers $dS$ dans la direction de $\mathbf {\hat {n}}$ est alors $d\phi =\mathbf {\hat {n}} .\mathbf {v}$ $dS$

Pour trouver le flux à travers une surface, on divise la surface en petits éléments de surface et on fait la somme de tous les flux. Quand la grandeur des éléments de surface tend vers zéro, la limite de cette somme est une intégrale. Elle est le flux $\phi$ à travers la surface.

$\phi =\int _{S}d\phi =\int _{S}\mathbf {\hat {n}} \cdot \mathbf {v}$ $dS$

Pour calculer le flux $\phi$ il faut avoir choisi un sens de traversée de la surface. Le flux est positif si le champ vectoriel va dans le même sens, négatif sinon.

La divergence $\operatorname {div} \mathbf {v}$ d'un champ vectoriel $\mathbf {v}$ est obtenue en chaque point en considérant des surfaces fermées de plus en plus petites qui entourent ce point, des petites sphères centrées sur le point par exemple, ou des petits cubes. Elle est la limite du flux du champ vectoriel à travers ces petites surfaces fermées, divisé par le volume qu'elles délimitent, quand ce volume tend vers zéro. La direction de traversée est toujours choisie de l'intérieur vers l'extérieur.

Si sa divergence en un point est positive, le champ vectoriel est divergent en ce point, il est comme une source de fluide. Si sa divergence est négative, il est convergent en ce point, il est comme un puits pour un fluide.

Comme le volume d'un fluide incompressible est constant, la divergence de son champ des vitesses est toujours nulle, parce qu'il n'y a ni source, ni puits.

Pour calculer la divergence, on se sert de la formule suivante :

$\operatorname {div} \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}$

pour un champ $\mathbf {v}$ dont les trois composantes sont $v_{x}$, $v_{y}$ et $v_{z}$.

Preuve : on raisonne sur un petit cube de côté $a$ et dont les faces sont parallèles aux plans xy, xz et yz. Sur les faces parallèles à yz, donc perpendiculaires à l'axe des x, le flux est $a^{2}v_{x}$ et $a^{2}(v_{x}+a{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}})$. La différence des deux est $a^{3}{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}$. Il en va de même pour les faces parallèles à xz et à xy. Donc le flux total qui sort du cube est $a^{3}({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}})$. Ce flux est aussi égal à $a^{3}\operatorname {div} \mathbf {v}$.

La divergence d'un champ vectoriel est un nombre réel, positif ou négatif, défini en chaque point de l'espace. Elle est donc un champ scalaire dérivé d'un champ vectoriel.

Le théorème de Gauss

Le flux d'un champ vectoriel à travers une surface fermée, de l'intérieur vers l'extérieur, est toujours l'intégrale de sa divergence sur tout le volume intérieur à la surface.

Preuve : si deux cubes ont une face en commun, le flux à travers le pavé rectangulaire qu'ils forment ensemble est la somme des deux flux à travers les deux cubes, parce que les deux flux à travers la face intérieure du pavé se compensent exactement. Tout ce qui sort d'un cube à travers cette face va dans l'autre.

Un volume délimité par une surface fermée peut toujours être divisé en petits volumes adjacents. Donc

$\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {v}$ $dV$

où $V$ est le volume délimité par $S$.

Avec le théorème de Gauss et la loi de Coulomb, on trouve la première des équations de Maxwell :

$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

où $\rho$ est la densité de charge électrique. Pour un volume $V$ de charge $q$, uniformément chargé, $\rho =q/V$ est la densité de charge à l'intérieur de $V$.

Preuve de la première équation de Maxwell : on raisonne sur le flux du champ électrique produit par une charge sphérique à travers une spère centrée sur cette charge :

Le flux du champ électrique créé par une charge $q$ qui passe à travers une sphère de rayon $r$ centrée sur cette charge, est $\phi =4\pi r^{2}E$ où $E={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$. Donc $\phi =q/\epsilon _{0}$. Or $q=\int _{V}\rho$ $dV$ où $\rho$ est la densité de charge et $V$ est le volume de la sphère centrée sur $q$. Donc $\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E}$ $dV=\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}dV$. Puisque cette équation est vraie pour n'importe quel volume qui entoure une densité de charge $\rho$ : $\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

La deuxième équation de Maxwell est :

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

Elle dit que la densité de charge magnétique est toujours nulle, donc que les monopôles magnétiques n'existent pas.

Le flux du champ magnétique à travers une surface délimitée par une boucle dépend seulement de la boucle.

Preuve : soient $S_{1}$ et $S_{2}$ deux surfaces délimitées par une même boucle. Ces deux surfaces délimitent un volume. Le flux du champ magnétique qui sort de ce volume est la différence des flux à travers $S_{1}$ et $S_{2}$. Mais comme la divergence du champ magnétique est toujours nulle, cette différence est nulle, d'après le théorème de Gauss. Donc les deux flux sont égaux.

Le champ magnétique peut toujours être identifié au champ des vitesses d'un fluide incompressible. Le flux qui entre dans un volume est toujours égal au flux qui en sort. Il en va de même pour le flux d'un champ électrique dans un volume qui ne contient pas de charges.

Le théorème de Gauss permet de calculer le champ électrique créé par un plan infini électriquement chargé ou par une ligne infinie électriquement chargée.

Le plan chargé infini

Soit $\sigma$ la densité superficielle de charge d'un plan. Si le plan est de surface finie, le champ électrique dont il est la source dépend de la distance à ses extrémités. Mais pour une surface très grande, cet effet de bord est négligeable, pourvu qu'on soit loin des bords. Le champ électrique créé sur un axe perpendiculaire au milieu d'un grand disque électriquement chargé est donc égal au champ créé par un plan infini qui a la même charge par unité de surface. Le disque chargé est symétrique par rotation. La loi de Curie, qui dit que les effets ont la même symétrie que leurs causes, impose donc que la champ électrique qu'il produit est lui aussi symétrique par rotation. Sur l'axe du disque, il est donc nécessairement dans la direction de cet axe. Le champ électrique produit par un plan infini chargé est donc partout perpendiculaire à ce plan.

Soit un cylindre dont les faces de surface $S$ sont parallèles au plan chargé, tel que ce plan par son milieu entre les deux faces. Le flux du champ électrique à travers la paroi latérale du cylindre est nul, puisqu'il est toujours parallèle à la paroi. Le flux est donc la somme des flux sur les deux faces :

$\phi =2SE$

où $E$ est la grandeur du champ électrique sur chaque face.

La charge électrique $q$ contenue dans le cylindre est

$q=\sigma S$

Le théorème de Gauss permet de conclure :

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

$E$ ne dépend pas de la distance au plan chargé.

La grandeur $E$ du champ électrique produit par un plan infini électriquement chargé est la même partout dans l'espace. Le champ électrique est perpendiculaire au plan et dirigé vers lui, si sa charge est négative, et en sens opposé, si sa charge est positive.

La charge superficielle d'une surface conductrice

D'un côté de la surface le champ électrique est nul. De l'autre côté il est perpendiculaire à la surface. Le théorème de Gauss appliqué à un petit cylindre qui traverse la surface et dont les faces parallèles à elle ont une surface $dS$ donne $EdS={\frac {\sigma dS}{\epsilon _{0}}}$ donc

$E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

La ligne chargée infinie

Si un fil chargé est de longueur finie, le champ électrique dont il est la source dépend de la distance à ses extrémités. Mais pour un fil très long, cet effet de bord est négligeable, pourvu qu'on soit loin des bords. Le champ électrique créé dans un plan perpendiculaire au milieu d'un long fil fini électriquement chargé est donc égal au champ créé par un fil de longueur infinie qui a la même charge par unité de longueur.

Le champ électrique créé dans un plan perpendiculaire à un fil électriquement chargé, uniformément, de longueur finie, qui passe par son milieu, est nécessairement perpendiculaire au fil, par symétrie. Si ce champ électrique s'écartait de ce plan médian, la loi de Curie serait bafouée. Cette loi montre également que le champ électrique créé par un fil uniformément chargé est nécessairement dans un plan parallèle à son axe. Donc il est nécessairement dirigé vers le fil, ou en sens opposé. Comme le fil est symétrique par rotation autour de son axe, la loi de Curie montre aussi que la grandeur du champ ne peut dépendre que de la distance au fil.

Soit un cylindre de rayon $r$ et de longueur $L$, centré sur un fil infini uniformément chargé. La charge intérieure au cylindre est égale à $q=\lambda L$ où $\lambda$ est la densité linéaire de charge du fil. À travers les deux extrémités du cylindre, le flux du champ électrique est nul, puisque le champ électrique leur est parallèle. Le flux $\phi$ du champ électrique $\mathbf {E}$ est donc égal à la surface du cylindre, mis à part ses extrémités, multiplié par le champ $E$, qui est toujours perpendiculaire à cette surface :

$\phi =2\pi rLE$

où $r$ est le rayon du cylindre, $L$ sa longueur et $E$ la grandeur du champ électrique $\mathbf {E}$ créé par le fil uniformément chargé à la distance $r$ du fil.

Donc $q/\epsilon _{0}=2\pi rLE$

$E={\frac {q}{2\pi rL\epsilon _{0}}}={\frac {\lambda }{2\pi r\epsilon _{0}}}$

Le rotationnel d'un champ vectoriel

Pour comprendre son rotationnel, il faut comprendre la circulation d'un champ vectoriel le long d'une boucle.

Pour un champ vectoriel uniforme $\mathbf {v}$, la circulation du champ le long d'une ligne droite $\mathbf {dx}$ est égale à $dc=\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$.

Si le champ vectoriel n'est pas uniforme ou si le chemin $C$ n'est pas droit, on considère une ligne brisée qui suit le même chemin et dont les segments peuvent être aussi petits que l'on veut. On calcule la circulation du champ en supposant qu'il est uniforme sur chaque segment, et on prend la limite de la somme des circulations du champ sur chaque segment quand la longueur des segments tend vers zéro. Cette limite est une intégrale et elle est la circulation $c$ du champ $\mathbf {v}$ sur le chemin $C$ considéré :

$c=\int _{C}dc=\int _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$.

Le travail de la force électrique sur une charge unité le long d'un chemin est la circulation du champ électrique sur ce chemin.

Si un champ de force dérive d'un potentiel, sa circulation sur une boucle est toujours nulle, parce que le potentiel au point de départ est égal au potentiel au point d'arrivée, qui est le même que le point de départ.

Pour mesurer la circulation sur une boucle, il faut choisir un sens de circulation sur la boucle. La circulation dans un sens est l'opposé de la circulation en sens opposé.

Le rotationnel d'un champ vectoriel est obtenu à partir de sa circulation de la même façon que sa divergence est obtenue à partir de son flux, mais le rotationnel d'un champ vectoriel dans l'espace à trois dimensions est un champ vectoriel, alors que sa divergence est un champ scalaire.

Pour comprendre le rotationnel d'un champ vectoriel, il vaut mieux commencer par le comprendre dans un espace à deux dimensions, une surface, parce qu'alors il est un champ scalaire, et un champ scalaire est plus simple qu'un champ vectoriel.

Le rotationnel d'un champ vectoriel $\mathbf {v}$ à deux dimensions au point $\mathbf {r}$ est la limite de ${\frac {c}{dS}}$ lorsque $dS$ tend vers zéro, où $c$ est la circulation de $\mathbf {v}$ sur une boucle dont la surface est $dS$ et qui entoure le point $\mathbf {r}$.

Pour calculer le rotationnel on sert de la formule  :

$\operatorname {rot} \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$

pour un champ $\mathbf {v}$ dont les deux composantes sont $v_{x}$ et $v_{y}$.

Preuve : On raisonne sur un petit carré de côté $a$ et dont les côtés sont parallèles aux axes des x et et des y. Sur les côtés parallèles à l'axe des y, donc perpendiculaires à l'axe des x, la circulation est $-av_{y}$ et $a(v_{y}+a{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}})$. La somme des deux est $a^{2}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}$. Sur les côtés perpendiculaires à l'axe des y, la circulation est $av_{x}$ et $-a(v_{x}+a{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$. La somme des deux est $-a^{2}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$. Donc la circulation sur tout le carré est $a^{2}({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$. Cette circulation est aussi égale à $a^{2}\operatorname {rot} \mathbf {v}$.

Lorsque le champ vectoriel est à trois dimensions, on considère ses projections sur trois plans perpendiculaires. Ce sont trois champs vectoriels à deux dimensions, qui ont chacun un rotationnel. On peut donc associer à chaque point trois nombres. Ce sont les composantes d'un champ vectoriel :

$\operatorname {rot} \mathbf {v} =({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$

Le rotationnel d'un champ vectoriel à trois dimensions est lui aussi un champ vectoriel à trois dimensions.

La divergence du rotationnel d'un champ vectoriel à trois dimensions est toujours nulle.

Preuve : $\operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {v} ={\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}=0$

Le rotationnel d'un champ vectoriel peut donc toujours être identifié au champ des vitesses d'un fluide incompressible.

Le flux du rotationnel d'un champ vectoriel à travers une surface délimitée par une boucle dépend seulement de la boucle.

Preuve : soient $S_{1}$ et $S_{2}$ deux surfaces délimitées par une même boucle. Ces deux surfaces délimitent un volume. Le flux qui sort de ce volume est la différence des flux à travers $S_{1}$ et $S_{2}$. Mais comme la divergence d'un rotationnel est toujours nulle, cette différence est nulle, d'après le théorème de Gauss. Donc les deux flux sont égaux.

Le rotationnel du gradient d'un potentiel est toujours nul.

Preuve : soit A et B deux points sur une boucle. La circulation du gradient d'un potentiel $V$ sur n'importe quel chemin de A à B est égale à $V_{B}-V_{A}$. La circulation du gradient sur la boucle est la circulation sur un chemin de A à B plus la circulation sur un chemin de B à A. Elle est donc toujours égale à zéro. Comme le rotationnel est défini à partir de la circulation sur une petite boucle, il est lui aussi toujours nul pour le gradient d'un potentiel.

Le théorème de Stokes

La circulation d'un champ vectoriel sur une boucle fermée est le flux de son rotationnel à travers une surface délimitée par cette boucle.

Preuve :

• Soit C une boucle fermée, D, E, F et G quatre points sur C, dans cet ordre. On peut diviser la boucle C en deux boucles en ajoutant un lien entre E et G : DEG et EFG. La circulation d'un champ vectoriel le long de la boucle C est égale à la somme des circulations sur DE, EF, FG et GD. La circulation sur la boucle DEG est la somme des circulations sur DE, EG et GD. La circulation sur EFG est la somme des circulations sur EF, FG et GE. Or sur la circulation sur EG est l'opposé de la circulation sur GE, donc la circulation sur C est la somme des circulations sur les boucles DEG et EFG.

• On peut toujours diviser une boucle de de nombreuses petites boucles adjacentes. La circulation sur la boucle complète est la somme des circulations sur toutes les petites boucles qui la divisent, pourvu qu'on ait toujours choisi le même sens de circulation.

• Soit $dS$ une surface délimitée par une petite boucle C parallèle au plan xy. Le flux du rotationnel d'un champ vectoriel $\mathbf {v}$ à travers $dS$ est égal à $dS({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$. Ce flux est donc égal à la circulation de $\mathbf {v}$ sur la boucle. Il en irait de même si $dS$ était parallèle au plan yz ou au plan xz.

• Une boucle triangulaire peut toujours être divisée en trois boucles parallèles aux plans xy, yz et xz. Donc le flux du rotationnel de $\mathbf {v}$ à travers une boucle triangulaire est toujours la circulation de $\mathbf {v}$ sur la boucle.

• Une boucle peut toujours être divisée en petites boucles presque triangulaires. Si elles sont assez petites, leur différence avec des boucles triangulaires est négligeable. Donc le flux du rotationnel de $\mathbf {v}$ à travers n'importe quelle boucle est égal à la circulation de $\mathbf {v}$ sur la boucle.

Le théorème de Stokes est au rotationnel ce que le théorème de Gauss est à la divergence. Ils sont tous les deux des cas particuliers d'un théorème beaucoup général, qu'on appelle aussi le théorème de Stokes, qu'on peut prouver pour n'importe quel espace de dimension finie avec les moyens de la géométrie différentielle.

La loi de Faraday

Le travail de la force électrique sur une charge unité le long d'une boucle fermée est égal à l'opposé du taux de variation du flux du champ magnétique à travers une surface délimitée par la boucle.

Le travail de la force électrique sur une charge unité le long d'une boucle fermée est une force électromotrice.

Une boucle fermée peut toujours être considérée comme un circuit qui connecte un générateur à une résistance. La résistance est celle de la boucle. On suppose que le générateur a une résistance nulle et qu'il fournit une force électromotrice égale au taux de variation du flux du champ magnétique. C'est pourquoi on peut toujours définir un potentiel dans un circuit électrique, alors qu'il contient des boucles qui peuvent être traversées par des champs magnétiques variables. A chaque fois qu'une force électromotrice apparait, on raisonne comme si un générateur imposait instantanément une différence de potentiel égal à cette force électromotrice. On peut définir ainsi un potentiel fictif sur tout le circuit électrique.

La loi de Faraday conduit à la troisième équation de Maxwell :

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Preuve : soit une boucle placée dans le champ électromagnétique $(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )$. D'après le théorème de Stokes, la circulation de $\mathbf {E}$ sur cette boucle est le flux de $\operatorname {rot} \mathbf {E}$ à travers elle. D'après la loi de Faraday, elle est aussi l'opposé du taux de variation du flux de $\mathbf {B}$. Le taux de variation du flux de $\mathbf {B}$ est le flux de ${\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$. L'égalité des flux de $\operatorname {rot} \mathbf {E}$ et de $-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ pour n'importe quelle petite boucle prouve que $\operatorname {rot} \mathbf {E}$ et $-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$ sont nécessairement égaux.

La quatrième équation de Maxwell

La quatrième équation de Maxwell détermine $\operatorname {rot} \mathbf {B}$ comme la somme de deux termes. L'un peut être obtenu avec la loi de Biot-Savart.

Les lignes de champ magnétique autour d'un fil de longueur infinie parcouru par un courant $I$ sont circulaires et centrées sur le fil dans un plan perpendiculaire au fil. Avec la loi de Biot-Savart, on peut calculer la grandeur $B$ du champ $\mathbf {B}$

$B={\frac {I}{2\pi r\epsilon _{0}c^{2}}}$

où $r$ est la distance au fil.

La circulation de $\mathbf {B}$ le long d'une ligne de champ est donc

$2\pi r\ B={\frac {I}{\epsilon _{0}c^{2}}}=\mu _{0}I$

D'après le théorème de Stokes, le flux de $\operatorname {rot} \mathbf {B}$ à travers une boucle est toujours la circulation de $\mathbf {B}$ sur cette boucle. Si $\mathbf {J}$ est la densité de courant, $I$ est le flux de $\mathbf {J}$ à travers une surface traversée par le courant. En posant $\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$, on retrouve donc la loi de Biot-Savart pour un fil de longueur infinie.

$\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ ne peut pas être vrai partout.

Preuve : soit un circuit constitué d'un condensateur qui se décharge dans une résistance. Soit une boucle qui entoure le fil du circuit. Le flux de $\mathbf {J}$ à travers une surface qui passe par le fil est égal au courant $I$. Mais le flux de $\mathbf {J}$ à travers une surface qui passe entre les deux plaques du condensateur est nul, puisqu'il n'y a pas de courant entre les deux plaques. Or le flux de $\operatorname {rot} \mathbf {B}$ à travers une surface délimitée par la boucle ne dépend que de la boucle. Donc $\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J}$ ne peut pas être toujours vrai.

En revanche si on pose

$\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}(\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} )$

on corrige cette erreur.

Preuve : entre les plaques du condensateur, $E=\sigma /\epsilon _{0}$ et est dirigé perpendiculairement aux plaques. Le flux de $\mathbf {E}$ à travers une surface entre les plaques est donc $SE=S\sigma /\epsilon _{0}=Q/\epsilon _{0}$. Donc le flux de $\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$ entre les plaques du condensateur est égal à $dQ/dt=I$, l'intensité du courant.

Les équations de Maxwell

$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {rot} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\operatorname {rot} \mathbf {B} =\mu _{0}(\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {J} )$

Avec l'équation de Lorentz,

$\mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B}$)

les équations de Maxwell sont les lois fondamentales de la théorie classique de l'électromagnétisme. Classique veut dire ici qu'elle n'est pas une théorie quantique.

Les équations de Maxwell expliquent comment les charges en mouvement sont les sources du champ électromagnétique et comment celui-ci évolue au cours du temps. L'équation de Lorentz explique comment ce champ électromagnétique exerce des forces sur des charges en mouvement.

La lumière est une onde électromagnétique. On peut prouver l'existence de la lumière à partir des équations de Maxwell.

Mis à part la gravitation et les forces nucléaires, les forces électromagnétiques expliquent tous les phénomènes naturels. La lumière, les atomes, les molécules , les ions , les solides, les liquides, les gaz, les plasmas, les cristaux liquides, les moteurs électriques, les ondes radio, les rayons X ... sont tous expliqués à partir des forces électromagnétiques. Pour les physiciens, les équations de Maxwell et de Lorentz sont donc comme les tables de la loi.

Les équations de Maxwell et de Lorentz peuvent être déduites à partir de la loi de Coulomb généralisée et de la géométrie relativiste de l'espace-temps. La loi de Coulomb généralisée est donc la loi la plus fondamentale de l'électromagnétisme classique.

La géométrie de l'espace-temps suppose l'existence de la vitesse $c$ de la lumière, mais elle n'impose pas l'existence de la lumière. Il suffit de supposer l'existence de particules qui vont à la vitesse de la lumière. Donc la loi de Coulomb généralisée et la géométrie de l'espace-temps prouvent l'existence de la lumière, sans la présupposer.

Les équations de Maxwell dans la matière

On raisonne en général sur des charges ponctuelles. La densité de charge $\rho$ est infinie au point où est la charge. On suppose que la densité de charge $\rho$ est un delta de Dirac tel que $\int _{V}\rho$ $dV=q$ pour une charge ponctuelle $q$, où $V$ est un volume qui contient uniquement la charge.

Si les charges sont ponctuelles, l'espace est vide presque partout, et les équations de Maxwell dans la matière sont les mêmes que les équations ci-dessus, où les densités de charge et de courant sont calculées avec des deltas de Dirac.